해밀턴의 원리
1. 개요
'''해밀턴의 원리(Hamilton's principle)'''는 수학자 해밀턴(William Rowan Hamilton; 1805-1865)이 1834년에 만든 고전역학의 원리로, '''해밀턴의 변분 원리''' 또는 '''최소 작용 원리(principle of least action)'''라고도 한다. 내용은 다음과 같다.
'''Of all the possible paths along which a dynamical system may move from one point to another within a specified time interval (consistent with any constraints), the actual path followed is that which minimizes the time integral of the difference between the kinetic and potential energies.'''
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운동하는 입자들로 이루어진 어떠한 계가 따를 수 있는 수많은 경로 중에 실제로 자연이 선택하는 경로는 액션을 최소화시키는 경로이다.
2. 상세
2.1. 역사
역사적으로 물리학에서는 다양한 최소화 원리(Minimal principle)가 있었다. 최소의 원리는, 자연은 항상 어떤 물리량을 최소가 되게 만들기를 좋아한다는 것이다. 최소화 원리의 시초가 된 것은 2세기에 헤론이 다음 법칙을 발견한 것이다.
이를 통해서 반사의 법칙을 알아낼 수 있었다. (거울 안에 비친 상을 생각해 보면 바로 알 수 있다.)'''빛이 한 점에서 다른 점으로 거울에 반사되었을 때, 자연은 항상 광선의 길이를 최소화한다.'''
페르마는 1657년에 이 법칙을 빛의 굴절에도 적용될 수 있도록 업그레이드 시켰다. 자연은 단순한 경로의 길이가 아니라, '''시간'''을 최소화하는 경로를 따른다는 페르마의 원리(최소 시간의 법칙)이다.
그리고 이를 통해서 굴절의 법칙(스넬의 법칙)을 유도할 수 있다.'''빛이 한 점에서 다른 점으로 갈 때, 자연은 항상 이동 시간을 최소화한다.'''
해밀턴의 원리도 이러한 최소화 원리의 한 종류이다. 그런데 최소화하는 물리량은 뜬금없지만 액션이라는 것이다. 사실 이 원리를 처음 만든 것은 프랑스의 모페르튀이(Maupertuis)라는 사람이다. 근데 이 사람이 만든 액션의 개념은 좀 애매했고 신학적인 부분도 있어서 좀 어설펐다. 하지만 라그랑주 역학이 만들어지고 해밀턴이 다음과 같은 최종 버전을 발표하게 된다.
이건 상당히 충격적인 결과이다. 물체가 원형으로 가거나 직선으로 가거나 느리게 가거나 빠르게 가거나에 전혀 상관없이 무조건 액션은 최소가 된다는 것이다. 게다가 이는 뉴턴 역학과 완전히 똑같은 결과가 나온다.'''물체가 어떤 경로로 움직이더라도, 자연은 항상 액션을 최소화한다.'''
하지만 뉴턴 역학과 철학적으로 다른 점이 있다. 뉴턴 역학에서는 힘(원인)이 가속도(결과)를 만드는 어떤 인과 관계가 항상 존재하지만, 해밀턴의 원리에서는 자연이 액션을 최소화하는 '''목적'''을 가진다. 모페르튀이는 해밀턴의 원리를 보고 '와 하느님이 액션을 최소화시키셔서 자연이 굴러가는 거구나'라고 했는데 이 때문이라고 할 수 있다.
2.2. 수학적 설명
액션이란 라그랑지언을 시간에 대하여 적분한 것으로,
$$\displaystyle \begin{aligned} S &\equiv \int_{ t_1 }^{ t_2 }{ \mathscr{L}\,dt} \\&= \int_{ t_1 }^{ t_2 }{ (T-V)\,dt} \end{aligned}$$
$$\displaystyle \begin{aligned} \delta S = \delta \int_{ t_1 }^{ t_2 }{ (T-V)\, dt} = 0 \end{aligned}$$
그리고 이 말은 액션이 극값을 가진다는 것과 같다.[1] 사실 여기서 '변하지 않는다'라는 것은 무한소의 스케일에서 변하지 않는다는 것이다.'''자연이 선택하는 운동 경로에서 경로를 무한히 작게 변화시킨다고 해도 액션은 변하지 않는다.'''
이 $$ \delta S = 0$$이라는 방정식은 오일러 방정식으로 풀 수 있는데, 이를 다루는 것이 라그랑주 역학이다.
2.2.1. 양자역학에서
양자역학과 고전역학의 대응원리를 통해서 해밀턴의 원리를 보일 수 있다.[2]
조건부 확률이 관계식
$$\displaystyle P(a|c)=\sum_b P(a|b)P(b|c)$$
$$\displaystyle \varphi_{ac}=\sum_b \varphi_{ab} \varphi_{bc}$$
$$\displaystyle \varphi_{(x,\,t;y,\,0)}=\sum_{x(\tau)} \varphi(x(\tau))$$
$$\displaystyle \varphi(x,t;y,0)=C\sum_{x(\tau)} \exp \left ( \frac{iS \left[ x(\tau) \right] }{\hbar} \right )$$
$$\displaystyle \varphi(x,t;y,0)=\int^{x,t}_{y,0} dx(\tau) \exp \left ( \frac{iS\left[x(\tau)\right]}{\hbar} \right )$$
위 수식의 고전적인 근사를 얻기 위해 정지 위상 근사(stationary phase approximation)를 사용하자. 일단, 다음의 적분을 가정하자.
$$\displaystyle F(\lambda)=\int^{\infty}_{-\infty} e^{ i \lambda f(t) }\,dt $$
$$\displaystyle F(\lambda)=\int^{\infty}_{-\infty}dt \exp\left [ i \lambda f(t_0)+\frac{1}{2}i\lambda (t-t_0)^2 f^{\prime\prime}(t_0)+\cdots \right] $$
$$\displaystyle F(\lambda)=\sqrt{\frac{2\pi i}{\lambda f^{\prime\prime}(t_0)}}e^{i\lambda f(t_0)} $$
그러면 다음과 같은 적분을 생각 할 수 있다.
$$\displaystyle \begin{aligned} F_{\alpha\beta}&\equiv \int^\beta_\alpha \exp(i\lambda f(t) )dt \\&=\int^{f(\beta)}_{f(\alpha)}\exp(i\lambda z)\phi(z) \,dz \end{aligned} $$
$$\displaystyle F_{\alpha\beta} = \frac{1}{i\lambda} \left( \biggl[ \phi(z)e^{i\lambda z} \biggr]_{f(\alpha)}^{f(\beta)} - \int^{f(\beta)}_{f(\alpha)} e^{i\lambda z} \frac{d\phi(z)}{dz} \,dz \right) $$
$$ (t-t_0)$$의 고차항을 무시할 수 있다는 것을 보이기 위해 다음과 같은 적분을 가정하자.
$$\displaystyle K(\lambda) \equiv \int^{\infty}_{-\infty}e^{i\lambda t^2 } e^{i\lambda a t^3}e^{i\lambda b t^4}dt $$
[math(\displaystyle \begin{aligned} K(\lambda) &= \int^{\infty}_{-\infty} e^{i\lambda t^2} \left [ 1+i \lambda a t^3 + i \lambda b t^4 -\frac{1}{2}\lambda^2 a^2 t^6 \right. \\
& \hspace{2cm} \left. -\lambda^2 ab t^7 -\frac{1}{2} \lambda^2 b^2 t^8 + \cdots \right ] \,dt \\
&=\sqrt{\frac{i\pi}{\lambda}}\left [ 1-\frac{3ib}{4\lambda}+\frac{15i}{16}\frac{a^2}{\lambda}-\frac{105}{32}\frac{b^2}{\lambda^2}+\cdots \right ] \end{aligned} )] $$ \lambda \to \infty$$일때 $$ t$$의 고차항이 첫 번째 항에 비해 0으로 줄어드는 것을 확인 할 수 있다. 더욱이 적분과정에서 $$ t^2$$이 적분값의 $$ 1/\lambda$$수준의 크기로 작용하므로 $$ \lambda t^3$$이나 $$ \lambda t^4$$은 $$ \lambda^{-1/2}$$과 $$ \lambda^{-1}$$ 수준의 크기가 되어 위에서 가정한 바와 같이 $$ \lambda \to \infty$$일 때 무시된다는 사실을 알 수 있다.
위에서 보였듯이 $$ \lambda \to \infty$$으로 변하면서 함수 $$ \exp\left [ i \lambda f(t) \right ]$$의 $$ t$$에 대한 적분은 $$ f^\prime (t_0)=0$$인 $$ t_0$$에 의해 결정된다. $$ \lambda=1/\hbar$$가 무한히 커지게 되는 건 고전적 극한 $$ \hbar \to 0$$으로 생각 할 수 있으며 이때 위와 마찬가지로 범함수 $$ e^{ {iS [x(\tau) ] }/{\hbar}} $$를 $$ x(\tau)$$에 대해 적분한 확률 진폭의 모습은
$$\displaystyle \frac{\delta S}{\delta x(\tau)}=0 $$