3. 이항급수 $$ \left(1+x\right)^\alpha $$
8. 로그함수 $$\ln\left(1+x\right)$$
1. 개요
여러 대표적인 함수의
테일러 급수를 다루는 문서이다.
아래의 예들은 $$x_0=0$$ 일 때를 다루므로 매클로린 급수이기도 하다.
2. 무한등비급수 $$\dfrac 1{1-x}$$
$$\displaystyle \frac 1{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots\cdots, (|x|<1)$$
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그래프 보기$$k$$값이 커질수록 테일러 급수는 원래 함수와 닮아가지만, 수렴구간(정의역) $$|x|<1$$외에서는 갑자기 원래 함수의 형태와 동떨어진 형태를 보인다.
아래 자연로그와 역탄젠트 함수의 무한급수를 구할 때 활용할 수 있다.
저 $$|x|<1$$ 조건을 두지 않고 값을 구하는 것이 이른바
라마누잔합이다.
3. 이항급수 $$ \left(1+x\right)^\alpha $$
$$\displaystyle \left(1+x\right)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty \binom\alpha n x^n = 1 + \frac\alpha{1!} x + \frac{\alpha \left(\alpha - 1\right)}{2!} x^2 + \cdots\cdots + \frac{\displaystyle \prod_{r=0}^{n-1} \left(\alpha - r \right)}{n!} x^n + \cdots\cdots $$
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구하고자 하는 무한급수의 계수를 미지수로 놓는다.
$$\displaystyle y=\left( 1+x \right)^\alpha=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots\cdots = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$$
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양 변을 미분하면
$$\displaystyle y' = \alpha \left( 1+x \right)^{\alpha-1}=a_1+2a_2 x+3a_3 x^2+\cdots\cdots = \sum_{n=0}^\infty \left( n+1 \right)a_{n+1}x^n$$
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위 두 식을 이용하여 미분방정식을 세울 수 있다.
$$\alpha \left( 1+x \right)^\alpha = \alpha y = \left( 1+x \right)y' \\ \therefore y'=\alpha y-xy'$$
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여기서 $$xy'$$의 무한급수는
$$\displaystyle xy'=0+a_1 x+2a_2 x^2+\cdots\cdots =\sum_{n=0}^\infty na_n x^n$$
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이므로 미분방정식에서 각 항의 계수를 견주면 점화식이 나온다.
$$\displaystyle \begin{aligned} \sum_{n=0}^\infty \left( n+1 \right)a_{n+1} x^n &= \alpha \sum_{n=0}^\infty a_n x^n- \sum_{n=0}^\infty na_n x^n \\ &= \sum_{n=0}^\infty \left(\alpha - n \right) a_n x^n \end{aligned} \\ \left( n+1 \right)a_{n+1} = \left( \alpha-n \right)a_n, \ a_0=1 \\ \begin{aligned} a_{n+1} &= \frac{\alpha - n}{n+1}a_n = \frac{\left( \alpha - n \right) \left( \alpha -n+1 \right)}{\left(n+1 \right) n} a_{n-1} = \frac{\left( \alpha -n \right) \left( \alpha -n+1 \right) \left( \alpha -n+2 \right)}{\left( n+1 \right) n \left( n-1 \right)} a_{n-2} = \cdots\cdots \\ &= \frac 1{(n+1)!} \prod_{i=0}^n \left( \alpha -n+i \right) a_0 = \frac 1{(n+1)!} \prod_{i=0}^n \left( \alpha -i \right) = \frac{\alpha \left(\alpha -1 \right) \left(\alpha -2 \right) \cdots\cdots \left(\alpha -n+1 \right) \left(\alpha -n \right)}{(n+1)!} \\ &= \binom\alpha{n+1} \end{aligned}$$
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따라서 $$a_n=\dbinom\alpha n$$임을 알 수 있다. 참고로 $$\alpha$$는 복소수 범위로 확장해도 성립하는 성질
[1] 이때 팩토리얼 기호가 자연수에 한해서 정의된다는 성질 때문에 조합 기호는 \displaystyle \binom\alpha n = \frac 1{n!} \prod_{i=0}^{n-1} \left(\alpha -i \right)로 재정의된다.
복소수를 받을 수 있는 감마 함수를 쓰면 되지 않나? 싶지만 감마 함수는 정의 자체가 어렵게 되어 있어서 여기다 쓰기엔 배보다 배꼽이 더 크다.
이며 위의 무한등비급수는 이항급수에서 $$\alpha=-1$$, $$x=-t$$에 해당하는 경우로 생각할 수 있다.
이 이항급수의 테일러 급수는
과학,
공학 분야에서 상당히 많이 쓰이는 편이다. 주로 $$x\ll1$$ 일 때 $$n=1$$ 항까지 취해 $$\left(1+x\right)^\alpha \approx 1 + \alpha x$$로 근사하는 경우가 많은데, $$x\ll1$$ 이면 $$x^2$$ 부터는 값이 아주 작아지기 때문이다.
4.1. sin 함수, cos 함수
$$\displaystyle \sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots\cdots + \left(-1\right)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots\cdots$$
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그래프 보기$$\displaystyle \cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots\cdots + \left(-1\right)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots\cdots $$
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그래프 보기두 함수 모두 복소평면 전체에서 수렴한다.
사인과 코사인의 $$n$$계도함수는 일반적으로 다음과 같다.
- $$\left( \sin x \right)^{(n)} = \sin \left(x+\dfrac{n\pi}2\right)$$
- $$\left( \cos x \right)^{(n)} = \cos \left(x+\dfrac{n\pi}2\right)$$
$$x=0$$, $$n=1, \ 2, \ 3, \cdots\cdots$$을 차례대로 대입하면 무한급수를 도출할 수 있다.
$$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}x = 1$$
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$$\displaystyle \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots\cdots + \left(-1\right)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots\cdots$$
에서 양변을 $$x$$로 나누면
$$\displaystyle \frac{\sin x}x = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots\cdots + \left(-1\right)^n \frac{x^{2n}}{(2n+1)!} + \cdots\cdots$$
이 되는데 $$x \to 0$$ 일 때 이차항부터는 모두 [math(0)]이 되어 사라진다.
노가다(수학) 문서에서 제시한
$$\dfrac{\sin x}x$$를 적분해보라는 문단도 이 매클로린 급수를 적분함으로써 해결이 가능하다.
이러한 사실로부터 $$|x| \ll 1$$ 이면 $$\sin x \approx x$$라는 근사를 얻을 수 있다. 이 근사 역시 과학, 공학 분야에서 많이 쓰이는데, 대표적으로는 진자의 운동을 기술할 때 사용한다.
4.2. 나머지 함수들
$$\tan x$$, $$\csc x$$, $$\cot x$$는 조금 다른 방식으로 정의된다. 사실 이들 함수의 테일러 급수는 삼각함수 자체의 성질에서 유도되었다기보다는 아래에서 설명할
오일러의 공식을 통해 복소평면에서 지수함수로 나타낼 수 있다는 사실에 기반하여 유도된 식
[3] 즉, 쌍곡선 함수와 삼각함수가 복소수를 통해 매개된다는 사실을 바탕으로, 쌍곡선 함수 \coth x, \tanh x, \mathrm{csch}\, x의 테일러 급수를 먼저 구하고 x에 복소수 ix를 대입하여 얻어진 식이다.
이라 일반항이 복잡하고
베르누이 수열($$B_n$$)이라는 특이한
수열을 매개로 정의된다. 심지어 $$\sec x$$는
베르누이 수열로도 간단하게 정의가 안 돼서
오일러 수열($$E_n$$)이라는 또 다른 수열을 이용하는데,
테일러 급수 말고도
거듭제곱 합의 공식에도 쓰이는
베르누이 수열과는 달리
오일러 수열은 오로지 $$\sec x$$와 $$\mathrm{sech}\, x$$만을 나타내기 위해 쓰인다. 각 일반항의 유도 과정은
베르누이 수열,
오일러 수열 문서 참조
$$\displaystyle \begin{aligned} \tan x &= \sum_{n=1}^\infty \frac{ \left\{ \left( -4 \right)^n - \left( -16 \right)^n \right\}B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} = x + \frac 13 x^3 + \frac 2{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \cdots\cdots \\ \csc x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{ \left\{ 2 \left( -1 \right)^n - \left( -4 \right)^n \right\}B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} = \frac 1x + \frac 16 x + \frac 7{360}x^3 + \frac{31}{15120}x^5 + \cdots\cdots \\ \cot x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{ \left( -4 \right)^n B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} = \frac 1x - \frac 13 x - \frac 1{45}x^3 - \frac 2{945}x^5 - \cdots\cdots \\ \sec x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{ \left( -1 \right)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} = 1 + \frac 12 x^2 + \frac 5{24}x^4 + \frac{61}{720}x^6 + \cdots\cdots \end{aligned}$$
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$$\displaystyle \begin{aligned} \arcsin x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} \binom{-\frac 12}n x^{2n+1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n+1)!!}{(2n)!! \left( 2n+1 \right)}x^{2n+1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{4^n \left( n! \right)^2 \left( 2n+1 \right)}x^{2n+1} \\ &= x + \frac 16 x^3 + \frac 3{40}x^5 + \frac 5{112}x^7 + \cdots\cdots \ (|x| \le 1) \end{aligned}$$
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$$!!$$은 이중계승 기호로 $$2$$씩 빼서 곱하라는 뜻이다. 즉 $$(2n)!! = 2n \cdot \left( 2n-2 \right) \cdot \left( 2n-4 \right) \cdots\cdots 4 \cdot 2$$이다.
$$\displaystyle \begin{aligned} \arccos x &= \frac \pi2 - \arcsin x = \frac \pi2 - \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{4^n \left( n! \right)^2 \left( 2n+1 \right)}x^{2n+1} \\ &= \frac \pi2 - x - \frac 16 x^3 - \frac 3{40}x^5 - \frac 5{112}x^7 - \cdots\cdots \ (|x| \le 1) \\ \arctan x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}3 + \frac{x^5}5 - \frac{x^7}7 + \cdots\cdots \ (|x| \le 1) \end{aligned}$$
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그래프 보기
기본적으로 미분한 결과가 이항급수의 꼴이기 때문에 역삼각함수의 미분에 대해 테일러 급수를 적용한 뒤 적분하면 된다. 이후엔 이항급수 부분을 전개해서
적절하게 정리해주면 된다.
$$\displaystyle \begin{aligned} \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \arcsin x &= \frac 1{\sqrt{1-x^2}} = \left( 1 - x^2 \right)^{-\frac 12} = \sum_{n=0}^\infty \binom {-\frac 12}n \left( -x^2 \right)^n \\ \therefore \arcsin x &= \int_0^x \sum_{n=0}^\infty \binom{-\frac 12}n \left( -t^2 \right)^n \mathrm{d}t = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} \binom{-\frac 12}n x^{2n+1} \end{aligned}$$
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$$\displaystyle \arcsin x + \arccos x = \frac \pi2 \\ \therefore \arccos x = \frac \pi2 - \arcsin x$$
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$$\displaystyle \arctan x=\int_0^x \frac{\mathrm{d}t}{1+t^2} = \int_0^x \sum_{n=0}^\infty \left(-t^2 \right)^n \mathrm{d}t = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$$
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위의 역삼각함수의 급수식을 이용하는 방법으로, $$\arcsin 1 = \dfrac \pi2$$ 및 $$\arctan 1=\dfrac \pi4$$를 이용하는 것이다.
$$\displaystyle \begin{aligned} \frac \pi2 &= 1 + \frac 16 + \frac 3{40} + \frac 5{112} + \frac{35}{1152} + \cdots\cdots \\ \therefore \pi &= 2 + \frac 13 + \frac 3{20} + \frac 5{56} + \frac{35}{576} + \cdots\cdots \end{aligned}$$
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또는
$$ \displaystyle \begin{aligned} \frac \pi4 &= \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n}{2n+1} = 1 - \frac 13 + \frac 15 - \frac 17 + \cdots\cdots \\ \therefore \pi &= 4 - \frac 43 + \frac 45 - \frac 47 + \frac 49 - \cdots\cdots = 4-\frac 8{3\cdot 5} - \frac 8{7\cdot 9} - \frac 8{11\cdot 13} - \cdots\cdots \end{aligned}$$
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그러나 두 급수 모두 실제 계산에서 쓸모가 별로 없다. 저 공식을 대입해서 계산하면 수렴 속도가 매우 느리기 때문이다.
[4] 특히 아크탄젠트는 어느정도냐 하면 ''' 십만'''개의 항까지 계산해야 3.1415\mathbf{8}\cdots\cdots이 된다.
아크탄젠트의 성질을 이용하여 공식을 변형할 수 있는데, 그 변형된 공식이 바로 '''
마친 공식(Machin-like formula)'''이다. 서로소인 정수 $$a_i$$, $$b_i$$에 대해
$$\arctan\dfrac{a_1}{b_1} + \arctan\dfrac{a_2}{b_2} = \arctan\dfrac{a_1 b_2 + a_2 b_1}{b_1 b_2 - a_1 a_2}$$
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(단, 위 값이 $$\dfrac \pi2$$보다 작아야 성립)
이를 이용하면 아래와 같은 마친 공식을 이끌어낼 수 있다. 그리고 이 공식에 아크탄젠트의 무한급수를 대입하면 참값에 훨씬 빠르게 수렴함을 알 수 있다.
$$\dfrac \pi4 = \arctan\dfrac 12 + \arctan\dfrac 13 = 4\arctan\dfrac 15 - \arctan\dfrac 1{239}$$
6. 지수함수 $$ e^x $$
$$\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots\cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots\cdots$$
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복소평면 전체에서 수렴한다.
그래프 보기
$$f\left(x\right) = e^x$$ 의 미분은 자기 자신, 즉 $$f'\left(x\right) = e^x$$이다. 따라서 $$f^{(n)}\left(0\right) = 1$$이 되므로,
$$\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}\left(0\right)}{n!}x^n = \sum_{n=0}^\infty \frac 1{n!}x^n$$
이 성립한다.
[5] 사실 이건 테일러 급수 중 a=0인 특수한 케이스(매클로린 급수)를 이용한 것이다.
이 식에서 $$x=1$$을 대입해 주면 아래와 같은 식을 얻는다.
$$e = \dfrac 1{0!} + \dfrac 1{1!} + \dfrac 1{2!} + \dfrac 1{3!} + \dfrac 1{4!} + \cdots\cdots$$
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이를 계산하면 $$e$$의 값을 구할 수 있다. $$n=4$$까지만 계산해 주어도 $$\dfrac{65}{24} = 2.708333\cdots\cdots$$가 되어 참값 $$2.7182818284\cdots\cdots$$와의 오차가 약 $$0.37\%$$밖에 나지 않는다. 컴퓨터를 이용해 죽 계산해주면 금방 어마어마한 자리수의 근삿값을 구할 수 있다. 참고로 위 식은 극한으로 정의된 식에 대해 이항급수를 적용해서 유도할 수도 있다.
$$\displaystyle \begin{aligned} e &= \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac 1n \right)^n = \lim_{n \to \infty} \sum_{r=0}^n \binom nr \frac 1{n^r} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n!}{0!n!} \frac 1{n^0} + \sum_{r=1}^n \binom nr \frac 1{n^r} \right) \\ &= \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac 1{0!} + \sum_{r=1}^n \frac{n \left( n-1 \right) \left( n-2 \right) \cdots\cdots \left( n-r+2 \right) \left( n-r+1 \right)}{r!} \frac 1{n^r} \right\} \\ &= \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac 1{0!} + \sum_{r=1}^n \frac{ 1 \cdot \left( 1 - \frac 1n \right) \left( 1 - \frac 2n \right) \cdots \cdots \left( 1 - \frac{r-2}n \right) \left( 1 - \frac{r-1}n \right)}{r!} \right\} \\ &= \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac 1{0!} + \frac 1{1!} + \frac 1{2!} \left( 1- \frac 1n \right) + \frac 1{3!}\left( 1- \frac 1n \right) \left( 1- \frac 2n \right) +\cdots\cdots + \frac 1{n!} \prod_{r=1}^n \left( 1- \frac{r-1}n \right) \right\} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac 1{n!} \end{aligned}$$
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하지만 위 증명의 마지막 부분은 엄밀하지 않다. 무한개가 더해져 있을 때는 시그마의 성질이 먹히지 않을 때가 있기 때문이다.
6.2.2. 오일러의 공식 $$e^{ix}= \cos x + i \sin x$$ 증명하기
상술한 $$e^x$$에 $$x$$대신 $$ix$$를 대입해 보자.($$i = \sqrt{-1}$$)
$$\displaystyle e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(ix\right)^n}{n!} = 1 + ix + \frac{\left(ix\right)^2}{2!} + \frac{\left(ix\right)^3}{3!} + \frac{\left(ix\right)^4}{4!} + \cdots\cdots + \frac{\left(ix\right)^n}{n!} + \cdots\cdots$$
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$$i^2 = -1$$, $$i^3 = -i$$, $$i^4 = 1$$이므로,
$$\displaystyle \begin{aligned} e^{ix} &= 1 + ix - \frac{x^2}{2!} -i \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i \frac{x^5}{5!} + \cdots\cdots \\ &= \left(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots\cdots + \left(-1\right)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots\cdots \right) + i\left(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots\cdots + \left(-1\right)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots\cdots \right) \end{aligned}$$
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따라서 아래 식을 보일 수 있다.
$$\displaystyle e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n x^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \cos x+ i\sin x$$
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6.2.3. 오차함수(Error function)의 무한급수
확률, 통계나 미분방정식에서 나타나는 비초등함수의 대표적인 예로 오차함수($$\mathrm{erf} \left(x\right)$$)가 있다. 비록 특수함수이지만 마찬가지로 무한급수를 펼칠 수 있고, 이에 따라 근삿값을 얻을 수 있다.
$$\displaystyle \mathrm{erf}\left(x\right)=\frac 2{\sqrt\pi} \int_0^x e^{-t^2} \, dt$$
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피적분 함수를 무한급수로 전개할 수 있다.
$$\displaystyle e^{-t^2}= \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n t^{2n}}{n!}$$
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따라서 오차함수의 무한급수는 아래와 같이 나타난다.
$$\displaystyle \mathrm{erf}\left(x\right)=\frac 2{\sqrt\pi} \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n x^{2n+1}}{n!\left(2n+1\right)}$$
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정규분포표를 구할 때 쓰는 오차함수도 다음과 같이 쉽게 나타낼 수 있다.
$$\displaystyle \frac 1{\sqrt{2\pi}} \int_0^x e^{\frac{-t^2}2} \, dt = \frac 1{\sqrt{2\pi}} \sum_{n=0}^\infty \frac{\left( -1 \right)^n x^{2n+1}}{n! \left( 2n+1 \right) 2^n}$$
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7.1. sinh 함수, cosh 함수
$$y=\sinh x$$, $$y=\cosh x$$는 정의에 따라 무한급수를 도출할 수 있다.
먼저 쌍곡사인 함수는 $$y=e^x$$의 무한급수의 홀수 번째 항들로 구성된다.
$$\displaystyle \sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}2 = \frac 12 \left\{\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\cdots \right)-\left(1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\cdots\cdots \right)\right\} = x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots\cdots \\ \therefore \sinh x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$
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쌍곡코사인 함수는 짝수 번째 항들로 구성된다.
$$\displaystyle \cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}2 = \frac 12 \left\{\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\cdots \right)+\left(1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+ \cdots\cdots \right)\right\} = 1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots\cdots \\ \therefore \cosh x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}$$
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7.2. 나머지 함수들
삼각함수 항목에서 전술한대로 $$\tanh x$$, $$\mathrm{csch}\, x$$, $$\coth x$$는 조금 다른 방식으로 정의된다. 아래에 $$\tanh x$$에 대한 급수식이 맨 처음에 나오지만, 식의 길이를 보면 알 수 있듯이 사실 $$\coth x$$의 급수를 기반으로 나머지 두 식이 유도되는 관계에 있다.
[6] 애초에 식에 포함되는 베르누이 수열이 \coth x를 이용해서 정의된다.
역시 $$\mathrm{sech}\, x$$는
오일러 수열($$E_n$$)을 이용해서 정의된다. 각 일반항의 유도 과정은
베르누이 수열,
오일러 수열 문서 참조
$$\displaystyle \begin{aligned} \tanh x &= \sum_{n=1}^\infty \frac{ \left( 16^n - 4^n \right) B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} = x - \frac 13 x^3 + \frac 2{15}x^5 - \frac{17}{315}x^7 + \cdots\cdots \\ \mathrm{csch}\, x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{ \left( 2 - 4^n \right) B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} = \frac 1x - \frac 16x + \frac 7{360}x^3 - \frac{31}{15120}x^5 + \cdots\cdots \\ \coth x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{4^n B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} = \frac 1x + \frac 13x - \frac 1{45}x^3 + \frac 2{945}x^5 - \cdots\cdots \\ \mathrm{sech}\, x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac 12x^2 + \frac 5{24}x^4 - \frac{61}{720}x^6 + \cdots\cdots \end{aligned}$$
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8. 로그함수 $$\ln\left(1+x\right)$$
$$\displaystyle \ln\left(1+x\right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\left(-1\right)^{n+1}x^n}n = x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 - \frac{x^4}4 + \cdots\cdots \ (-1<x \leq 1)$$
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그래프 보기위보다 더 빨리 수렴하는 테일러 급수도 있다.
$$\displaystyle \ln x-\ln \left ( x-1 \right )=\sum_{n=1}^\infty \frac 1{nx^n} \ (x >1)$$
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이것이다.
자연로그 함수는 유리함수의 적분으로 표현할 수 있다.
$$\displaystyle \ln \left(1+x\right)=\int_0^x \frac {dt}{1+t}$$
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피적분함수를 무한등비급수로 전개하면
$$\displaystyle \left(1+t\right)^{-1} = 1-t+t^2-t^3+\cdots\cdots = \sum_{n=0}^\infty \left(-t\right)^n$$
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따라서 이 무한급수를 적분하면 자연로그의 무한급수를 도출할 수 있다.
$$\displaystyle \ln \left(1+x\right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n x^{n+1}}{n+1}$$
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$$\begin{aligned} W(x) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}x^n \\ &= x - x^2 + \frac32x^3 - \frac83x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \cdots\end{aligned}$$
$$\displaystyle \begin{aligned} S(x)&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \pi^{2n+1} x^{4n+3}}{2^{2n+1}(2n+1)!\cdot(4n+3)} \\ C(x)&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \pi^{2n} x^{4n+1}}{2^{2n}(2n)!\cdot(4n+1)} \end{aligned} $$
11. 브링 근호 $$\mathrm{BR}(-x)$$
$$\displaystyle \mathrm{BR}(-x) = \sum_{k=0}^{\infty} \dbinom{5k}{k}\frac{(-1)^{k} x^{4k+1}}{4x+1}$$
- $$\displaystyle K(k) =\frac{\pi}{2} \left[1+ \sum_{n=1}^{\infty }\left [ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \right ]^{2}{k^{2n}} \right]\\ =\frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^{\infty }\left [ \frac{(2n)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}} \right ]^{2}k^{2n}$$
- $$\displaystyle E(k) =\frac{\pi}{2} \left[1- \sum_{n=1}^{\infty }\left [ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \right ]^{2} \frac{k^{2n}}{2n-1} \right] $$