3대 작도 불능 문제
1. 개요
고대 그리스부터 내려온 작도 문제.
...의 3개다. 문제는 기원전부터 내려왔지만 수학적으로 증명된 건 대수학이 발전한 19세기에 이르러서였다. 어찌보면 페르마의 마지막 정리를 능가하는 문제.
2. 제한사항
중요한 건 여기에서 작도란 "'''눈금 없는 자'''와 '''컴퍼스'''만을 '''유한 번''' 이용하여 하는 유클리드 작도" 라는 것이다. 이것 말고 눈금 있는 자를 사용하는 '뉴시스 작도' 처럼 '다른 기타 도구를 사용'한다면 3대 작도 불능 문제 자체가 성립되지 않으며, 무슨 도형이든 얼마든지 작도할 수 있다. 이 '다른 도구' 엔 '''눈금 없는 각도기도 포함된다'''. 가령 눈금 없는 자에 작은 반원을 붙여 만든 도구로 주어진 각을 삼등분할 수 있다. 종이를 접는 것을 허용할 경우에도 가능하다. 무한번 사용할 경우에도 가능하다. 직사각형 자 2개로 각 3등분하기 원기둥으로(...) 원과 같은 둘레의 정사각형 작도하기 이 사이트는 수학이 수군수군[1]의 사이트이다.
이렇게 도구와 방법의 제약이 있으니 작도 불가능한 문제들은 당연히 많으며 만들기 나름이다. 유클리드 작도가 가능하다는 말은 어떤 수(작도수)를 유리수의 유한한 사칙연산과 제곱근만으로 나타낼 수 있다는 말과 동치이다. 달리 말하자면 유리수나 유리수의 제곱근만으로 나타낼 수 없는 수는 작도수가 아니다. 따라서 작도 불능 문제는 무수히 많다고 할 수 있다. 그리고 작도에서 허용하는 도구와 방법이 제한되어 있으므로 작도 불능 문제가 있다는 것은 당연한 것이지 신기한 것이 아니다.
물론 여기에 제시된 3가지 문제가 작도 불능임이 증명되었으므로 '작도 불능 문제가 존재한다' 는 증명이 끝난 셈이다. 이 사실을 이용하여 다음 사실도 알 수 있다. 종이 위에 아무렇게나 점 두 개를 찍는다. 그 두 점과 작도에서 허용하는 도구와 방법을 이용하여 새로운 점 하나를 찾는다(예를 들면 그 두 점의 중점이라든가 그 두 점과 연결하여 직각이등변삼각형을 만들 수 있는 새로운 점이라든가). 그리고 처음 점 두 개와 새로 만들어진 점을 이용하여 같은 방법으로 네번째 점을 찍고 또 같은 방법으로 다섯번째 점을 찍는다. 이것을 무한히 반복한다 하더라도 만들어지는 점들의 집합이 좌표평면을 완전히 덮을 수 없다. 만약 어떤 도형이라도 작도할 수 있다면 덮을 수 있어야 한다. 점은 넓이가 없지만, 실수 개의 점을 나열하면 길이를 가진 직선을 만들 수 있으며 실수의 제곱 개의 점이 있다면 면적이 생긴다.
참고로 이 3문제 중 위의 2개는 '''대수적인 모든 실수가 작도 가능한건 아니라'''는 반례에 해당하며, 마지막 3번째는 '''대수적이지 않은 수는 작도 불가능'''하다는 사실의 대표적인 예시에 해당된다.
3. 목록
3.1. 임의각의 삼등분 문제
전제조건은 '임의의 각', 즉 모든 각에 통용되어야 하는 조건이 달려 있다. 왜냐하면 직각의 경우에는 컴퍼스를 이용해 단 세 개의 원을 긋는 것만으로도 3등분이 가능하며,[2] 방법이 좀 복잡하긴 하지만 작도에서 허용하는 도구와 방법만으로 3등분을 할 수 있는 다른 각도 많이 알려져 있기 때문이다. 그래서 사람들은 '어떤 각을 갖고 하더라도 역시 가능한 방법이 있지 않을까?'하고 도전해 왔으나 처참하게 실패했다. 이렇게 많은 사람들의 삽질이 거듭되다가 결국 눈금없는 자와 컴퍼스만을 가지고는 임의의 각을 3등분할 방법이 없다는 사실이 수학자 피에르 방첼(Pierre Wantzel)에 의해 '''증명'''되었다.
실제로 3등분 작도가 가능한 각은 많다. 예를 들어, 어떤 각이 작도 가능하다는 것은 그 3배각의 3등분 작도가 가능하다는 이야기다. 또한, 3등분 작도가 가능한 각은 그 2배각이나 절반각도 3등분 작도가 가능하다. 한 예로 101.25도는 얼핏 보기엔 작도가 불가능한 각처럼 보이나 이는 그냥 숫자로만 써놓아서 어정쩡하게 보이는 것이지 작도 가능한 직각을 9/8배 한 각이다.
그러나 60도는 삼등분 불가능함이 증명됐다. $$ \cos20^{\circ}=\alpha $$ 라 두자. 코사인 3배각 공식에 의해 $$4\cos^3 20^{\circ} - 3\cos 20^{\circ} = \cos 60^{\circ}= 1/2$$ 이므로 $$4\alpha^3 - 3\alpha = 1/2$$ 에서 $$8x^3-6x-1=0$$ 의 유리수 해는 존재하지 않으므로 저 다항식은 기약 다항식이다. 작도 가능하려면 유리수에서 기약 다항식의 차수가 2n 이어야 하므로 $$ 60^\circ $$ 는 삼등분 불가능하다.
그러므로 임의의 각도가 모두 3등분이 가능한것은 아니다. 만약에 임의의 각의 3등분 작도가 가능하다면, 작도가 불가능함이 이미 증명된 각인 60도가 주어지더라도 60도인지 모른 채 그 방법대로 3등분이 가능해야 되는데, 60도는 이미 삼등분이 안되는것이 증명이 되었으므로, 반례를 보였으니 불가능하다는 것이다 . 구체적으로는 작도가 가능한 각의 3배각이 3등분 가능한 각이라고 할 수 있다. 즉, 특정 조건에 한해 3등분이 가능하다면 그 특정 조건을 모른다는 가정하에서는 3등분이 가능하다고 말할 수 없는 것이다.
주의해야 할 것이 어떤 각이 다른 각의 3등분각이라고 무조건 작도가 불가능한 것은 아니다. 예를들어 정 15각형의 한 외각의 크기는 24도이고, 정 5각형의 한 외각인 72도의 3등분각이지만 '''72도를 작도하지 않고 바로 24도가 작도 가능'''하므로 정 15각형은 작도가 가능하다.
대한민국에서 많은 수학자들이 풀었다고 했으나 닉네임 puzzlist[3]에 의해 모두 침몰되었다. 매 항목마다 엉터리 풀이를 짓밟으며 매정하게 생업에 힘쓰라고 일침을 가하는 부분이 압권.
3.1.1. 삼등분가
임의각의 3등분이 불가능하다는 것이 밝혀지고 나서도 수 세기동안, 그리고 오늘날에도 "자신이 모든 각이 3등분 가능함을 증명했다"고 주장하는 사람들은 나타나는데, 이들을 소위 '삼등분가'라고 한다. 영어권에서는 'trisector'라는 은어로도 불린다. 한국에도 여러 명 존재하는데 이 사람들의 주장을 계속 보다보면 유사과학 문서에 나와있는 유사과학의 패턴과 '''똑같다'''. 삼등분가들이 임의의 각을 3등분하는 데 성공했다고 주장하면서 수학자들이 그 주장에 오류를 친절하게 찾아내서 지적을 해줘도 이를 인정하지 않으려고 들어서 수학자들에게 민폐를 끼치는 일이 빈번하자 현재는 세계적으로 삼등분가들의 주장을 담은 논문은 학계에서 전혀 거들떠보지도 않는다. 다만 수학교육에서는 어느 정도 연구 대상은 될 수 있다. 이런 인간이 왜 생기는지, 이런 인간을 없애려면 어떻게 해야 할지...
실제로 이러한 사람들이 풀었다는 방법은 하자가 많다. 그 예를 들자면 다음과 같다.
- 허용되지 않는 방법을 이용함: 이 경우 '작도' 불능 문제가 아닌 전혀 다른 문제를 푼 것이 된다. 풀이 과정에 작도에서 허용하는 도구와 방법으로는 찾을 수 없는 점이 있는데, 아무리 지적해줘도 그 점을 찾을 수 없다는 것을 받아들이지 못한다. 그 점이 나왔다는 건 무언가 허용되지 않는 방법을 이용했다는 뜻이다.
- 눈금이 있는 자를 이용한 작도: 이러한 작도를 뉴시스 작도(Neusis construction)라고 한다. 일반 작도로는 불가능한 도형 중에서도 뉴시스 작도로 가능한 도형이 있다. 대표적으로 정칠각형. 임의의 각을 3등분하는 문제도 뉴시스 작도법을 이용하면 가능하다. 그러나 앞서 말했듯 이 문제는 눈금이 없는 자를 이용해서 풀어야 하므로 뉴시스 작도법을 절대로 인정하지 않으며 일반 작도법으로는 여전히 임의의 각을 3등분할 수 있는 방법이 없다. 눈금 없는 자 위에 눈금을 그려서 쓰는 것도 뉴시스 작도로 간주된다. 참고로 뉴시스작도법으로 이 문제를 푸는 방법은 주어진 각을 중심으로 하는 원을 그린다→주어진 각을 끼고 있는 두 반직선 중 한 반직선을 반대로 늘린다. 길이는 원 밖으로 빠져나온 길이가 반지름 길이보다 조금 더 길게끔 한다→반지름의 길이를 자의 한 가장자리에 눈금으로 표시를 해놓고 가장자리쪽 눈금을 늘인 직선 위에 놓고 반대쪽이 다른 한 반직선과 원의 교점 위에 가게 미끌어 놓아본다. 안쪽 눈금이 원 위에 놓이도록 맞춰놓고 선을 그리면 주어진 각의 1/3 크기 각이 나온다. 이 그림을 참조할 것.
- 종이접기 작도: 종이접기 작도를 할 경우에도 각의 3등분은 가능하다. 하지만 이 경우 눈금 없는 자와 컴퍼스 외에 '접은 종이'라는 도구를 이용하게 되는 것으로, 유클리드 작도의 정의를 벗어난다. 종이접기는 주로 서양보다는 동양 수학에서 연구되었던 분야이며 컴퍼스가 없는 대신 종이접기를 허용할 경우 어떻게 작도하는지 살펴보면 신기한 나름 흥미로운 분야이다. 그러나 이것은 완전히 별개의 문제이고 여전히 유클리드 작도에서는 불가능하다.
- 무한 반복을 허용하는 작도: 컴퍼스를 특정한 너비로 펼쳐 놓고 '셀 수 없이 많이 원을 그리면 특정한 점이 나온다'든가 하는 식으로 사고실험을 시도하는 부류. 역시 오류이다. 작도 횟수는 반드시 유한해야 하며[4] 무한 반복하는 방법은 인정하지 않는다. 예를 들면 각의 2등분의 반복을 이용하여 임의의 각을 3등분에 근사할 수 있다. [math(\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\cdots=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3})]이 되어 $$\displaystyle \frac{1}{2^n}$$인 수들의 급수합으로 $$\displaystyle \frac{1}{3}$$에 수렴하는 수를 만들 수 있으므로.(Wolfram Alpha 공식) 그러나 무한 반복해야 하므로 인정되지 않는다. 또한 자는 반드시 선분이나 직선을 긋는 용도로만 사용할 수 있으며 그 이외의 용도는 허용하지 않는다. 예를 들면 자 분지르기, 컴퍼스 눕히기, 자의 직각 부분을 이용해 사각형을 긋기, 삼각자를 이용해 삼각형을 긋기, 모양자의 모양 틀을 이용하는 방법 등은 자를 허용되지 않은 방법으로 사용했으므로 규칙 위반이다.
- 수학적으로 정확하지 못한 값을 구함
- 근삿값을 인정하자는 경우: 정확한 답이 아닌 근삿값만을 구한 후 구했다고 하는 경우도 있는데 수학적으로 정확한 값을 구해야 한다. 가끔 유사수학자의 경지까지는 이르지 못한 일부가 '정확한 값은 못 구했지만 근삿값은 구했다' 고 이야기하는 경우도 있는데 그건 아마 '눈으로 구분할 수 없을 정도의 근삿값을 구하는 문제'는 애초에 불가능이 아니었다는 것을 몰랐기 때문일 것이다. 덧붙이자면 일반인들이 '각 3등분 작도 불능'이라는 개념을 막연하게만 생각하지 구체적으로 어떤 의미인지를 알지 못하기 때문인 것도 있다. 어떤 조건이 있고 어떤 제약이 있는지를 완벽하게 알지 못하고 그러한 상황에서 불가능한 것이라는 개념이 잡히지 않은 것이다.
- 우연성을 주장하는 경우: 점을 우연히 찍었더니 원하는 답이 나온 경우도 인정하지 않는다. 재현성이 있는 방법만을 인정하기 때문이다. 애초에 수학적으로 정밀하게 생각해보면 '우연히 어떤 점을 찍었더니 그 점이 2였어요!' 라는 식은 절대로 성립할 수 없다. 실수집합의 크기는 무한하므로 어느 수를 원해서 찍었더라도 그 찍은 수가 원하는 수일 확률은 0이기 때문이다.
- 각의 3등분이 호의 3등분과 동일함을 이용하나, 엉뚱한 호를 3등분해놓고 그 3등분점에 선을 이어서 각의 3등분을 했다고 주장한다. 예시[5]
- 삼등분한 각이 알고 보니 임의의 각이 아님: 3등분해야 하는 각을 처음부터 제시하지 않고 문제 풀이 중에 적당하게 만들어 그것에 대한 3등분을 했다고 주장하는 경우. 처음 각 x가 주어지면 그걸 바탕으로 각 y를 만들고 각 y/3를 만든 후 각 y의 삼등분에 성공했다고 주장한다. 이 경우 y를 x에 관해서 표기하는게 가능할테고, 그걸 3으로 나눠보면 3등분이 아닌 전혀 다른 일을 했다는 걸 알 수 있다. 비유하자면 과녁 위에 화살을 정확히 맞히는 게 아니라 화살을 먼저 쏘고 과녁을 그린 다음에 명중했다고 우기는 꼴이다. 훌륭한 예 이 블로그 작성자가 자신의 블로그에 언더우드 더들리 교수에게서 증명에 대해 편지를 보내 답신을 받은 내용을 남겼는데, 편지글의 일부 내용 중 "You are quite right that your method divides the angle XAY into three parts. But it is not a trisection of a general angle because ...(후략)" 이 부분으로 이 증명에 대해 요약할 수 있겠다. 덧붙이자면 이 블로그 글에서 증명한 것이 사실 뭐냐면 '직각삼각형에서 직각이 아닌 각 가운데 하나가 삼등분된 상태로 주어져 있다면, 나머지 각 하나를 삼등분할 수 있다'는 뜻이다(좀더 의미를 확장하면 삼각형의 세 각 중, 두 각이 삼등분된 상태로 주어져 있으면 나머지 한 각의 삼등분은 작도 가능하다는 말이다). 이 증명이 의미가 있을지 없을지 판단하는 것은 보는 사람 몫이다. 사실 이 블로그 작성자의 핵심글은 이 글이 아니라 과녁그리기를 제대로 보여주는 이 글이다. 작성자의 궤변을 요약하면 임의각(=작성자가 문제풀이 중 만든 각)의 3등분은 작도할 수 있고(다른 사람이 못해낸 것을 자기가 해냈고) 60도의 3등분은 작도할 수 없으며, 60도는 임의각이 아니므로 임의각 3등분 작도 문제와 아무 상관 없다는 것이다. 즉 60도의 3등분도 작도할 수 있다 주장하는 다른 삼등분가와 궤변의 양상이 조금 다르다.
앞서 이야기한 60도의 경우 60도의 3등분 작도 불가능을 인정하면서도 그것이 '크기를 모르는 각' 의 3등분 작도 문제와는 아무런 상관이 없다고 주장하는 인간들이나[7] 아니면 그것을 인정하지 않고 60도도 3등분 작도를 할 수 있다고 주장하는 인간들이나... 유사수학자들의 유형은 다양하다. 위에 링크된 화살 쏘고 과녁 그린 삼등분가의 글에서도 찾아볼 수 있다. 답이 없다.
3.2. 입방체의 배적 문제
이 2번째 작도 문제는 '''델로스 문제'''(Delian problem)라고 불린다. 그리스의 델로스라고 하는 섬에 괴질이 돌아, 아폴론 신전에 신탁을 받았더니 신이 괴질을 없애주는 조건으로 이 문제를 해결하라고 했다는 이야기로 꽤 많이 알려져 있다. 세부적인 이야기는 다음과 같다.
요약하면, '''너네를 낫게 해줄 생각 따위는 없다.'''고대 그리스의 델로스 섬에 갑자기 전염병이 돌았다. 그리스인들은 전염병을 종식시킬 해법을 찾기 위해 델포이의 아폴론 신전에 빌었고 신탁은 다음과 같았다.
"'''신전의 제단의 부피를 2배로 늘려라. 단 세 변의 비율은 같아야 한다.'''" (또는 원래부터 제단이 정육면체이며 그 모양은 그대로 부피만 2배로 늘리라고 하기도 한다)
그러자 그리스인들은 제단 각 변의 길이를 2배로 늘렸지만 전염병은 계속되었다. 이는 '''각 변의 길이를 2배로 늘리면 부피가 8배로 늘어나 버리기 때문이었다.''' 제단의 각 변의 길이가 x, y, z라고 하면 2배로 늘리면 부피는 2x×2y×2z=8xyz 즉 8배. 부피를 2배로 늘리려면 각 변의 길이를 ³√2(≒1.25992105)배로 늘려야 한다.
물론 '실제 제단'이라는 걸 더 유념하면 오차범위를 작게 줄여 만들 수는 있어도 수학적인 방법은 아니다. 이 일화의 후일담이 수학 교육 만화에 언급된 바 있는데 어느 학자가 뉴시스 작도법으로 문제를 해결하긴 했지만 당시 교육 풍토상 사도에 가까운 행위였기 때문에 사람을 구하기 위해서라지만 외도를 했다는 이유로 자책하다가 잠적해버렸다는 이야기[9]가 있다.
그런데 웃긴 점은, '''사실 아폴론의 신탁에는 자와 컴퍼스만을 이용하라는 말은 없었다.''' 즉, 불가능한 것은 '''작도'''일 뿐이지 '''제도'''는 얼마든지 해도 상관없었다는 이야기. 자와 컴퍼스 말고도 좋은 도구 많으니 그런 거 써서 제작하면 되며, 아주 간단하게 가로, 세로, 높이의 곱으로 제단의 부피를 '''측정'''해 점토로 제단 부피의 2배 크기를 만들어도 된다.
참고로 주어진 정사각형의 두 배의 면적을 갖는 정사각형은 피타고라스 정리를 이용해서 대각선의 길이를 따는 방법으로 작도할 수 있다. 그러나 주어진 정육면체의 두 배의 부피를 갖는 정육면체는 이 방법으로도 작도할 수 없다. 한변의 길이가 1인 정육면체의 대각선의 길이는 2의 세제곱근이 아닌 루트 3이다.
입시명문 사립 정글고등학교의 한 에피소드에 이 문제가 나오기도 했다. 이 화에서 전교 1등 불사조는 '''그냥 종교를 바꿔라'''라는 패기로운 해답을 내놓았다.[10] 바꿔 말하면 불사조도 두 손 들 정도로 문제가 노답이라는 얘기.
3.3. 원의 정방화 문제
마지막 작도 문제로, '''원적 문제(圓積問題)'''라고도 한다. 이 역시 많은 수학자들의 도전에 의해 작도 불가능함이 증명되었다. 만약 어떤 원의 반지름이 1이라고 했을 때 그 원의 넓이는 $$\pi$$가 되므로 그 원과 같은 넓이를 가지는 정사각형의 한 변의 길이는 $$\sqrt\pi$$가 되어야 한다. 즉, 이 문제는 $$\sqrt\pi$$의 값을 구하는 유리계수 방정식이 존재하는가 하는 문제와 동일한 문제이다. 위의 두 문제는 다음과 같은 유리계수 방정식이 존재하며 그 근을 유리수의 사칙연산이나 제곱근만으로 나타낼 수 없다.
- 각의 삼등분: 8x3 -6x+1 = 0(3배각 공식을 이용하면 나온다. 이 식 자체는 60도의 불가능만 보여주는 것이지만 60도 하나만 찾아내도 그걸로 증명이 끝나는 이유는 이미 설명했다)
- 주어진 부피의 2배가 되는 정육면체: x3 = 2
이 문제를 풀 수 있으려면, 딱 한마디로 파이가 대수적 수여야 한다. 즉, 푼다는건 말도 안되는 소리. 그리고 파이와 같은 길이를 가지는 선을 작도할 수가 없다.
고대 이집트의 파피루스의 기록에는 반지름이 1인 원과 같은 넓이를 가지는 직사각형의 한 변의 길이(즉, $$\sqrt \pi$$의 값)의 근삿값을 $$16/9$$[13]으로 제시하고 있지만, 어디까지나 근삿값일 뿐.
4. 풀 수 없는 까닭과 의의
풀 수 없는 까닭을 한 마디로 요약하면 '이 문제들을 풀기 위해 필요한 도구와 방법 중 작도 규칙상 허용되지 않는 것이 있기 때문'이다.
각의 삼등분과 정육면체의 부피를 두배로 하는 문제가 작도불능이라는 수학적인 증명을 원한다면 여기를 참고하자. π의 작도불능(π가 초월수임의 증명)은 아주 복잡해서 전공서적을 찾아야 한다. 그리고 불가능함이 증명되어있으니 탐구 문제 이상으로 심각하게 생각하지 말자. 이거 풀려고 평생 바치다가 인생 망치는 사람 많다. "불가능함을 증명하는 것"을 기존의 방법보다 좀 더 쉬운 방법으로 하는 방법을 찾는 것 쪽으로 가면 가치 있는 일일 것이다. 의미 있는 도전과 어리석은 도전은 종이 한 장 차이이다.
사실 작도, 특히 눈금없는 자와 컴퍼스만을 이용하여 도형을 그리는 유클리드 작도 행위 자체는 고대 그리스 수학자들의 하나의 '''지적 유희'''에 불과했다. 즉, 오늘 말로 하자면 퀴즈라는 이야기. 철학과 수학의 영역이 완전히 분리되지 않았던 고대 그리스 시대에는 수를 측정하고 계산하는 것보다 이러한 간결한 방식으로 도형의 진리를 구현하는 것을 이상적이라고 여겼으며, 3대 작도 불능 문제라는 거창한 도전과제가 생기고 수많은 사람들이 이를 연구한 것도 그런 역사적 배경의 산물이었다.
다만, 근대 이후 작도가 '''왜 불가능한가?'''에 중점을 두고 연구한 수학자들에 의해 그 가치가 조금은 부여되었을지도 모르겠다. 굳이 의의가 있다면 순수하게 '''기하학'''의 영역이라고 여겨졌던 작도 문제가 '''대수학'''의 방법으로 문제가 풀렸다는 것에 있다[14][15][16](그 역사를 거슬러 올라가자면 가우스가 정n면체의 작도 가능성으로 올라가지만). 더불어 군 이론이 등장하면서 대칭 역시 군으로 표현가능한 대상이 되면서 기하학은 더욱 더 풍부한 도구들을 가지게 되었다.
3대 작도 불능 문제 중 역이 가능한 것은 각의 3등분 문제뿐이다. 주어진 정육면체의 부피를 반으로 만드는 정육면체를 만드는 것은 작도 불능이며 주어진 정사각형과 같은 넓이인 원을 만드는 것도 작도 불능이다.[17] 그러나 주어진 각을 3배로 만드는 것은 작도 가능하다. 그래서 저 위에서 언급한 '화살 쏘고 나서 과녁 그려 명중시키기' 가 가능한 것이다. 즉 각 a를 만든 후 그 각을 3배로 만들면 3a가 된다. 3a 자체의 3등분은 당연히 작도 가능하고,'3a를 바탕으로 하여 작도할 수 있는 각' 중 일부도 3등분 작도할 수 있다. 당연히 이 각의 3등분 문제는 '그때 그 문제'가 아니다.
자칭 이 문제들을 풀었다는 사람들 왈, 편견과 고정관념에 사로잡혀서 문제를 못 푸는 거라고. 그것 자체는 맞는 말이다. 원래 작도라는 것은 '특정한 도구와 방법만 허용하고 그 외의 것을 일절 불허하며 허용하는 도구의 측정 오차는 없다고 가정하는' 전제 하에 고대 그리스 지식인들이 벌인 '지적 스포츠'다. 다시 말해, 위와 같은 사람들이 '편견과 고정관념'이라고 말하는 그것은 '''작도라는 스포츠를 하는 '게임의 규칙'이다.''' 수학자들도 그 '게임의 규칙'을 버리면 저 문제들 얼마든지 푼다.[18] 몇백 년 동안 수학자들이 증명하려는 것도 '혹시 그런 편견과 고정관념에 사로잡히고도 풀 수 있나' 였고 결론도 '역시 그런 편견과 고정관념에 사로잡히면 못 푼다' 였다. 한마디로 저 사람들 말은 전공자라면 다들 뻔히 아는 것을 마치 자기들만 알고 있는 것처럼 유세하고 있는 것. 또한 이런 사람들은 원래 문제가 안 풀리다 보니 그때 그 문제를 그대로 푸는 것이 아니라 조건을 첨삭해서 불가능한 문제를 가능한 문제로 바꾸거나 가능한 문제를 불가능한 문제로 바꿔버린다. 당연히 조건을 첨삭한 문제는 그때 그 문제가 아니다.[19] 하지만 조건의 첨삭은 그들이 궤변을 만들 때 큰 도움이 된다. 그리고 그런 조건을 첨삭한 문제를 풀고 그때 그 문제를 풀어냈다고 우긴다. 어떻든 쓰지 말라는 도구와 방법 안 쓰고 문제를 풀었으니까. 문제가 그때 그 문제가 아닐 뿐.
이는 마치 축구 경기를 하는데 공격수가 공을 손으로 잡고 냅다 돌진해서 골대에 꽂고는, '공을 꼭 발로 다루어야 한다는 고정관념에 집착하니 골을 못 넣는 것이다' 라고 말하는 격이다. 물론 축구라는 단서를 빼고 단지 '공을 골대 안에 가져다 넣는다'라는 결과만 두고 보면, 공을 손으로 잡아 넣을 수도 있고 던져 넣을 수도 있고 라켓 따위로 쳐서 넣을 수도 있다. 다른 선수들도 그건 다 안다. 다 할 수 있다. '''하지만 그건 축구가 아니다'''. 축구 시합을 하는데 그렇게 넣고 자기가 골을 넣었다고 주장한다면 반칙이다. 작도를 하는데 '고정관념을 버린 새로운 방법'으로 푸는 사람도 축구경기에서 럭비하는 사람과 마찬가지다. 고대 그리스인이 정한 '게임의 규칙'을 벗어난다면 그건 작도가 아니다.[20] 작도 규칙을 어기거나 재해석해도 된다면, 하다못해 계산기로도 위의 문제들을 얼마든지 풀어낼 수 있다. 그러나 그걸 작도라고 주장해서는 안 된다. 그렇게 하고 싶다면 작도라는 게임의 판에서 떠나야 한다.
작도 문서를 보면 알겠지만 편견과 고정관념에 사로잡혀 있어도 풀 수 있는 문제들의 사례가 많이 나와 있다. 다시 이야기하지만 이 문제는 '''반드시 편견과 고정관념에 사로잡힌 상태'''에서 접근하여야 한다. 이 문제와 관련하여 '편견과 고정관념을 깨자'는 소리는 규정 위반이므로 적어도 여기서는 궤변이다. '편견과 고정관념에 사로잡히면 못 푼다' 이게 정답이다. 그리고 절대로 역발상을 해서도 안 된다. 역발상을 하게 되면 '그때 그 문제'가 아니라 '현 시대에 새로 나온 문제'가 되기 때문이다. 여기서 '하지 말라'는 것이 잔뜩 나오므로 그렇게 손발 다 묶어 놓으면 어떻게 풀라는 말이냐고 의문을 제기할 수 있는데, 그게 정답이다. 그래서 못 푸는 것이다. 그동안 수학자들이 이 작도 불능 문제를 연구한 것도 '편견과 고정관념에 사로잡히지 않으면 풀수 있지만, 혹시 사로잡힌 상태에서도 이 문제를 풀 수 있는가?'였다. 결과는 앞서 말했듯이 '그런 거 없다'임이 증명된지 오래이고.
사실 관점의 차이인데, 이 문서에 나온 세 가지 문제는 모두 풀 수 있는 문제이다. 다만 영 좋지 못한 도구와 방법만을 고집하기 때문에 못 푸는 문제가 되었을 뿐이다. 이 문제를 풀었다고 주장하는 사람들도 고의나 실수로 '좋은' 도구나 방법을 사용한 것이다. 아니면 위에서 언급하였듯 문제에 조건을 첨삭한다. 이러한 이해가 부족하다 보니 뉴스거리도 되지 못할 이런 것이 뉴스에 나오는 것이다. '''도구나 방법이 없어서 못 푸는 문제가 아니라 있는 도구나 방법도 외면해서 못 푸는 문제가 된 건데''' 문제풀이용 도구를 만들거나 그 동안 안 썼던 방법을 쓰는 것이 무슨 의미란 말인가. 물론 '고정관념 중 일부는 그대로 남기고 일부는 깰 때 불가능한 문제가 가능한 문제로 바뀌는가?'는 여전히 수학자들의 관심거리긴 하다.
[1] 여기서는 첫번째 문제는 안 다뤘으며 만약 이문제들을 풀면 영원한 명성을 얻을거라고 한다.[2] 한국의 중학교 작도 파트에 실려 있는 내용이다.[3] 경남대학교 수학교육과 박부성 교수[4] 이 문제가 나왔을 당시에는 '무한'을 다루는 해석학이라는 것이 존재하지 않았다. 아르키메데스가 비슷한 개념을 깨우쳤지만 주류 그리스 수학에는 편입되지 못했고, 오귀스탱 루이 코시에 이르러서야 해석학이 주류 수학으로 자리잡았다.[5] 중심각의 크기가 90°인 호를 새로 만들어서 그걸 삼등분했다.[6] 3등분이 불가능한건 직선의 3등분이 아닌 '''호'''의 3등분이다. 직선을 3등분 했을 때 선분을 양분하는 직선상의 점과 이루는 각의 경우 세 각도가 같지 않고 가운데도 각이 더 크다.[7] 한마디로 그 크기를 모르는 각이 60도라면? 에 답할 수도 없으면서 가능하다고 우기는 꼴이다.[8] 주어진 정육면체의 한 모서리가 $$a$$이고 그려야 하는 정육면체의 한 모서리를 $$x$$라고 하면 $$x^3=2a^3 \rightarrow x=a\sqrt[3]{2}$$.[9] 후일담 말고도, 철학자 플라톤 여러 수학자들과 궁리를 한 끝에 정육면체의 부피를 2배로 늘어나게 하는 장치의 설계도를 그려서, 그걸로 '델로스 문제'라는 괴물을 퇴치하는 내용의 만화도 있다. 웅진에서 출판한 <수학마왕 3 - 풀리지 않는 세 가지 문제> 참고.[10] "종교를 바꾸면 돼. 빌어먹을 아폴론 같으니. 처음부터 낫게 해 줄 생각이 없었던 거 아냐."[11] 주어진 원의 반지름을 $$r$$라 하고 그려야 하는 정사각형의 한 변의 길이를 $$x$$라고 하면 $$\pi r^2=x^2 → x=r\sqrt{\pi}$$. 여기서 $$r=1$$이라 가정 시 $$x=\sqrt{\pi}$$[12] $$\sqrt{\pi}$$가 초월수라는 것은 $$\pi$$가 초월수라는 사실만 알고 있다는 가정 하에서 고등학생 수준에서도 증명 가능하다. 간단히 말해서 $$\pi$$가 초월수가 아닌 대수적인 수라고 가정한 뒤 대수적인 수의 제곱도 대수적이므로 $$\pi$$는 대수적인 수여야 하는데 전제에서 $$\pi$$는 초월수이므로 모순이 생긴다고 증명하면 된다.[13] 1.7777777 ... 로 계속 순환한다. 실제 √π의 값(약 1.77245385091)과 소수점 이하 둘째 자리까지 일치한다.[14] 이를 수학적으로 표현한다면 도형에 관한 문제를 수학식으로 바꾸어 풀었다는 말로 표현된다. 이를 발전시킨 것이 대수기하학이다.[15] 사실 작도가 불능하다는 증명을 믿지 못하는 사람들이 계속 나오는 이유도 근본적으로 여기에 있다고 할 수 있다. 아무리 봐도 기하학만의 영역으로 생각되는 문제를 전혀 쌩뚱맞아 보이는 대수적 방법으로 해결하였으며 증명 과정 또한 추상적이기 그지없기 때문이다. 그리고 가르치는 사람들이 '쓰지 말라는 도구와 방법이 많으므로' 안 되는 것이 당연한데, 그것을 마치 신기한 것처럼 가르치기 때문인 것도 있다.[16] 비슷한 케이스로 타원곡선을 이용해 증명에 성공한 페르마의 마지막 정리, 미분기하학을 이용해 증명한 푸앵카레 정리 등이 있다. 페르마의 마지막 정리에 대한 증명은 기하학의 영역인 타원곡선을 표현하는 방정식이 피타고라스 수의 관계식과 유사한 형태를 띄고 있다는 것에 착안해 출발했으니 3대 작도 불능 문제와는 정반대인 셈. 결국 이들의 공통점은 본래 문제의 수학 분야와는 다른 분야를 들고 와서 푼 것이다.[17] 주어진 조건으로 '''제작'''하는 것은 가능하다. '''작도'''가 불가능할 뿐. 자와 컴퍼스 말고도 좋은 도구 많으니 그런 거 써서 제작하면 된다.[18] 근사값을 구하여 정칠각형과 정십일각형 같은 작도 불가능한 도형들도 얼마든지 '''제도'''할 수 있다. 당연하겠지만 이런 '제도'는 '''작도'''의 정의에서 벗어난다.[19] 가령 '삼각형'에서 한 각을 3등분하는 것은 작도 불능이지만, '다른 두 각이 삼등분되어 있는 삼각형'에서 한 각을 삼등분하는 것은 작도 가능하다. '40도를 이등분'하는 것은 작도 가능하나 '40도를 그려서 이등분'하는 것은 작도 불가능하다.[20] 이들 중에는 규칙의 전부가 아닌 일부만 드러내면서, 규칙을 어기면서 어기지 않는 척을 하는 경우도 있다. 자와 컴퍼스 이외의 도구만 안 쓴다면 무슨 짓을 해도 되는 것이 절대 아니다. 축구로 치면 주심이 오프사이드를 선언하자 자기는 공을 손으로 건드린 적 없는데 왜 반칙이냐고 따지는 것이나 똑같다.