벡터(유클리드 기하학)
Euclidean vector
1. 개요
이 문서는 물리학의 역학이나 고등학교 수학에서 다루는 기하학적인 벡터를 다룬다.[1] 이 문서의 벡터는 선형대수학에서 다루는 벡터 공간의 원소인 벡터의 일종이라고 볼 수 있다. 편의상, 이 문서에서 다루는 벡터와 구별하기 위해 선형대수학에서 다루는 벡터를 '선형대수학 벡터', 함수인 벡터는 '함수 벡터'라고 하겠다.
표제어에 유클리드 기하학이 붙어 있는 이유는 비유클리드 기하학에서는 이 문서의 내용이 성립되지 않을 수 있기 때문이다.[2]
2. 뜻
크기와 방향을 함께 가지는 양(Quantity which has both magnitude and direction)을[3] 벡터라고 한다. 크기와 방향을 함께 가지는 물리량은 벡터량이라고 부른다.
2.1. 그림으로 나타내기
선분 AB를 크기로 하고, 점 A에서 시작해 점 B에서 끝나는 벡터를 기호로 $$\overrightarrow {\mathrm {AB}}$$와 같이 나타낸다. 이때 $$\overrightarrow {\mathrm {AB}}$$에서 점 A를 시점, 점 B를 종점이라고 한다. 또한 벡터 $$\overrightarrow {\mathrm {AB}}$$의 크기는 $$|\overrightarrow {\mathrm {AB}}|$$[4]와 같이 나타낸다.
벡터를 간단하게 $$\vec a$$와 같이 나타낼 수도 있다.[5]
3. 성질과 연산
3.1. 같은 벡터
- 크기와 방향이 같은 두 벡터 $$\vec a$$, $$\vec b$$에 대하여 $$\vec a=\vec b$$
- 크기가 같고 방향이 반대인 두 벡터 $$\vec a$$, $$\vec b$$에 대하여 $$\vec a=-\vec b$$
3.2. 벡터의 합
- 벡터 $$\overrightarrow {\mathrm {AC}}$$를 벡터 $$\overrightarrow {\mathrm {AB}}$$와 벡터 $$\overrightarrow {\mathrm {BC}}$$의 합이라 하고, $$\overrightarrow {\mathrm {AB}}+\overrightarrow {\mathrm {BC}}=\overrightarrow {\mathrm {AC}}$$와 같이 나타낸다.
- 벡터의 합은 교환법칙과 결합법칙이 성립한다.
- $$\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$$
- $$(\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c)$$
- $$\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b)$$
- $$\overrightarrow {\mathrm {AA}}$$와 같이 시점과 종점이 같은 벡터를 영벡터라고 하며 $$\vec 0$$으로 나타낸다. 영벡터의 크기는 0이며 방향은 생각하지 않는다. 또한 영벡터는 벡터의 합의 항등원이다.
3.3. 내적
유클리드 공간은 내적 공간의 일종이기 때문에 내적이 정의되며, 다음과 같이 구할 수 있다.[6][7]
- $$\vec a \cdot \vec b = |\vec a||\vec b|\cos\theta = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$$
$$\theta$$는 두 벡터의 사이각, $$a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3$$는 $$\vec a$$와 $$\vec b$$의 성분들이다. 원칙대로라면 $$\vec a$$, $$\vec b$$중 하나의 성분들에 켤레가 취해져야 하나[8], 고전역학이나 고등학교 과정에서는 실벡터만 다루기 때문에 보통은 생략한다.[9]
3.4. 외적
3차원 벡터[10]에 한하여, 두 벡터에 모두 수직인 벡터도 정의할 수 있는데 이를 외적이라고 하며, 다음과 같이 정의한다.[11][12]
- $$\vec a \times \vec b = |\vec a| |\vec b| \sin\theta\hat{n}$$
여기서 $$\theta$$는 두 벡터의 사이각, $$\hat{n}$$는 크기가 1인 단위벡터이며 방향은 오른손 손바닥을 펴고 엄지손가락을 제외한 나머지 손가락들이 향하는 방향을 $$\vec{a}$$와 일치시킨 후, $$\vec{b}$$ 방향으로 감아쥐었을때 엄지손가락이 가리키는 방향이다. 따라서 $$\vec{a}$$와 $$\vec{b}$$에 동시에 수직이며 연산 순서가 바뀔경우 방향도 반대로 바뀐다.
3.5. 반사
시작점을 원래 벡터의 끝점으로 옮긴 뒤 일부 성분의 부호를 바꾼 것이다.
3.6. 변위
3.7. 미분 연산
$$\vec{f}(t)=(f_x(t),f_y(t),f_z(t))$$ 일때 $$\displaystyle\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{f}(t)= \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f_x(t),\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f_y(t),\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f_z(t) \right)$$라고 정의한다.
$$f(x,y,z)$$에 대한 미분에 관한 것은 델 참고
3.8. 적분 연산
$$\vec{f}(t)=(f_x(t),f_y(t),f_z(t))$$ 일때
$$\displaystyle \int_{a}^{b} \vec \nabla{f}(x(t),y(t),z(t))dt=f(x,y,z)|_{t=b} - f(x,y,z)|_{t=a}$$
이때 어떤 $$\vec{f}$$가 $$\nabla F$$의 형태로 표현될 필요충분조건은 $$\nabla \times f=\mathrm{curl} f=0$$인 것이다.
4. 유사벡터(Pseudovector)
물리학에서[13] 반사할 때[14] 변위(displacement)와 다르게 계산되는 벡터를 뜻한다. 두 벡터의 가위곱(외적)은 항상 유사벡터가 나온다. 대표적인 예시로 돌림힘, 각속도, 각운동량, 자기장등이 있는 데 죄다 외적으로 구하는 물리량이란 걸 알 수 있다.
[1] 고로 우리나라에서 고등학교를 갓 졸업한 평범한 이과생이 벡터에 대해 듣는다면 십중팔구 이걸 떠올릴 것이다.[2] 비유클리드 기하학의 벡터는 따로 미분기하학이라는 학문에서 다룬다.[3] 단, 물리학에서는 반사시켰을 때 변위처럼 변해야 한다는 조건이 붙는다. 그렇지 않으면 유사벡터(Pseudovector)라고 부른다.[4] 노름을 써서 $$\|\overrightarrow{\text{AB}} \|$$로 쓰기도 한다.[5] 대조적으로, 선형대수학 벡터는 $$\bold a$$와 같이 표기한다. 함수 벡터는 그냥 함수 이름을 쓴다.[6] 선형대수학 벡터의 내적은 행렬의 수반 연산자와 행렬식을 이용해서 $$\left<\bold{a} ,\, \bold{b} \right> = \det \bold{a}^{\ast} \bold{b}$$로 정의된다. 또한 단항 연산도 가능하다.[7] 함수 벡터의 내적은 두 함수의 켤레복소수 곱을 적분한 값으로 정의한다: $$\displaystyle \left< f ,\, g \right> = \int_{[a,\,b]} f\overline{g}\, {\rm d}x$$ 선형대수학 벡터와 마찬가지로 단항 연산이 가능하다.[8] 정확하게는 반쌍형적 형식(sesquilinear form)[9] 단, 양자역학에서는 선형대수학 벡터, 함수 벡터를 사용하므로 내적 시 한쪽 벡터에 켤레를 취하는 것이 당연시된다. 표기 역시 $$\vec{a}\cdot\vec{b}$$ 대신 ]를 쓰는 등 차이가 있다.[10] 사실 3차원뿐만 아니라 7차원도 외적을 정의할 수 있다.[11] 선형대수학 벡터의 외적은 단위벡터와 행렬식을 이용해서 $$\bold{a} \times \bold{b}= \det \begin{bmatrix} \hat{\bold{x}} & \hat{\bold{y}} & \hat{\bold{z}} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix}$$로 정의된다.[12] 함수 벡터는 일반적으로는 외적이 정의되지 않는다.[13] 다시 말해 수학에서는 그냥 벡터랑 차이가 없다.[14] 일반적으론 improper rotation인데 어차피 반사와 회전의 결합이다.