중심력
1. 개요
'''Central force · 中心力'''
'''중심력'''이란, 고정된 정점을 향하는 힘을 의미한다. 즉, 중심력은 고정된 정점으로 부터 떨어진 거리에만 의존한다. 크게 중력, 전기력 등이 있다.
이 문서에서는 중심력을 논할 수 있는 가장 기초적인 문제인 '''이체 문제(Two-body problem)'''을 논의해보는 것을 목표로 둔다. 다만, 나무위키에는 삼체 문제 또한 수록되어 있으니, 참고하기 바란다.
2. 이체 문제
2.1. 환산 질량과 일체 문제로의 변환
'''이체 문제(Two-body problem)'''란, 서로 상호작용하는 두 물체의 운동을 다루는 문제이다.
이체 문제를 그대로 풀기에는 수학적으로 매우 복잡하다. 따라서 편리하게 분석하기 위해 하나의 기술을 써서 이체 문제를 일체 문제로 변환하고자 한다.
그림과 같이 원점 $$\mathrm{O}$$가 있고, 두 질점 $$m_{1}$$, $$m_{2}$$가 있는 상황을 고려하자. 각 질점의 위치 벡터는 각각 $$\mathbf{r}_{1}$$, $$\mathbf{r}_{2}$$이다.
[image]
이 상황에서 질량 중심($$\mathrm{CM}$$)까지의 위치 벡터 $$\mathbf{R}$$을 고려할 수 있고, 이는 다음과 같다:
$$\displaystyle \mathbf{R}=\frac{m_{1} \mathbf{r}_{1}+m_{2} \mathbf{r}_{2}}{m_{1}+m_{2}} $$
$$\displaystyle \mathbf{r}_{2}=- \frac{m_{1}}{m_{2}} \mathbf{r}_{1} $$
$$\displaystyle T=\frac{1}{2}m_{1} |\dot{\mathbf{r}}_{1}|^{2}+\frac{1}{2}m_{2} |\dot{\mathbf{r}}_{2}|^{2} $$
$$\displaystyle T=\frac{1}{2} \mu |\dot{\mathbf{r}}|^{2} $$
$$\displaystyle \mu \equiv \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}} $$
[image]
2.1.1. 양자역학에서 응용
슈뢰딩거 방정식을 따르는 매우 작은 입자계도 질량 중심 $$\mathbf{R}$$과 두 입자 사이의 변위 $$\mathbf{r}$$로 나눠서 일체 문제처럼 생각할 수 있다. 두 입자 $$m_{1}$$, $$m_{2}$$의 위치를 각각 $$\mathbf{r}_{1}=(x_{1},\,y_{1},\,z_{1})$$, $$\mathbf{r}_{2}=(x_{2},\,y_{2},\,z_{2})$$라 하고,
$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{R} &\equiv (X,\,Y,\,Z) \\ \mathbf{r} &\equiv (x,\,y,\,z) \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{R}&=\frac{m_{1}\mathbf{r}_{1}+m_{2} \mathbf{r}_{2}}{m_{1}+m_{2}} \\ \mathbf{r}&=\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1} \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial X}{\partial x_1} &= \frac{m_1}{m_1 + m_2} \\&= \frac{\mu}{m_2} \\ \frac{\partial X}{\partial x_2} &= \frac{m_2}{m_1 + m_2} \\& = \frac{\mu}{m_1} \end{aligned}$$
$$\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x_1 } &= \frac{\partial}{\partial X} \frac{\partial X}{\partial x_1} + \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial x_1 } \\& = \frac{\mu}{m_2} \frac{\partial}{\partial X} + \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial x_2 } &= \frac{\partial}{\partial X} \frac{\partial X}{\partial x_2} + \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial x_2 } \\& = \frac{\mu}{m_1} \frac{\partial}{\partial X} - \frac{\partial}{\partial x} \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}_1 &= \frac{\mu}{m_2} \boldsymbol{\nabla}_R + \boldsymbol{\nabla}_r \\ \boldsymbol{\nabla}_2 &= \frac{\mu}{m_1} \boldsymbol{\nabla}_R - \boldsymbol{\nabla}_r \end{aligned} $$
$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla}_{R}=\sum_{i} \frac{\partial}{\partial R_{i}} \hat{R}_{i} \qquad \boldsymbol{\nabla}_{r}=\sum_{i} \frac{\partial}{\partial r_{i}} \hat{r}_{i} $$
$$\displaystyle - \frac{\hbar^2}{2 m_1} \nabla_1^2 \psi - \frac{\hbar^2}{2 m_2} \nabla_2^2 \psi + V(\mathbf{r}) \psi = E \psi $$
$$\displaystyle - \frac{\hbar^2}{2 M} \nabla_R^2 \psi - \frac{\hbar^2}{2 \mu} \nabla_r^2 \psi + V(\mathbf{r}) \psi = E \psi $$
$$\displaystyle - \frac{\hbar^2}{2 M} \frac{\nabla_R^2 \psi_R}{\psi_R} - \frac{\hbar^2}{2 \mu} \frac{\nabla_r^2 \psi_r}{\psi_r} + V(\mathbf{r}) = E $$
$$\displaystyle \begin{aligned} - \frac{\hbar^2}{2 M} \nabla_R^2 \psi_R &= E_R \psi_R \\ - \frac{\hbar^2}{2 \mu} \nabla_r^2 \psi_r + V(\mathbf{r}) \psi_r &= E_r \psi_r \end{aligned} $$
2.2. 평면 상 운동
이제부터, 중심력이 작용하는 이체 문제를 고려하자. 중심력 외엔 물체에 가해지는 외부 토크는 없으므로 질점계의 각운동량은 보존된다. 즉,
$$\displaystyle \dot{\mathbf{L}}=0 $$
[image]
따라서 물체의 위치를 기술하기 위해선 원점으로 부터 떨어진 거리인 $$r$$과 그 회전각 $$\theta$$만 있으면 됨을 얻으며, 이 계에서 외력이 없기 때문에 계의 에너지 또한 보존되고, 그 에너지를 $$E$$라 놓으면, 다음이 성립한다.
$$\displaystyle \frac{1}{2}\mu (\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\theta}^{2})+U=E $$
만약 $$m_{1}$$, $$m_{2}$$ 사이에 작용하는 힘이 $$\mathbf{F}$$라 하면, 다음이 성립한다.
$$\displaystyle \ddot{\mathbf{r}_{1}}=\frac{\mathbf{F}}{m_{1}} \qquad \qquad \ddot{\mathbf{r}_{2}}=-\frac{\mathbf{F}}{m_{2}} $$
$$\displaystyle \mu \ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{F} $$
$$\displaystyle F(r)=-\frac{\alpha}{r^{2}} $$
$$\displaystyle U(r)=-\frac{\alpha}{r} $$
$$\displaystyle \frac{1}{2}\mu (\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\theta}^{2})-\frac{\alpha}{r}=E $$
계의 라그랑지언은
$$\displaystyle L=\frac{1}{2}\mu (\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\theta}^{2})+\frac{\alpha}{r} $$
$$\displaystyle mr^{2} \dot{\theta}=l $$
$$\displaystyle E=\frac{1}{2}\mu \dot{r}^{2}+\frac{l^{2}}{2 \mu r^{2}}-\frac{\alpha}{r} $$
2.3. 유효 퍼텐셜
위에서 나온 결과에서
$$\displaystyle \frac{l^{2}}{2 \mu r^{2}} $$
$$\displaystyle V(r) \equiv U(r)+ \frac{l^{2}}{2 \mu r^{2}} $$
$$\displaystyle V(r) =\frac{l^{2}}{2 \mu r^{2}}-\frac{\alpha}{r} $$
[image]
위로 부터
$$\displaystyle \frac{1}{2}\mu \dot{r}^{2}=E-V(r) $$
[image]
이다. 이때, 여러 에너지에 대해 다음의 결론을 얻을 수 있다.
- 에너지가 $$\mathbf{E_{1}}$$일 경우
이 경우엔 $$\dot{r}=0$$이므로 $$r=r_{3}$$에서 $$\mu$$는 원운동한다.
- 에너지가 $$\mathbf{E_{2}}$$일 경우
이 경우엔 운동은 $$r_{2} \leq r \leq r_{4}$$에서 구속되어 있는 타원 운동을 한다.
- 에너지가 $$\mathbf{E_{3}}$$일 경우
이 경우에 $$\mu$$는 비속박 상태이며, $$\infty \to r_{1} \to \infty$$로 운동을 하게 된다.
즉, $$\mu$$가 가진 에너지에 따라 $$\mu$$의 궤도는 달라짐을 예측해볼 수 있다.2.4. 궤도 방정식
이제 궁극적인 목표인 $$\mu$$의 궤도 방정식을 얻을 것이다. 위의 에너지 식에서
$$\displaystyle \dot{r}^{2}=\frac{2E}{\mu}-\frac{l^{2}}{ \mu^{2} r^{2}}+\frac{2\alpha}{\mu} $$
$$\displaystyle \dot{r}=\frac{dr}{d \theta} \frac{d \theta}{dt}=\frac{dr}{d \theta} \frac{l}{\mu r^{2}} $$
$$\displaystyle \frac{d \theta}{dr}=\pm \frac{\displaystyle \frac{l}{\mu r^{2} } }{\displaystyle \sqrt{\frac{2E}{\mu}-\frac{l^{2}}{ \mu^{2} r^{2}}+\frac{2\alpha}{\mu} } } $$
$$\displaystyle \theta= \pm \int \frac{\displaystyle \frac{l}{\mu r^{2} } }{\displaystyle \sqrt{\frac{2E}{\mu}-\frac{l^{2}}{ \mu^{2} r^{2}}+\frac{2\alpha}{\mu} } } \,dr $$
이것은 명백히, 원뿔곡선의 극방정식이며,
$$\displaystyle \epsilon=\sqrt{1+\frac{2El^{2}}{\mu \alpha^{2} } } $$
$$\displaystyle r_{0}=\frac{l^{2}}{\mu \alpha} $$
[image]
즉,
임을 알 수 있다.
2.4.1. 타원 궤도
이제 가장 중요한 케이스인 타원 궤도에 대해서 좀 더 분석해볼 것이다. 참고적으로, 이 문단을 보기 전 타원에 대한 지식이 없는 독자들은 타원 문서에서 타원에 대한 지식을 좀 키우고 오길 바란다.
우선, 타원 궤도의 긴반지름을 구해보도록 하자. 초점을 기준으로 가장 반지름이 짧은 곳은 $$\theta =0$$일 때 이므로
$$\displaystyle r_{\mathrm{min}}=\frac{r_{0}}{1+\epsilon} $$
$$\displaystyle r_{\mathrm{max}}=\frac{r_{0}}{1-\epsilon} $$
$$\displaystyle a=\frac{r_{0}}{1-\epsilon^{2}}=\frac{\alpha}{2 |E|} $$
$$\displaystyle b=a\sqrt{1-\epsilon^{2}} $$
$$\displaystyle b=\sqrt{r_{0} a} $$
3. 케플러의 문제
3.1. 면적 속도
[image]
$$\mu$$가 $$\mathrm{P}\to \mathrm{Q}$$를 휩쓸고 가는 미소 면적을 $$dA$$라 하고, 이때, 각은 $$d \theta$$ 만큼 변했다고 하자. 그러면,
$$\displaystyle dA=\frac{1}{2}r^{2} \,d\theta $$
$$\displaystyle \frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}r^{2} \,\frac{d\theta}{dt} $$
$$\displaystyle \frac{dA}{dt}=\frac{l}{2 \mu}=\mathsf{constant} $$
이는 케플러 제 2법칙으로 알려져있다.
3.2. 조화의 법칙
"면적 속도" 문단으로 부터
$$\displaystyle \frac{dA}{dt}=\frac{l}{2 \mu} $$
위에서 $$b=\sqrt{a \alpha}$$라 했으므로
$$\displaystyle a^{3/2} \sqrt{r_{0}} \pi=\frac{l}{2 \mu} T $$
$$\displaystyle \frac{4\pi^{2} \mu }{\alpha}a^{3} = T^{2} $$
$$\displaystyle \frac{T^{2}}{a^{3}} =\frac{4\pi^{2} \mu }{\alpha}=\mathsf{constant} $$
이는 케플러 제 3법칙으로 알려져있다.
4. 예시
4.1. 중력
이 예시는 곧 항상과 행성 간의 공전이나, 행성과 위성의 공전 등과 같은 문제이다. 이 경우에 작용하는 중심력은 중력임에 따라 위에서 놓았던 상수
$$\displaystyle \alpha=Gm_{1}m_{2} $$
따라서 위의 결과를 이용하면, 이 경우에서 궤도는 $$m_{1}$$을 한 초점으로 하며, 궤도 이심률은
$$\displaystyle \epsilon=\sqrt{1+\frac{2El^{2}}{\mu (Gm_{1}m_{2})^{2} } } $$
$$\displaystyle L=\sqrt{\mu G m_{1} m_{2} r_{0}} $$
$$\displaystyle E=\frac{Gm_{1}m_{2}}{2r_{0}}(\epsilon^{2}-1) $$
더불어, 궤도가 타원 혹은 원일 때, '''공전 주기의 제곱은 궤도의 긴 반지름의 세제곱에 비례하게 되며,'''
$$\displaystyle \frac{T^{2}}{a^{3}} =\frac{4\pi^{2} }{G(m_{1}+m_{2})} $$
$$\displaystyle \frac{T^{2}}{a^{3}} \simeq \frac{4\pi^{2} }{Gm_{1}} $$
$$\displaystyle a=\frac{Gm_{1}m_{2}}{2 |E|} $$
4.2. 수소형 원자
수소형 원자란, 1개의 핵과 1개의 전자가 공간 상에 있는 경우를 의미한다. 이 경우 퍼텐셜은
$$\displaystyle U(r)=-\frac{Ze^{2}}{r} $$
$$\displaystyle \hat{\mathcal{H}}_{\mu}=\frac{\hat{p}_{r}}{2 \mu}+\frac{\hat{L}^{2}}{2 \mu r^{2}}+U(r) $$
$$\displaystyle \left[ \frac{\hat{p}_{r}}{2 \mu}+\frac{\hbar^{2} l(l+1)}{2 \mu r^{2}}-\frac{Ze^{2}}{r} \right] \psi =-| E| \psi $$
이 상황에서도 유효 퍼텐셜을 정의할 수 있고, 일반적으로 다음과 같이 정의한다.
$$\displaystyle V(r) \equiv \frac{\hbar^{2} l(l+1)}{2 \mu r^{2}}-\frac{Ze^{2}}{r} $$
이에 관련한 자세한 내용은 수소 원자 모형 문서를 참조한다.
5. 심화
5.1. 비네 방정식
극좌표로 표현된 궤도로부터 두 물체 사이에 작용하는 힘을 구할 수 있는 방정식으로, 프랑스의 수학자 자크 비네(Jacques Philippe Marie Binet)가 유도하였다. 특히 타원 궤도로부터 뉴턴의 만유인력의 법칙을 유도하는 데 비네 방정식이 사용된다.
다음을 알고 있다.
$$\displaystyle mr^{2} \dot{\theta}=l $$
$$\displaystyle a_{r}=\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2} $$
$$\displaystyle F(r)=\mu(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2}) $$
$$\displaystyle r^{-1} \equiv u $$
$$\displaystyle \displaystyle \frac{du}{d \theta} = \frac{du}{dr} \frac{dr}{dt} \frac{dt}{d \theta} = - \frac{1}{r^2} \dot{r} \frac{1}{\dot{\theta}} $$
$$\displaystyle \displaystyle \frac{d^2 u}{d \theta^2} = - \frac{\mu r^2 \ddot{r} }{l} $$
$$ \displaystyle \frac{d^2 u}{d \theta^2} = \frac{d}{d \theta} \left( - \frac{\mu \dot{r}}{l} \right) = \frac{dt}{d \theta} \frac{d}{dt} \left( - \frac{\mu \dot{r}}{l} \right) = - \frac{\mu \ddot{r} }{l \dot{\theta} } $$
$$ \displaystyle \frac{d^2 u}{d \theta^2} = - \frac{\mu r^2 \ddot{r} }{l} $$
$$ \displaystyle \ddot{r} = - \frac{l^2 u^2}{\mu^2} \frac{d^2 u}{d \theta^2} \qquad \qquad r \dot{\theta}^2 = \frac{l^2 u^3}{\mu^2} $$
$$ \displaystyle \frac{d^2 u}{d\theta^2} + u = - \frac{\mu}{l^2 u^{2}} F(u^{-1}) $$
$$ \displaystyle \frac{d^2}{d\theta^2} \left( \frac{1}{r} \right) + \frac{1}{r}= - \frac{\mu r^2}{l^2} F(r) $$
5.2. 닫힌 궤도를 존재시킬 수 있는 중심력의 형태
이 문서를 통해 $$F \propto r^{-2}$$의 중심력이 작용하는 경우에 대해 이체 문제를 풀어봄으로써 중심력에 대한 논의를 하였다. 그렇다면, 이제부터의 논지는 '''어떠한 형태의 중심력이 닫힌 궤도를 존재시킬 수 있는가?'''이다.
결론부터 말하자면, 이는 수학적으로 $$F \propto r^{-2},\,r$$의 형태인 경우에만 가능하다고 알려져있다. 즉, 역제곱장과 훅의 법칙을 만족시키는 중심력만 가능한 것이다.
이에 대해 초급적인 방법으로 증명해보자. 윗 문단의 비네 방정식에 의하면,
$$\displaystyle \frac{d^{2}u}{d \theta^{2}}+u=J(u) $$
$$\displaystyle J(u) \equiv - \frac{\mu }{l^2 u^{2}} F(u^{-1}) $$
$$\displaystyle u'=J(u') $$
$$\displaystyle J(u)=u'+\left. \frac{dJ}{du} \right|_{u=u'} (u-u') $$
$$\displaystyle \frac{d^{2}x}{d \theta^{2}}+\beta^{2} x=0 $$
$$\displaystyle \beta^{2} \equiv 1- \left. \frac{dJ}{du} \right|_{u=u'} $$
$$\displaystyle \frac{dJ}{du} =-\frac{2J(u)}{u}-\frac{\mu}{l^{2}u^{2}}\frac{df(u^{-1})}{du} $$
$$\displaystyle \left. \frac{dJ}{du} \right|_{u=u'} =-2+\frac{u'}{f(u')} \left. \frac{df}{du} \right|_{u=u'} $$
$$\displaystyle \beta^{2} =3-\frac{u'}{f(u')} \left. \frac{df}{du} \right|_{u=u'}=3+ \left. \frac{r}{f}\frac{df}{dr} \right|_{u=u'} $$
$$\displaystyle x=a\cos{\beta \theta} $$
$$\displaystyle F(r)=-\frac{\alpha}{r^{3-\beta^{2} } } $$
$$J(u)$$를 다시 $$u=u'$$ 근방에서 전개해보자.
$$\displaystyle J(u)=u'+xJ'+\frac{x^{2}}{2}J''+\frac{x^{3}}{6}J''' $$
$$\displaystyle \frac{d^{2}x}{d \theta^{2}}+\beta^{2} x=\frac{x^{2}}{2}J''+\frac{x^{3}}{6}J''' $$
$$\displaystyle x=a_{0}+a_{1}\cos{ \beta \theta}+a_{0}\cos{ 2\beta \theta}+a_{3}\cos{ 3 \beta \theta} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} a_{0}&=\frac{a_{1}^{2}J''}{4 \beta^{2}} \\ a_{2}&=-\frac{a_{1}^{2}J''}{12 \beta^{2}} \\ 0&=\frac{2a_{1}a_{0}+a_{1}a_{2}}{2}J''+\frac{a_{1}^{3}}{8}J''' \\ a_{3}&=-\frac{1}{8 \beta^{2}} \left[ \frac{a_{1}a_{2}}{2}J''+\frac{a_{1}^{3}}{24}J''' \right] \end{aligned} $$
$$\displaystyle J(u)=\frac{\alpha \mu}{l^{2}}u^{1-\beta^{2}} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} J''&=\frac{\beta^{2}(1-\beta^{2})}{u'}\\ J'''&=-\frac{\beta^{2}(1-\beta^{2})(1+\beta^{2})}{u'^{2}} \end{aligned} $$
결론적으로, 위에서 나온 4가지 식 중 첫 번째, 두 번째, 네 번째 식을 연립하면, $$a_{0},\,a_{2},\,a_{3}$$는 $$a_{1}$$으로 나타낼 수 있을 것이며, 따라서 세 번째 식에 이 결과를 대입하면, 아래의 결과에 다다르게 된다.
$$\displaystyle {\beta^{2}(1-\beta^{2})(4-\beta^{2})}=0 $$
$$\displaystyle \beta^{2}=1 \,\, \mathrm{or} \,\, \beta^{2}=4 $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \beta^{2}=1, \qquad & f(r)=-\frac{\alpha}{r^{2}} \\ \beta^{2}=4, \qquad & f(r)=-{\alpha}r \end{aligned} $$
5.3. 삼체 문제
6. 관련 문서
[각주]