하샤드 수

 

harshad number
1. 개요
2. 10진법에서 하샤드 수가 되는 수
2.1. 1~1000
2.2. 1001~1200


1. 개요

주어진 진법에서 그 수의 각 자릿수 숫자의 합으로 나누어떨어지는 자연수. 인도의 수학자 카프리카가 정의했으며, '기쁨을 준다'는 뜻의 산스크리트어 단어인 harshad에서 유래했다.
예를 들어 12는 각 자릿수 숫자의 합이 1+2=3이고, 12가 3으로 나누어떨어지므로 12는 10진법에서 하샤드 수다. 그러나 16은 1+6=7이고, 16이 7로 나누어떨어지지 않으므로 16은 10진법에서 하샤드 수가 아니다.
다음의 경우 무조건 하샤드 수다.
  • 10의 거듭제곱인 수 (자명하다. 자릿수의 합이 1이며, 모든 자연수는 1로 나누어떨어지기 때문)
  • 1 이상의 한 자리 수 혹은 다른 하샤드 수에 10의 거듭제곱인 수를 곱한 수
  • 각 자리의 합이 3이나 9가 되는 수(혹은 합이 6이거나 18이면서 짝수) [2]
    • 해당 수의 자릿수가 3의 거듭제곱인 동시에 모든 자리의 숫자가 같은 수 즉 3의 거듭제곱의 자리를 가지는 레퓨닛수에 1부터 9까지의 자연수를 곱한수 [1]
  • 일의 자리가 0이고 일의 자리를 제외한 각 자리의 합이 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18이 되는 수
  • 일의 자리가 0, 5, 8이고 일의 자리를 제외한 각 자리의 합이 10이 되는 수[3]
  • 자릿수가 3개인 수 중 십의 자리가 0이고 백의 자리와 일의 자리 수의 합이 11인 수
  • 그 외 해당되는 숫자에서 각 자리의 합으로 나누어 떨어지는 수[4]
하샤드 수가 될 수 없는 경우다.
  • 두 자리 이상의 소수들은 1과 자기 자신밖에 약수가 없으므로 모두 하샤드 수가 아니다.
  • 각 자리의 합이 짝수[5]이며 끝 자리가 홀수인 수
  • 각 자리의 합이 5단위의 수이며 끝 자리가 0이 아닌 모든 수[6]
  • 0은 0으로 나눌 수 없으므로 0은 하샤드 수가 아니다.

2. 10진법에서 하샤드 수가 되는 수


2.1. 1~1000



2.2. 1001~1200


[1] 111, 222, 333, 111111111, 111111111111111111111111111 등[2] 어떤 수의 각 자리의 합이 3의 배수이면 3의 배수이고, 합이 9의 배수이면 9의 배수이기 때문이다. 3은 9의 배수가 아니므로 따로 서술한다.[3] 이 경우, 일의 자리가 0이면 10의 배수이며, 5이면 15의 배수, 8이면 18의 배수가 된다.[4] 예: 112=4*28, 133=7*19 이처럼 각 자릿수의 합이 10이 되는 수에서 많이 나온다.[5] 짝수의 배수이면 끝자리는 무조건 짝수[6] 5의 배수이면 0 또는 5만 가능하되, 끝자리가 5면 자리의 합이 5를 넘어가버린다.[7] 사실 하샤드 수의 정의를 생각하면 한 자리 수는 당연히 하샤드 수가 될 수밖에 없다. 자리가 하나밖에 없으므로 각 자리수의 합은 자기 자신이다. 그리고 모든 자연수는 자기 자신으로 나누어 떨어진다.

분류