재귀함수
1. 소개
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漢: 再歸函數 / En: Recursive function
어떤 사건이 자기 자신을 포함하고 다시 자기 자신을 사용하여 정의될 때 재귀적(recursive)이라고 한다. 설명 할 때 자기를 포함한 것이라고 생각하면 편하다. 그냥 자기를 설명할 때 나는 나야 나라는 건 나야 이렇게 설명하는 것이라고 볼 수 있다.
세상에서 제일 위험한 꿈은 '''꿈을 꾸는 꿈'''이라 하였다. 영화 인셉션에서 이 소재를 다루고 있다.[1] 또한 프렉털이라는 특수한 도형은 패턴이 재귀적으로 반복되기 때문에 프랙탈 도형은 넓이(또는 부피)는 유한하지만 길이(또는 겉넓이)는 무한하다는 괴상한 성질을 갖고 있다. 프랙털 도형은 1차원, 2차원 같은 정수 차원이 아니라 1.5차원 같은 실수 차원에 존재한다.
2. 설명
하나의 함수에서 자신을 다시 호출하여 작업을 수행하는 방식으로 주어진 문제를 푸는 방법이다. 재귀 호출이나 되부름 이라고 불리기도 한다.
이 링크를 클릭하는 것은 재귀함수의 동작과 동일하다.[2] 물론 실제 재귀함수가 쓰이는 곳에서는 매 호출시마다 입력값(파라메터)이 변한다. 저 링크를 클릭하는 건 입력값의 변화가 없는 호출이므로 무한히 반복할 수 있다. 입력값의 변화가 없거나 입력값의 변화가 특정 패턴을 반복하게 되면 그 재귀함수는 영원히 반복되다가 콜스택 초과로 프로그램이 뻗어 버린다. 꼬리 재귀 최적화가 적용된 알고리즘은 그냥 영원히 돌면서 프로그램이 멈춰 버린다. 따라서 재귀함수 설계 시에는 입력값이 종료 조건으로 수렴하는지를 꼭 검증해야 한다.
수학에서는 재귀함수라는 용어를 재귀를 포함함은 물론, 훨씬 더 광범위하게 정의하여 사용한다. 즉, 수학에서 모든 종류의 알고리즘은 재귀함수로 표현되며, 그렇기에 계산가능 함수(computable function)이라는 용어도 사용한다. 반복문(iteration, loop)과 변수를 이용하는 반복적 알고리즘은 재귀함수로 표현할 수 있고 그 역도 성립한다. 이에 영향을 받아 등장한것이 바로 LISP과 같은 함수형 언어인데, 모든 프로그램(즉, 알고리즘)을 함수로 표현할 수 있다는 것에 착안하여 만들어진 언어들이고, 이 언어들은 재귀를 밥먹듯이 사용한다.[3]
상술했듯 반복문으로 변수를 바꿔가는 형식의 명령형 계산은 항상 재귀적인 형식으로 똑같이 구현할 수 있으며 그 반대도 마찬가지지만[4], 현재 산업에서의 언어 패러다임은 대부분 명령형이기 때문에 대개 반복문으로 구현하는게 훨씬 익숙할 것이다. 무엇보다 함수가 호출될 때마다 호출 스택 메모리를 잡아먹는 경우 퍼포먼스 측면에서 반복문이 낫다. 다만 구현체에 꼬리재귀(Tail Recursion) 최적화가 되어있는 경우 꼬리재귀 요청이 스택에 걸리는 대신 이전 실행지점으로의 점프로 작동 하므로 실질적으로 루프문과 유의미한 성능 차이는 없게 된다.[5] 꼬리재귀 최적화의 경우 함수형 언어 구현체에는 필수적으로 들어가며, 명령형 언어 컴파일러에도 구현되어 있는 경우가 있다. C, C++의 경우 GCC, LLVM/Clang, VC++ 등의 주요 컴파일러에는 다 구현되어 있기 때문에 안심하고 사용해도 된다.
대부분의 명령형 언어 구현체에서는 간단한 재귀함수를 몇 줄 차이뿐인 반복문으로 쓰는 것이 더 좋은 관계로[6] 절차적 언어에서의 재귀를 써야하는 경우는 매우 적다. 더불어 명령형 언어 사용자들이 재귀를 꺼리게 되는 추가적인 이유는 이게 반복을 하는 놈인지 아닌지 알기 어렵다는 점에 있다. 반복문이 대놓고 문장 한가운데서 '이 블록은 반복될 것임'하고 알려주는 것과 다르게 재귀는 별다른 표시없이 혼자 돌게 되므로 코드 내에서 가독성이 떨어지게 된다. 추가적으로, 흐름을 추적하기 어렵다는 이유도 한몫한다.
그렇지만 명령형 언어에서도 재귀가 필요할 때가 있는데, 반복문으로 구현했다가는 코드가 심하게 복잡해지거나, 프로그래머가 만들다가 로직이 꼬여 안드로메다로 가는 상황이 발생하는 문제들도 있기 때문. 이 경우 재귀함수로 구현하는 것이 간단하고 훨씬 더 이해하기 쉬운 경우가 있다. 예를 들어 XML이나 JSON을 파싱한다거나 퀵 정렬을 만든다면 반복문보다 재귀를 쓰는 것이 더 쉽다. 이런 알고리즘을 생 루프문으로 처리하려면 스택을 따로 구현해야 한다.[7]
하지만 소프트웨어 위기와 병렬 컴퓨팅에 대두에 따라, 함수를 최대한 단순하게, 불변적으로 유지하는 것이 새로운 패러다임으로 떠올랐다. 수많은 함수형 언어들이 등장하는 것과 관련이 있다. 그에 따라 재귀함수 등의 함수형 사고를 통해 프로그래밍을 하는 것이 중요한 덕목 중 하나로 떠올랐다.
많은 함수형 언어 구현체에는 루프문이 없을 뿐더러 애초에 필요성도 별로 못 느낀다. 설령 언어에 루프가 있더라도 재귀적으로 구현했다간 코드가 심하게 복잡해지거나 안드로메다로 가는 특수한 상황이 아니면 거의 안쓴다. 그도 그럴 것이 루프문은 돌면서 변수를 변화시키고 루프가 끝나면 변화된 값을 얻어내는 목적이 있다. 그런데 함수형 언어에서는 일반적으로 변수가 없고 '정의'만이 있을 뿐이다. 정의된 값을 바꿀 수 없으니 바뀐 값을 입력으로 사용하는 호출 하나를 더 만들어내는 것이다. 예를 들어 리스트를 역순으로 바꾸는 함수 reverse는 이렇게 동작한다.
reverse [1,2,3]
= reverse [2,3] + [1]
= reverse [3] + [2,1]
= reverse [] + [3,2,1]
= [3,2,1]reverse(s = [1,2,3])
1. s = [1,2,3], d = [], index = 2
2. s = [1,2,3], d = [3], index = 1
3. s = [1,2,3], d = [3,2], index = 0
4. s = [1,2,3], d = [3,2,1], index = -1
5. return d극단적인 예시로, Haskell의 퀵 소트 알고리즘은 단 두 줄만으로 정의된다.
qsort [] = []
qsort (p:xs) = qsort [x | x<-xs, x=p] - qsort에 빈 리스트를 대입한 결과는 빈 리스트이다(종료조건)
- qsort에 임의의 리스트를 집어넣을 경우, 리스트 맨 앞의 값을 기준으로 그보다 작은 것, 그리고 뽑은 값, 그리고 뽑은 값보다 크거나 같은 값으로 이루어진 세 개의 리스트를 만들고 그 셋을 붙이는데 첫 번째 리스트와 세 번째 리스트는 qsort 자기 자신으로 다시 처리한다.
상황이 이렇다보니 간단한 연산부터 일관되게 재귀로만 짜는 함수형 언어에 대한 절차적 언어 사용자들의 반응은 충격과 공포 그 자체. 더구나 함수형 언어 사용자는 변수 및 for-loop보다 재귀호출로 이루어진 것이 버그가 적고 가독성도 좋고(!) 로직이 훨씬 명확하다고 느낀다(!!). 오히려 재귀호출이 너무 당연한 개념이라 명령형 언어에서 재귀호출을 멀리하는 것을 이해하지 못한다.
이렇게 되는 이유 중의 하나는 프로그래밍을 생각하는 방식의 차이 때문이다. 명령형 언어에서 '상태와 그 상태의 변화의 반복'에 집중한다면, 함수형 언어에서는 '어떤 인자에 대응되는 값'이라는 관계, 즉 함수를 생각한다. 명령형 개념에서 재귀호출은 '자기 자신을 호출한다'라는 흐름 제어로 인식하는 반면, 함수형 패러다임에 익숙한 사람은 재귀호출은 마치 점화식처럼 자기 함수와의 값의 관계를 맺는 것이라고 생각한다.
이런 생각은 상태 변화를 생각하는 것과는 달리 관계 그 자체에 치중하여 코딩할 수 있게 한다. 또한, 이런 생각을 도와주는 게 함수형 언어에서 부수효과가 없다는 건데... 자세한 건 함수형 언어참조. 아니면 LISP나 OCaml, Haskell 등의 함수형 언어를 공부하면서 뇌 개조(...)를 당해보면 된다.
위에는 함수형 언어를 사용할 시에 재귀함수를 반드시 작성해야 하는 것처럼 설명해 놨지만, 함수형 언어를 파고들다 보면 반복적인 처리를 요할 시에 재귀함수를 작성하지 않고, 재귀하는 부분만이 구현된 고차함수를 사용하는 것을 볼 수 있다. 가장 처음 배우는 예시가 fold/reduce 함수들이다. 실제로 fold만 가지고 상당히 재귀적인 호출을 요하는 많은 함수들을 정의할 수 있기 때문에, 함수형 언어에서 재귀를 사용하는 경우는 매우 드물다.
더 나아가면, fold는 범주론의 catamorphism에 해당된다는 것을 알 수 있고, 이 외의 anamorphism, hylomorphism, metamorphism 등의 recursion scheme에 대해 알게 되면 모든 재귀적인 함수를 재귀를 사용하지 않고 정의하게 된다. (이정도 되면, 재귀함수는 goto와 비슷하다고 느껴져 코드에 넣는 것을 꺼리게 된다)
문서의 제목은 재귀함수이지만, 연결리스트나 트리와 같은 자료구조는 자신을 통해 정의된다는 점에서 재귀적인 자료구조이다. 명령형 언어중 객체 지향 언어일 경우, 재귀적인 자료구조를 통해 호출해서 간단하게 재귀함수를 활용할 수 있어 객체지향 언어의 생산성 향상에 일조한다. 함수형 프로그래밍을 깊게 공부했다면 이러한 자료구조도 Fix/Cofree와 같은 추상화를 통해 재귀없이 정의하게 된다.[8]
3. 예시
(defun fibonacci-recursive (n)
(if (< n 2)
n
(+ (fibonacci-recursive (- n 2)) (fibonacci-recursive (- n 1)))))fib(0, R0, _, R0).
fib(N, R2, R1, RF) :-
N1 is N - 1,
R is R2 + R1,
fib(N1, R1, R, RF).
fib(N, RF) :- fib(N, 0, 1, RF).4. 기타
알고리즘 시간에 재귀적 사고 방식을 길러주려고 반복적 알고리즘을 재귀로 다시 구현하는 문제 등이 출제된다.
프로그래밍 언어를 배울 때 수학에서 재귀적으로 정의되어 반복문보다 가독성 좋게 재귀함수로 옮길 수 있는 팩토리얼, 하노이의 탑이나 피보나치 수열 등을 재귀함수로 구현하는 과제가 종종 출제된다. 팩토리얼, 재귀함수 등은 귀납적으로 정의되고, 이를 재귀함수로 구현하는 것은 몹시 당연한 사고방식이기 때문이다. 고등학교를 나온 대부분의 프로그래머는 이 귀납적으로 정의된 수열과 재귀함수 간의 관계를 이해하는데 문제가 없을 것이다.
여기서 더 나아가 병합 정렬, KMP 알고리즘, 위상정렬, 이진 탐색 등 대부분의 알고리즘은 재귀적으로 파악하면 더욱 간명해지는 경우가 많다. 서울대 문병로 교수가 쓴 책의 이름은 아예 "재귀적, 귀납적 사고방식"을 가르친다고 대놓고 써있다. 단순히 기계적인 최적화 수준의 이야기를 넘어서, 알고리즘적 측면에서 보자면 재귀적 사고방식을 평소에 연습하는 것이 매우 중요하다. 재귀함수, 더 나아가 재귀적 사고 방식은 흔히 말하는 분할정복에 기초를 둔다. 어떤 리스트의 합을 구하는 경우를 생각해보자. 단순히 명령형 사고에 익숙해졌다면 이를 O(n)으로 구하고, 그 답에 만족했을 것이다. 하지만 이 문제는 재귀적으로 생각할 경우 O(log n)만에 해결할 수 있다. 이처럼 기계적 수준의 최적화가 아니라, 더 높은 수준의 생산성과 효율을 추구한다면 평소에 재귀적으로 사고하는 습관을 들여야 한다.
간혹 명령형 언어에서 재귀함수를 퍼포먼스가 떨어진다고 안 쓰는 게 좋다고 가르치기도 한다. 그러나 꼬리재귀 호출을 할 수 없으면서[9] 스택 깊이 이상[10]을 뚫어버리는 경우가 아니면 굳이 거부할 필요는 없다. 오히려 의미상 더 명료하다면 신용하는 게 나을 수 있다. 요즘 컴파일러들은 아주 똑똑해서 재귀 호출 최적화[11]를 잘한다. 꼬리 재귀가 아니더라도 실행 순서를 조정한다든지 함수 몇 개를 합친다든지 해서 최적화가 가능하면 그렇게 한다.[12] 실제로 STL 알고리즘 구현체도 내부적으로 재귀호출을 쓰는 경우가 많고 Mac의 C언어 qsort 함수 구현체도 재귀호출을 사용한다. # 또한 수많은 프로그래밍 언어[13] 및 JSON, XML 등의 파서는 Descent Recursive Parser인데 이 파서는 모두 재귀호출을 이용한다.
그러나 아무리 꼬리재귀 최적화가 완벽히 되더라도 정말 특수한 경우가 아니라면 콜스택 문제가 아예 없어지는 것은 또 아니고, 캐쉬 지역성 문제[14]로 인해 성능이 떨어지는 것은 맞는다. 단지 그 차이가 유의미하지 않을 뿐. 이런 식의 유연성과 성능의 trade-off는 프로그래밍에서는 일상이고, 개발 목적에 맞는가, 허용 범위 내인가가 더 중요하다. 성능을 극한까지 쥐어짜는 게 목적이라면 재귀를 멀리하고, 아니라면 필요할 때 쓰면 되는 것이다.
Python은 함수 깊이 제한이 기본 1000으로 되어 있어서, 대충 995회 쯤 재귀를 하면 뻗어버린다. 또한 꼬리재귀 최적화 역시 지원하지 않는다.
sys.setrecursionlimit빅 오를 계산하거나 이해하는 데 큰 도움을 주기 때문에 자료구조 초반부(리스트 개념을 배우기 전)에 다뤄진다.
[1] 오죽했으면 재귀적 구조가 나오면 -셉션이라는 접미사를 붙이는 드립이 성행했을 정도. 이런 재귀적 구조는 크리스토퍼 놀란이 즐겨 쓰는 소재이다.[2] 링크 오류가 아니다! 구글도 비슷한 예를 들고 있다. recursion으로 검색해보자. 구글의 센스를 엿볼 수 있다.[3] 보통 ML계열 같은 하이브리드 함수형 언어가 아니면 반복문 자체가 없거나, 있더라도 재귀로 구현되어 있다.[4] 그러나 난이도는 동일하지 않다. 트리 자료구조의 전위, 중위, 후위 순회(preorder, inorder, postorder traversal)를 재귀가 아니라 루프로 짜려면 머리 좀 싸매야 할 것이다. 하노이의 탑도 마찬가지.[5] 물론 구현체에 꼬리재귀 최적화가 없거나 재귀함수가 꼬리재귀할 수 없다면, 루프문이 '''무조건''' 빠르다.[6] 주요 구현체 중 꼬리재귀 최적화가 없는 경우가 있기 때문이다. 대표적으로 Java는 꼬리재귀 최적화가 없다. JVM에서 동작하는 다른 언어들 중에는 꼬리재귀 최적화가 구현되어 있는 경우가 많다.[7] 구현 난이도는 올라갈 수 있으나, 스레드 시작시에 크기가 결정되는 함수 스택을 사용할 때보다 동적 할당을 사용할 수 있는 사용자 정의 스택을 활용할 때 좀더 유연한 구현이 가능하다.[8] 더 자세히 알고 싶으면, Functional Programming with Bananas, Lenses, Envelopes and Barbed Wire를 읽어볼 것.[9] 위에도 언급하고 있지만 꼬리재귀가 가능한 경우 루프와 마찬가지로 그냥 점프한다.[10] C의 경우엔 함수를 호출할 때 리턴할 주소, 호출할 함수에 전달할 매개변수, 현재 쓰고 있는 지역 변수 등의 값을 스택에 저장한다. 계속 꼬리에 꼬리를 물며 재귀함수를 호출하면 스택 영역이 꽉 차서 스택 오버플로우가 발생한다.[11] C의 경우엔 최적화가 안 되는 경우에는
jmp label;call label; (push eip; jmp label;)ret 4;(mov eax, esp; add esp, 4; jmp eax;)