점근선

asymptote · 漸近線

'''점근선이 $$\boldsymbol{y=\pm 1}$$인 [math( \boldsymbol{y={\mathbf{erf}}(x)} )]의 그래프'''

어떠한 곡선에 대하여 곡선 위의 점이 무한히 원점에서 멀어질수록 그 점에서 한 직선과의 거리가 0에 한없이 가까워질 때[1][2], 점점(漸) 가까워지는(近) 선(線)이라는 뜻에서 그 직선을 점근선(漸近線)이라 한다.
점근선이 생기는 대표적인 함수는 유리함수, 무리함수, 탄젠트함수가 있고, 이차곡선 중에서는 쌍곡선이 대표적이다.
한 곡선 $$y=f(x)$$의 점근선이 $$mx+n$$일 때, 상수 $$m$$, $$n$$은 아래와 같이 구한다.

$$\displaystyle \begin{aligned} m&=\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} \\ n&=\lim_{x \to \pm \infty} \{ f(x)-mx \} \end{aligned}$$

[1] 즉 $$x \to \pm \infty$$일 때 $$f(x)$$가 특정 값에 수렴하거나, $$x$$의 특정 값에서 $$f(x)$$가 $$\pm \infty$$로 발산할 때

[2] 물론 함수가 점근선의 값을 갖지 않아야 하는 법은 없다. 가령 아래의 프레넬 적분 함수는 점근선이 $$y=\pm 1/2$$이지만, 함숫값이 $$\pm 1/2$$인 점이 무수히 존재한다.

해석적 정수론에서는 소수 정리에서 소수 계량 함수와 로그 적분 함수의 합성함수 $$y = \pi(x)/{\rm li}(x)$$의 점근선 $$y=1$$을 다루며, 밀레니엄 문제의 하나인 리만 가설이 여기에 연관되어 있다.