삼각비
1. 개요
직각삼각형의 세 변의 길이 중 '''두 변의 길이간의 비례 관계'''를 나타내는 값이다. 일반적으로 비례 관계는 분수로 나타낸다. 또한 sin과 cos는 반비례이다.
2. 기호와 그 기원
삼각비는 인도에서 처음으로 비롯되었고 이슬람세계에서 이를 발전시켰다. 많은 예상과는 달리 유럽이 이를 뒤늦게 받아들였다. 기호 $$\sin$$, $$\cos$$, $$\tan$$도 인도에서 비롯되었으며, 각 기호를 '사인(sine)', '코사인(cosine)', '탄젠트(tangent)'라고 부르며, 이 표기는 이들을 세 개의 철자로 축약한 것이다.
- 사인(sine): 인도 천문학에서 나온 개념으로 산스크리트어 ज्या(jyā, 활시위)를 음차한 아랍어 jiba의 번역어이다. 12세기 이탈리아의 수학자 크레모나의 게라르도가 jb라고 약칭된 것을 جيب(jayb, 주머니, 가슴)로 착각하여 라틴어 sinus(빈 공간, 옷주름, 가슴)로 번역하게 된 것이다.
- 코사인(cosine): sine의 complementary라는 뜻에서 cosine이 되었다.[1]
- 탄젠트(tangent): 접한다(touching)는 뜻의 라틴어 tangens에서 유래하였다. 탄젠트는 영어로 접선이라는 뜻을 갖는데, 반지름이 1인 단위원으로 삼각비를 정의할 때 접선의 길이를 이용하여 정의된다는 데에서 이름이 유래했다.
3. 설명
아래 나열된 분수식으로 기억하면 더 헷갈린다. 삼각비는 구어적으로 이해하는 것이 중요하다. 항상 '''빗변의 길이'''를 나눠야 될 물리량으로 생각하면 직관적으로 적용할 수 있다. '''밑변의 길이'''에서 나누면 코사인(cosine), '''높이'''에서 나누면 사인(sine)이라고 한다. 일반인은 여기까지만 알면 된다.
엄밀하게는 직각삼각형에 대해 sine, cosine, tangent를 다음과 같이 정의한다.
- $$\displaystyle \sin A = {a \over h} $$
- $$\displaystyle \cos A = {b \over h} $$
- $$\displaystyle \tan A = {a \over b} $$
- $$\displaystyle \csc A = {1 \over \sin A} = {h \over a} $$
- $$\displaystyle \sec A = {1 \over \cos A} = {h \over b} $$
- $$\displaystyle \cot A = {1 \over \tan A} = {b \over a} $$
4. 여담
4.1. 삼각함수와의 차이점
삼각함수와 관련이 있어보이지만[4] '''수학자들 사이에서는 매우 상이한 정의 방법으로 인식된다.'''
삼각비는 직각삼각형으로 정의하는 논증기하학식 방법을 보이지만, 삼각함수는 평면좌표 상의 원으로 정의하는 해석기하학식 방법을 쓴다.
다음 GIF 파일을 보면 알겠지만, 90도(π/2) 단위마다 직각삼각형은 그저 하나의 선분에 지나지 않게 된다. 그래서 삼각비에서는 정의역이 0° < A < 90°로 제한되는 것이다.
[image]
4.1.1. 함수로 정의할 경우
삼각비는 '비례 관계'이며, 함수로 출발하려는 관점은 교육학에서도, 수학에서도 찾아보기 드물다. 그러나 함수로써도 정의가 가능하다.
삼각함수의 정의를 따르되 정의역이 $$\displaystyle 0 < A < {\pi \over 2} \rm rad \left(90 \degree \right) \it$$인 실수에 제한된다는 필요조건이 붙는다. 따라서 둔각에 대한 삼각함수의 정의가 이상하게 보일 수 있다(유클리드 공간에서 한 각이 둔각인 직각 삼각형은 존재하지 않으므로).[5]
구간 내의 값이 일대일 대응이기 때문에 역함수가 존재한다. 다만 공역이 $$0 < f(x) < \dfrac{\pi}{2}$$로 제한된다.
- $$\displaystyle \arcsin {a \over h} = A$$
- $$\displaystyle \arccos {b \over h} =A$$
- $$\displaystyle \arctan {a \over b} = A$$
- $$\displaystyle \mathrm{arccsc}\, {h \over a} =A$$
- $$\displaystyle \mathrm{arcsec}\, {h \over b} =A$$
- $$\displaystyle \mathrm{arccot}\, {b \over a} = A$$
4.1.2. 일부 참고서에서의 오류
'''삼각비에서''' $$0 \degree $$와 $$90 \degree $$를 정의하고 있으면 명백한 오류이다. 중학 과정에서 삼각비의 특수각을 $$30 \degree $$, $$45 \degree $$, $$60 \degree $$만 소개해야만 올바르다. 단계나 과정상의 지침을 어겨서 그런 게 아니라 '''아예 수학적인 정의 자체가 틀려서''' 문제가 된다.
많은 사람들이 삼각함수와 삼각비를 같은 것으로 오해하는데 정의역 자체가 다르다. 삼각비는 삼각함수와 다르게 변수에 $$0 \degree $$와 $$90 \degree $$가 올 수 없다. 함수로써의 관점에서 봤을 때 삼각함수에는 적용이 가능하지만, 삼각형으로 정의되는 삼각비에서는 사잇각이 $$0 \degree $$가 되면 유클리드 기하학 하에서 삼각형 자체의 성립 조건이 붕괴되기 때문이다. 또한 사잇각이 $$90 \degree $$가 되면 그 빗변은 더 이상 빗변이 아닌 높이에 불과하므로 초기삼각형에서 정해둔 빗변과 높이의 개념이 바뀌어 정의가 불가능하다. 이럴 경우에는 극한값은 갖지만 함숫값은 가질 수 없으므로 엄연히 수학Ⅱ 과정의 '극한'과 '연속' 개념을 알아야만 한다.
따라서 중학교 3학년에 '삼각비'라고 명시되어있을 경우엔 $$\sin 0 \degree = 0$$, $$\cos 0 \degree = 1$$, $$\tan 0 \degree = 0$$, $$\sin 90 \degree = 1$$, $$\cos 90 \degree = 0$$과 같은 항등식들은 모두 '''거짓'''이 되므로 유의해야 한다. 단, 재차 언급했듯이 $$\cos 0 \degree = 1$$에서 가리키는 함수가 삼각비가 아닌 삼각함수라면 참이다.
정확한 표기는 다음과 같다.
- '삼각비[a] $$\sin 0 \degree $$는 정의되지 않는다.' 또는 '삼각비에 관한 우극한 $$\displaystyle \lim_{A \to 0\degree+} \sin A = 0$$이 성립한다.'
- '삼각비[a] $$\cos 0 \degree $$는 정의되지 않는다.' 또는 '삼각비에 관한 우극한 $$\displaystyle \lim_{A \to 0\degree+} \cos A = 1$$이 성립한다.'
- '삼각비[a] $$\tan 0 \degree $$는 정의되지 않는다.' 또는 '삼각비에 관한 우극한 $$\displaystyle \lim_{A \to 0\degree+} \tan A = 0$$이 성립한다'
- '삼각비[a] $$\sin 90 \degree $$는 정의되지 않는다.' 또는 '삼각비에 관한 좌극한 $$\displaystyle \lim_{A \to 90\degree-} \sin A = 1$$이 성립한다.'
- '삼각비[a] $$\cos 90 \degree $$는 정의되지 않는다.' 또는 '삼각비에 관한 좌극한 $$\displaystyle \lim_{A \to 90\degree-} \cos A = 0$$이 성립한다.'
- '삼각비 $$\tan 90 \degree $$는 정의되지 않는다.' 또는 '삼각비에 관한 우극한 $$\displaystyle \lim_{A \to 90\degree-} \tan A = \infty$$와 좌극한 $$\displaystyle \lim_{A \to 90\degree+} \tan A = -\infty$$가 성립한다.'
4.2. 교과상에서의 삼각비
전통적으로 중학교 수학 3학년 때 배워서 그런지, 아주 기본적인 것들을 다루기 때문에 개념을 잘 잡는다면 중3 삼각비는 아주 쉽게 돌파가 가능하다. 삼각함수는 고등학교 1학년 공통이었다가 2학년 과정(일반선택)이었다가 아예 자연계(이과) 전용으로 이동된 적이 있을 정도로 이동이 빈번한 편인데 반해, 삼각비는 교육과정 30여 년 역사상 중학교 3학년 과정을 벗어난 적이 없다.
4.3. 타문화권에서의 삼각비
영미권 학생들은 sin cos tan을 각각 SOH CAH TOA, sine = opposite over hypotenuse, cosine = adjacent over hypotenuse, tangent = opposite over adjacent 이렇게 외운다. 한국어의 (분모) 분의 (분자)와 영어의 (분자) over (분모) 어순이 달라서 그렇다. [6]
일본에서는 고1 의 수학Ⅰ 과정에서 삼각비를 배운다.
5. 관련 문서
[1] 그래서 $$ \sin ({\pi \over 2} - \theta) = \cos \theta $$이다. 오히려 사인과 코사인을 삼각비로 정의한 다음에 사인과 코사인 사이에는 이러한 관계가 있다는 식으로 표현을 많이 하지만, 이 식에서 코사인이 태어나게 되었다.[2] 불과 2000년대까지만 해도 대한민국에서는 $$\cosec$$으로 썼으나, 현재는 세계 표준인 $$\csc$$로 모두 통일되었다.[3] 탄젠트와 마찬가지로 단위원을 이용해 시컨트를 정의할 때 원의 할선(secant)의 길이를 이용해 정의되는 데서 이름이 유래했다[4] 우선 기호부터 같다.[5] 구면삼각형 가운데 한 각이 둔각인 직각삼각형이 존재하며, 더 나아가 직각을 끼고 있는 오목삼각형까지 성립된다.[a] A B C D E 정의역이 모든 실수인 삼각함수에서는 참이 되지만 '삼각비'는 아님에 유의하자.[6] 아닌 게 아니라 이 별것 아닌 것 같지만 도저히 적응 안 되는 어순 때문에 한국인들은(사실 일본이나 다른 나라도 많이 겪는 현상이긴 하다) 칸 아카데미나 OCW 같은데서 영미권 수학강의를 처음 들으면 본인의 영어나 수학 실력에 관계없이 뭐라 표현할 수 없는 아스트랄함을 느끼게 된다. (미분은 분수형태 dx/dt로 나타낼 수 있지만 '''윗글자'''를 먼저 쓴다) 단순히 분수 읽고 쓰는 것을 넘어 미분적분, 물리 용어 같은 데서 나비효과가 벌어지는데, 언어가 사소한 사고방식에도 영향을 끼치는 사례라 할 수 있다. 이런 현상은 의외로 대학 고학년생들도 겪는 문제로, 한국에서 아무리 영어 원서를 독파해도 이런저런 식을 '영어로' 어떻게 읽는지는 유학을 가거나 외국인 교수에게 배우지 않고는 모르는 경우도 빈번하다.