1729
'''1729''' = 7×13×19
1. 자연수
1728보다 크고 1730보다 작은 자연수. 합성수로, 소인수분해하면 7×13×19이다. 약수는 1, 7, 13, 19, 91, 133, 247, 1729로 총 8개이며, 이들의 합은 2238(<3458=2×1729)이다. 따라서 1729는 부족수다.
1.1. 수학적 특징
- 1089의 약수의 합이다.
- 이 수는 '택시 수'이다. 하단 설명 참조.
- 이 수는 카마이클 수 이기도 하다.
- 참고로 19와 19의 자리수를 뒤집은 91을 곱한 수도 이 수다.
1729 = 19 x 91.
- 또한 1+7+2+9=19이며 1729가 19로 나누어지므로 1729는 하샤드 수이다.
2. 택시 수
2.1. 특징
$$ 1729=12^3+1^3=10^3+9^3 $$
1729는 서로 다른 세제곱수 두 개의 합으로 나타내는 방법이 두 가지인 가장 작은 수이다.
정확히 이런 대화를 나눈 것은 아니다. 다만, 대충 이런 뉘앙스의 대화였을 거라 추측될 뿐이다.고드프리 해럴드 하디 - '''내가 타고 온 택시 번호가 1729였네. 매우 평범한 아무런 볼 일도 없는 숫자 같은데.'''
스리니바사 라마누잔 - '''아니오. 매우 흥미로운 숫자입니다. 그것은 서로 다른 세제곱수 2개의 합으로 나타내는 방법이 두 가지인 가장 작은 수거든요.'''
고드프리 해럴드 하디 - '''아니 이럴 수가!'''
2.2. 어떻게 발견되었는가?
1918년 입원중이던 라마누잔을 하디가 문병왔을 때, 타고온 택시의 번호가 1729라며 아무 특색이 없는 수라고 말하자 즉석에서 "아니오. 매우 흥미로운 숫자입니다. 서로 다른 세제곱수 2개의 합으로 나타내는 방법이 두 가지인 가장 작은 수거든요"라고 말한 적이 있다. 실제로 1729=1000(10의 3제곱)+729(9의 3제곱)=1(1의 3제곱)+1728(12의 3제곱)으로 나타낼 수 있으며 이는 이렇게 나타낼 수 있는 자연수 중 가장 작은 수이다.
참고로 하디는 '''1729 = 13 × 133'''이기 때문에 13이 중복해서 나오는 불길한 수라고 생각했다는 이야기도 있다.
2.3. 택시 수
이와 같은 수들을 하디-라마누잔 수 또는 택시 수(taxicab number)라고 부르게 되었다. 이는 1이상의 자연수에서만 고려한다.
택시수의 다른 예제로는 4104, 13832 등이 있다.
$$ 4104 = 2^3 + 16^3 = 9^3 + 15^3 $$
$$ 13832 = 2^3 + 24^3 = 18^3 + 20^3 $$
참고로 13832 = 1729*8 이다. 즉 $$ 13832 = (2\cdot12)^3+(2\cdot1)^3=(2\cdot10)^3+(2\cdot9)^3 $$가 된다. 일반화 시키면, 어떤 수 n 이 택시 수 라면, 그 수에 임의의 세제곱수 $$2^3=8, 3^3=27, 4^3 = 64, ... $$ 을 곱한 수도 모두 택시수이다.
3가지 이상의 세제곱의 합으로 표현되는 수도 있으며, 더 많은 방법으로 표현되는 수들도 존재한다.
$$87539319=167^3 + 436^3 =228^3 + 423^3 =255^3 + 414^3$$
정수까지 범위를 확장하면 이는 cabtaxi number 라고 한다.
$$91=3^3 + 4^3 =6^3 + (- 5)^3$$
3. 카마이클 수
이 수는 페르마의 소정리의 반례가 되는 수인 '카마이클 수'이기도 하다. 페르마의 소정리 문서 참고.