2015 개정 교육과정/고등학교/수학과/교과 목차
1. 개요
2015 개정 교육과정의 수학과 교과들의 목차를 다루는 문서이다.
2. 공통 과목
2.1. 수학
고등학교 공통 과목인 <수학>은 중학교 3학년까지의 수학을 학습한 후 고등학교의 모든 학생들이[1]필수적으로 이수하는 과목이다.[2] <수학>의 내용은 초등학교 및 중학교 수학과 연계하여 ʻ문자와 식ʼ, ʻ기하ʼ, ʻ수와 연산ʼ, ʻ함수ʼ, ʻ확률과 통계ʼ의 5개 영역으로 구성된다. ʻ문자와 식ʼ 영역에서는 다항식의 사칙연산, 나머지정리, 인수분해, 복소수와 이차방정식, 이차방정식과 이차함수, 여러 가지 방정식과 부등식을, ʻ기하ʼ 영역에서는 평면좌표, 직선의 방정식, 원의 방정식, 도형의 이동을, ʻ수와 연산ʼ 영역에서는 집합, 명제를, ʻ함수ʼ 영역에서는 함수의 뜻과 유형, 유리함수와 무리함수를, ‘확률과 통계ʼ 영역에서는 경우의 수, 순열과 조합을 다룬다.
- Ⅰ. 다항식
- 다항식의 연산
- 다항식의 사칙연산을 할 수 있다.
- 나머지정리
- 항등식의 성질을 이해한다.
- 나머지정리의 의미를 이해하고, 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다.
- 인수분해
- 다항식의 인수분해를 할 수 있다.
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- 조립제법은 다항식을 단항식으로 나누는 연산과 연계하여 지도하고, 구체적인 예를 통하여 그 방법을 간단히 다룬다.
- 다항식의 인수분해는 다음의 경우를 다룬다.
- $$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a+b+c)^2 $$
- $$a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3 $$
- $$a^3 - 3a^2 b + 3ab^2 - b^3 = (a-b)^3 $$
- $$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$$
- $$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$$
- 다항식의 곱셈과 인수분해는 중학교에서 학습한 내용을 토대로 고등학교에서 추가된 내용을 이해하게 한다.
● 용어 ● 허수단위, 복소수, 실수부분, 허수부분, 허수, 켤레복소수, 실근, 허근, 판별식, 최댓값, 최솟값, 연립부등식, $$a+bi$$, $$\displaystyle \overline{a+bi}$$
- 복소수와 이차방정식
- 이차방정식과 이차함수
- 이차방정식과 이차함수의 관계를 이해한다.
- 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 이해한다.
- 이차함수의 최대, 최소를 이해하고, 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다.
- 여러 가지 방정식과 부등식
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- 방정식은 계수가 실수인 경우만 다룬다.
- 이차함수의 최댓값과 최솟값은 실수 전체의 범위뿐만 아니라, 제한된 범위($$a \le x \le b$$)에서도 구하게 한다.
- 미지수가 2개인 연립이차방정식은 일차식과 이차식이 각각 한 개씩 주어진 경우, 두 이차식 중 한 이차식이 간단히 인수분해 되는 경우만 다룬다.
- 방정식과 부등식을 이용하여 실생활 문제를 해결하는 경험을 통해 수학의 필요성과 유용성을 인식하게 한다.
- 연립부등식은 중학교에서 학습한 연립일차방정식 내용을 토대로 이해하게 하고, $$A
- ʻ삼차방정식ʼ, ʻ사차방정식ʼ, ʻ연립이차방정식ʼ, ʻ연립일차부등식ʼ, ʻ이차부등식ʼ, ‘연립이차부등식’ 용어는 교수･학습 상황에서 사용할 수 있다.
- 복잡한 인수분해 문제는 다루지 않는다.
- 항등식의 성질, 나머지정리와 인수정리를 활용하는 복잡한 문제는 다루지 않는다.
- 판별식을 활용하는 복잡한 방정식과 부등식 문제는 다루지 않는다.
- 이차방정식의 근과 계수의 관계를 활용하는 복잡한 문제는 다루지 않는다.
- Ⅲ. 도형의 방정식
- 평면좌표
- 두 점 사이의 거리를 구할 수 있다.
- 선분의 내분과 외분을 이해하고, 내분점과 외분점의 좌표를 구할 수 있다.
- 직선의 방정식
- 원의 방정식
- 원의 방정식을 구할 수 있다.
- 좌표평면에서 원과 직선의 위치 관계를 이해한다.
- 도형의 이동
- 평행이동의 의미를 이해한다.
- 원점, 축, 축, 직선 에 대한 대칭이동의 의미를 이해한다.
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- 직선의 방정식과 원의 방정식은 중학교에서 학습한 내용과 연계하여 다룬다.
- 도형의 방정식 학습을 통해 기하와 대수의 연결성을 이해할 수 있도록 다양한 교수･학습 경험을 제공한다.
- 직선의 방정식, 원의 방정식, 도형의 이동을 다룰 때 공학적 도구를 이용할 수 있다.
- 도형의 이동을 다양한 상황에 적용해 보는 활동을 통해 그 유용성과 가치를 인식하게 할 수 있다.
- 좌표축의 평행이동은 다루지 않는다.
- ʻ내분점ʼ, ʻ외분점ʼ, ʻ원의 방정식ʼ 용어는 교수･학습 상황에서 사용할 수 있다.
- 도형의 방정식은 도형을 좌표평면에서 다룰 수 있음을 이해하는 수준에서 다루고, 계산이 복잡한 문제는 다루지 않는다.
- 기하 영역의 주요 개념에 대한 이해를 평가할 때에는 과정 중심 평가를 할 수 있다.
● 용어 ● 집합, 원소, 공집합, 부분집합, 진부분집합, 벤 다이어그램, 합집합, 교집합, 전체집합, 여집합, 차집합, (집합의) 서로소, (집합의) 교환법칙, (집합의) 결합법칙, (집합의) 분배법칙, 드 모르간 법칙, 명제, 가정, 결론, 정의, 정리, 증명, 조건, 진리집합, 부정, 역, 대우, 충분조건, 필요조건, 필요충분조건, 귀류법, 절대부등식, $$a \in A$$, $$b \notin B$$, $$\emptyset$$, $$A \subset B$$, $$A \not\subset B$$, $$A = B$$, $$A \neq B$$, $$A \cup B$$, $$A \cap B$$, $$A^C$$, $$A-B$$, $$n(A)$$, $$\sim p$$, $$p \longrightarrow q$$, $$p \Longrightarrow q$$, $$p \Longleftrightarrow q$$
- 집합
- 집합의 개념을 이해하고, 집합을 표현할 수 있다.
- 두 집합 사이의 포함 관계를 이해한다.
- 집합의 연산을 할 수 있다.
- 명제
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- 집합의 연산법칙은 벤 다이어그램으로 확인하는 정도로 간단히 다룬다.
- ‘모든’, ‘어떤’을 포함하고 있는 명제는 구체적인 상황을 이용하여 도입할 수 있다.
- 명제와 조건의 뜻은 수학적인 문장을 이해하는 수준에서 간단히 다룬다.
- 명제의 증명은 간단한 것만 다룬다.
- 충분조건, 필요조건, 필요충분조건은 구체적인 예를 통해 이해하게 한다.
- 증명을 지도할 때는 직관적인 이해로부터 시작하여 점진적으로 형식화하게 한다.
- 대우를 이용한 증명법과 귀류법은 구체적인 예를 통해 이해하게 한다.
- 수학의 여러 내용 영역과 연계하여 집합과 명제의 필요성과 유용성을 인식하게 한다.
- ʻ원소나열법ʼ, ʻ조건제시법ʼ, ʻ유한집합ʼ, ʻ무한집합ʼ, ʻ서로 같다ʼ 용어는 교수･학습 상황에서 사용할 수 있다.
- Ⅴ. 함수
● 용어 ● 정의역, 치역, 공역, 대응, 일대일대응, 항등함수, 상수함수, 일대일함수, 합성함수, 역함수, 다항함수, 유리식, 무리식, 유리함수, 점근선, 무리함수, $$f:X\longrightarrow Y$$, $$g \circ f$$, $$(g \circ f)(x)$$, $$y=g(f(x))$$, $$f^{-1}$$, $$y=f^{-1}(x)$$
- 함수
- 함수의 개념을 이해하고, 그 그래프를 이해한다.
- 함수의 합성을 이해하고, 합성함수를 구할 수 있다.
- 역함수의 의미를 이해하고, 주어진 함수의 역함수를 구할 수 있다.
- 유리함수와 무리함수
- 유리함수 의 그래프를 그릴 수 있고, 그 그래프의 성질을 이해한다.
- 무리함수 의 그래프를 그릴 수 있고, 그 그래프의 성질을 이해한다.
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- 함수의 개념은 중학교에서 학습한 내용을 확장하여 주어진 두 집합 사이의 대응 관계를 통해 이해하게 한다.
- 함수의 그래프를 다룰 때 공학적 도구를 이용할 수 있다.
- 일대일대응, 항등함수, 상수함수, 일대일함수, 합성함수, 역함수의 의미는 구체적인 예를 통해 이해하게 한다.
- 유리식, 무리식은 유리함수, 무리함수의 의미를 이해할 수 있을 정도로 간단히 다룬다.
- 대응으로 정의된 함수의 예를 찾아보는 활동을 통해 함수의 유용성을 인식하게 한다.
- 함수의 그래프와 그 성질에 대한 이해를 평가할 때 지나치게 복잡한 문제는 다루지 않는다.
- 유리함수와 무리함수는 $$y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$$ 및 $$y=\sqrt{ax+b}+c$$의 기본적인 형태를 중심으로 간단한 문제만 다룬다.
- Ⅵ. 경우의 수
- 경우의 수
- 합의 법칙과 곱의 법칙을 이해하고, 이를 이용하여 경우의 수를 구할 수 있다.
- 순열과 조합
- 순열의 의미를 이해하고, 순열의 수를 구할 수 있다.
- 조합의 의미를 이해하고, 조합의 수를 구할 수 있다.
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- 합의 법칙과 곱의 법칙은 구체적인 예를 통해 그 의미를 이해하고, 두 가지 법칙이 적용되는 상황의 차이점을 설명하게 할 수 있다.
- 순열의 수와 조합의 수는 간단한 경우를 예로 제시하여 직접 나열하거나 수형도를 이용하는 등 다양한 방법으로 구하게 하고, 이를 통해 일반적으로 구하는 방법을 이해하게 한다.
- 실생활 문제를 해결해 봄으로써 다양한 상황에서 순열과 조합의 필요성과 유용성을 인식하게 한다.
- 경우의 수, 순열과 조합과 관련하여 지나치게 복잡한 문제는 다루지 않는다.
3. 일반 선택
3.1. 수학Ⅰ
일반 선택 과목인 <수학Ⅰ>은 공통 과목인 <수학>을 학습한 후, 더 높은 수준의 수학을 학습하기를 원하는 학생들이 선택할 수 있는 과목이다. <수학Ⅰ>의 내용은 ʻ지수함수와 로그함수ʼ, ʻ삼각함수ʼ, ʻ수열ʼ의 3개 핵심 개념 영역으로 구성된다. ʻ지수함수와 로그함수ʼ 영역에서는 지수와 로그, 지수함수와 로그함수를, ʻ삼각함수ʼ 영역에서는 일반각과 호도법, 삼각함수의 뜻과 그래프, 사인법칙과 코사인법칙을, ʻ수열ʼ 영역에서는 등차수열과 등비수열, 수열의 합, 수학적 귀납법을 다룬다.
- Ⅰ. 지수함수와 로그함수
- 지수와 로그
- 지수함수와 로그함수
- 지수함수와 로그함수의 뜻을 안다.
- 지수함수와 로그함수의 그래프를 그릴 수 있고, 그 성질을 이해한다.
- 지수함수와 로그함수를 활용하여 문제를 해결할 수 있다.
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- 지수가 유리수 및 실수인 경우는 밑이 양수인 조건이 필요함을 이해하게 한다.
- 지수가 실수인 경우는 직관적으로 다룬다.
- 로그의 성질은 지수의 성질과 관련지어 이해하게 한다.
- 지수함수와 로그함수는 역함수 관계임을 그래프를 통해 확인하게 한다.
- 지수와 로그 및 지수함수와 로그함수를 다룰 때 공학적 도구를 이용할 수 있다.
- 구체적인 자연 현상이나 사회 현상을 지수함수와 로그함수로 표현하고 이 과정에서 나타나는 간단한 방정식과 부등식을 풀어 문제를 해결해봄으로써 지수함수와 로그함수의 유용성과 가치를 인식하게 한다.
- 지수와 로그의 성질에 대한 평가에서는 지수와 로그의 기본 성질을 이해하고 활용할 수 있는 능력을 평가하는 데 중점을 두고, 지나치게 복잡한 계산을 포함하는 문제는 다루지 않는다.
- Ⅱ. 삼각함수
● 용어 ● 시초선, 동경, 일반각, 호도법, 라디안, 사인함수, 코사인함수, 탄젠트함수, 사인법칙, 코사인법칙, 삼각함수, 주기, 주기함수, $$\sin x$$, $$\cos x$$, $$\tan x$$
- 일반각과 호도법의 뜻을 안다.
- 삼각함수의 뜻을 알고, 사인함수, 코사인함수, 탄젠트함수의 그래프를 그릴 수 있다.
- 사인법칙과 코사인법칙을 이해하고, 이를 활용할 수 있다.
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- 삼각함수의 개념은 중학교에서 학습한 삼각비와 연계하여 이해하게 한다.
- 삼각함수의 성질은 삼각함수의 그래프의 성질을 이해하는 데 필요한 정도로 간단히 다룬다.
- 삼각함수의 그래프를 그리거나 삼각함수와 관련된 문제를 해결할 때 공학적 도구를 이용할 수 있다.
- 사인법칙과 코사인법칙을 이용하여 삼각형의 각의 크기와 변의 길이 사이의 관계를 이해하고 삼각형의 넓이를 다양한 방법으로 구할 수 있게 한다.
- 사인법칙과 코사인법칙을 활용하여 여러 가지 문제를 해결해봄으로써 삼각함수의 유용성과 가치를 인식하게 한다.
- 삼각함수가 포함된 방정식과 부등식은 삼각함수의 그래프를 해석하거나 사인법칙과 코사인법칙을 활용하여 문제를 해결하는 과정에서 나타나는 간단한 경우만 다루되, 주어진 구간 안에서 해를 구하는 것만 다룬다.
- 삼각함수와 그 그래프의 성질에 대한 평가에서는 기본적인 삼각함수의 그래프와 그 성질에 대한 이해 능력을 평가하는 데 중점을 두고, 복잡한 합성함수나 절댓값이 여러 개 포함된 함수와 같이 지나치게 복잡한 삼각함수를 포함하는 문제는 다루지 않는다.
- Ⅲ. 수열
● 용어 ● 수열, 항, 일반항, 공차, 등차수열, 등차중항, 공비, 등비수열, 등비중항, 귀납적 정의, 수학적 귀납법, $$a_n$$, $$\{ a_{n} \}$$, $$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$$
- 등차수열과 등비수열
- 수열의 뜻을 안다.
- 등차수열의 뜻을 알고, 일반항, 첫째항부터 제$$n$$ 항까지의 합을 구할 수 있다.
- 등비수열의 뜻을 알고, 일반항, 첫째항부터 제$$n$$ 항을 구할 수 있다.
- 수열의 합
- $$\Sigma$$의 뜻을 알고, 그 성질을 이해하고, 이를 활용할 수 있다.
- 여러 가지 수열의 첫째항부터 제$$n$$ 항까지의 합을 구할 수 있다.
- 수학적 귀납법
- 수열의 귀납적 정의를 이해한다.
- 수학적 귀납법의 원리를 이해한다.
- 수학적 귀납법을 이용하여 명제를 증명할 수 있다.
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- 여러 가지 수열의 합에서는 자연수의 거듭제곱의 합 $$\displaystyle \sum_{k=1}^n k$$, $$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2$$, $$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3$$과 수열의 합이 간단한 것만 다룬다.
- 수열과 관련된 여러 가지 문제를 귀납적으로 표현할 수 있게 하고, 귀납적으로 정의된 수열의 일반항을 구하는 문제는 다루지 않는다.
- 수학적 귀납법에 의한 증명은 원리를 이해할 수 있는 정도로 간단하게 다룬다.
- 수학적 귀납법은 자연수 $$n$$에 대한 명제의 증명 방법으로서 그 유용성과 가치를 인식하게 한다.
- 기호 $$S_n$$은 교수･학습 상황에서 사용할 수 있다.
- 등비수열과 그 합을 이용하여 문제를 해결할 수 있는 능력을 평가할 때 연금의 일시 지급이나 대출금 상환 등과 같이 지나치게 복잡한 상황을 포함하는 문제는 다루지 않는다.
3.2. 수학Ⅱ
일반 선택 과목인 <수학Ⅱ>는 공통 과목인 <수학>을 학습한 후, 더 높은 수준의 수학을 학습하기를 원하는 학생들이 선택할 수 있는 과목이다. <수학Ⅱ>의 내용은 ʻ함수의 극한과 연속ʼ, ʻ미분ʼ, ʻ적분ʼ의 3개 핵심 개념 영역으로 구성된다. ʻ함수의 극한과 연속ʼ 영역에서는 함수의 극한, 함수의 연속을, ʻ미분ʼ 영역에서는 미분계수, 도함수, 도함수의 활용을, ʻ적분ʼ 영역에서는 부정적분, 정적분, 정적분의 활용을 다룬다.
- Ⅰ. 함수의 극한과 연속
● 용어 ● 구간, 닫힌구간, 열린구간, 반닫힌(반열린) 구간, 수렴, 극한(값), 좌극한, 우극한, 발산, 무한대, 연속, 불연속, 연속함수, 최대·최소 정리, 사잇값 정리, $$[a,~b]$$, $$(a,~b)$$ [math((a,~b])], [math([a,~b))], $$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$$, $$\displaystyle \lim_{x \to a+}f(x)$$, $$\displaystyle \lim_{x \to a-}f(x)$$, $$\infty$$
- 함수의 극한
- 함수의 극한의 뜻을 안다.
- 함수의 극한에 대한 성질을 이해하고, 함수의 극한값을 구할 수 있다.
- 함수의 연속
- 함수의 연속의 뜻을 안다.
- 연속함수의 성질을 이해하고, 이를 활용할 수 있다.
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- 함수의 극한에 대한 뜻과 성질은 그래프를 통해 직관적으로 이해하게 하고, 이때 공학적 도구를 이용할 수 있다.
- 함수의 극한은 함수의 연속과 미분을 이해하는 데 필요한 정도로 간단히 다룬다.
- 함수의 극한과 연속에 대한 평가에서는 함수의 극한과 연속의 뜻과 성질에 대한 이해 여부를 평가하는 데 중점을 두고, 복잡한 합성함수나 절댓값이 여러 개 포함된 함수와 같이 지나치게 복잡한 함수를 포함하는 문제는 다루지 않는다.
- Ⅱ. 미분
● 용어 ● 증분, 평균변화율, 순간변화율, 미분계수, 미분가능, 도함수, 롤의 정리, 평균값 정리, 증가, 감소, 극대, 극소, 극값, 극댓값, 극솟값, $$\Delta x$$, $$\Delta y$$, $$f'(x)$$, $$y'$$, $$\dfrac{dy}{dx}$$, $$\dfrac{d}{dx} f(x)$$
- 미분계수
- 미분계수의 뜻을 알고, 그 값을 구할 수 있다.
- 미분계수의 기하적 의미를 이해한다.
- 미분가능성과 연속성의 관계를 이해한다.
- 도함수
- 함수 $$y=x^n$$($$n$$은 양의 정수)의 도함수를 구할 수 있다.
- 함수의 실수배, 합, 차, 곱의 미분법을 알고, 다항함수의 도함수를 구할 수 있다.
- 도함수의 활용
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- 미분계수의 기하적 의미는 직관적으로 이해하게 하고, 이때 공학적 도구를 이용할 수 있다.
- 롤의 정리, 평균값 정리는 함수의 그래프를 이용하여 그 의미를 이해하게 할 수 있다.
- 속도와 가속도에 대한 문제는 직선 운동에 한하여 다룬다.
- 미분법을 단순히 적용하기보다는 미분의 의미를 이해하고, 이를 활용하여 여러 가지 문제를 해결함으로써 미분의 유용성과 가치를 인식하게 한다.
- 미분가능성과 연속성의 관계에 대한 지나치게 복잡한 문제는 다루지 않는다.
- 도함수를 활용하여 함수의 그래프의 개형을 그리거나 최댓값과 최솟값을 구하는 능력을 평가할 때, 지나치게 복잡한 함수를 포함하는 문제는 다루지 않는다.
- 속도와 가속도에 대한 문제는 물리학Ⅰ, 물리학Ⅱ 등과 연관짓는 등 지나치게 복잡하게 다루지 않는다.
- Ⅲ. 적분
● 용어 ● 부정적분, 적분상수, 정적분, $$\displaystyle \int f(x) dx$$, $$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx$$, $$\displaystyle \left[ F(x) \right]_a ^b$$
- 부정적분
- 부정적분의 뜻을 안다.
- 함수의 실수배, 합, 차의 부정적분을 알고, 다항함수의 부정적분을 구할 수 있다.
- 정적분
- 정적분의 뜻을 안다.
- 다항함수의 정적분을 구할 수 있다.
- 정적분의 활용
- 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수 있다.
- 속도와 거리에 대한 문제를 해결할 수 있다.
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- 적분에 필요한 공식은 미분법의 공식에서 유도할 수 있게 한다.
- 급수의 합을 이용한 정적분 정의는 다루지 않는다. $$f(x)$$의 부정적분 $$F(x)$$에 대하여 $$\displaystyle \left [ F(x) \right]_a^b$$를 의 $$a$$에서 $$b$$까지의 정적분이라 정의하되, 그 도입 및 설명 방법을 다양하게 할 수 있다.
- 속도와 거리에 대한 문제는 직선 운동에 한하여 다룬다.
- 적분법을 단순히 적용하기보다는 적분의 의미를 이해하고, 이를 활용하여 여러 가지 문제를 해결함으로써 적분의 유용성과 가치를 인식하게 한다.
- ʻ피적분함수ʼ, ʻ원시함수ʼ, ʻ위끝ʼ, ʻ아래끝ʼ, ‘미적분의 기본정리’ 용어는 교수･학습 상황에서 사용할 수 있다.
- 정적분의 활용에서 지나치게 복잡한 문제는 다루지 않는다.
3.3. 미적분
일반 선택 과목인 <미적분>은 <수학Ⅰ>과 <수학Ⅱ>를 학습한 후, 더 높은 수준의 수학을 학습하기를 원하는 학생들이 선택할 수 있는 과목이다. <미적분>의 내용은 ʻ수열의 극한ʼ, ʻ미분법ʼ, ʻ적분법ʼ의 3개 핵심 개념 영역으로 구성된다. ʻ수열의 극한ʼ 영역에서는 수열의 극한, 급수를, ʻ미분법ʼ 영역에서는 여러 가지 함수의 미분, 여러 가지 미분법, 도함수의 활용을, ʻ적분법ʼ 영역에서는 여러 가지 적분법, 정적분의 활용을 다룬다.
- Ⅰ. 수열의 극한
● 용어 ● 급수, 부분합, 급수의 합, 등비급수, $$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$$, $$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$$
- 수열의 극한
- 수열의 수렴, 발산의 뜻을 알고, 이를 판별할 수 있다.
- 수열의 극한에 대한 기본 성질을 이해하고, 이를 이용하여 극한값을 구할 수 있다.
- 등비수열의 극한값을 구할 수 있다.
- 급수
- 급수의 수렴, 발산의 뜻을 알고, 이를 판별할 수 있다.
- 등비급수의 뜻을 알고, 그 합을 구할 수 있다.
- 등비급수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- 수열의 극한에 대한 정의와 성질은 직관적으로 이해하는 수준에서 다룬다.
- 수열의 수렴, 발산은 수렴의 정의와 성질을 바탕으로 예측하고 설명해 보게 한다.
- 수열이나 급수의 수렴, 발산은 공학적 도구를 이용하여 이해하게 할 수 있다.
- 수열의 극한에 대한 기본 성질은 구체적인 예를 통해 직관적으로 이해하게 한다.
- 급수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결함으로써 극한의 유용성과 가치를 인식하게 한다.
- 기호 $$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$$은 교수･학습 상황에서 사용할 수 있다.
- 급수의 합의 계산에서는 일반항이 등차수열과 등비수열의 곱으로 표현되는 경우와 같이 지나치게 복잡한 문제는 다루지 않는다.
- Ⅱ. 미분법
● 용어 ● 자연로그, 덧셈정리, 매개변수, 음함수, 이계도함수, 변곡점, $$\ln x$$, $$\sec x$$, $$\csc x$$, $$\cot x$$, $$f''(x)$$, $$y''$$, $$\dfrac{d^2y}{dx^2}$$, $$\dfrac{d^2}{dx^2}f(x)$$
- 여러 가지 함수의 미분
- 지수함수와 로그함수의 극한을 구할 수 있다.
- 지수함수와 로그함수를 미분할 수 있다.
- 삼각함수의 덧셈정리를 이해한다.
- 삼각함수의 극한을 구할 수 있다.
- 사인함수와 코사인함수를 미분할 수 있다.
- 여러 가지 미분법
- 함수의 몫을 미분할 수 있다.
- 합성함수를 미분할 수 있다.
- 매개변수로 나타낸 함수를 미분할 수 있다.
- 음함수와 역함수를 미분할 수 있다.
- 이계도함수를 구할 수 있다.
- 도함수의 활용
- 접선의 방정식을 구할 수 있다.
- 함수의 그래프의 개형을 그릴 수 있다.
- 방정식과 부등식에 대한 문제를 해결할 수 있다.
- 속도와 가속도에 대한 문제를 해결할 수 있다.
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- 지수함수와 로그함수의 극한은 지수함수 $$e^x$$와 로그함수 $$\ln x$$의 도함수를 구하는 데 필요한 정도로 간단히 다룬다.
- 삼각함수의 덧셈정리와 관련하여 복잡한 문제는 다루지 않는다.
- 삼각함수의 극한은 삼각함수 $$\sin x$$, $$\cos x$$의 도함수를 구하는 데 필요한 정도로 간단히 다룬다.
- 유리함수와 탄젠트함수의 미분은 함수의 몫의 미분에서 다룬다.
- 간단한 곡선을 매개변수나 음함수를 이용하여 나타내 봄으로써 매개변수로 나타낸 함수와 음함수는 곡선을 표현하는 방법의 하나임을 이해하게 한다.
- 매개변수로 나타낸 함수와 음함수는 간단한 것만 다룬다.
- 함수 $$y=x^n$$($$n$$은 실수)의 도함수를 구할 수 있게 한다.
- 삼계도함수 이상은 다루지 않는다.
- 도함수의 다양한 활용을 통해 미분의 유용성과 가치를 인식하게 한다.
- 여러 가지 미분법과 도함수의 활용에서 지나치게 복잡한 문제는 다루지 않는다.
- Ⅲ. 적분법
- 여러 가지 적분법
- 치환적분법을 이해하고, 이를 활용할 수 있다.
- 부분적분법을 이해하고, 이를 활용할 수 있다.
- 여러 가지 함수의 부정적분과 정적분을 구할 수 있다.
- 정적분의 활용
- 정적분과 급수의 합 사이의 관계를 이해한다.
- 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수 있다.
- 입체도형의 부피를 구할 수 있다.
- 속도와 거리에 대한 문제를 해결할 수 있다.
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- 적분에 필요한 공식은 미분법의 공식에서 유도하도록 한다.
- 주어진 영역의 넓이를 직사각형 넓이의 합의 극한으로 나타내 봄으로써 정적분과 급수의 합 사이의 관계를 이해할 수 있게 한다.
- 정적분과 급수의 합 사이의 관계를 지도할 때 공학적 도구를 이용할 수 있다.
- 정적분의 다양한 활용을 통해 적분의 유용성과 가치를 인식하게 한다.
- ‘구분구적법’ 용어는 교수･학습 상황에서 사용할 수 있다.
- 여러 가지 적분법과 정적분의 활용에서 지나치게 복잡한 문제는 다루지 않는다.
3.4. 확률과 통계
일반 선택 과목인 <확률과 통계>는 공통 과목인 <수학>을 학습한 후, 더 높은 수준의 수학을 학습하기를 원하는 학생들이 선택할 수 있는 과목이다. <확률과 통계>의 내용은 ʻ경우의 수ʼ, ʻ확률ʼ, ʻ통계ʼ의 3개의 핵심 개념 영역으로 구성된다. ʻ경우의 수ʼ 영역에서는 원순열, 중복순열, 중복조합, 이항정리를, ʻ확률ʼ 영역에서는 통계적 확률과 수학적 확률, 확률의 성질과 활용, 조건부확률을, ʻ통계ʼ 영역에서는 확률변수와 확률분포, 이항분포, 정규분포, 통계적 추정을 다룬다.
- Ⅰ. 경우의 수[3]
- 순열과 조합
- 원순열, 중복순열, 같은 것이 있는 순열을 이해하고, 그 순열의 수를 구할 수 있다.
- 중복조합을 이해하고, 중복조합의 수를 구할 수 있다.
- 이항정리
- 이항정리를 이해하고 이를 이용하여 문제를 해결할 수 있다.
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- ʻ염주순열ʼ과 ʻ같은 것이 있는 원순열ʼ은 다루지 않는다.
- 중복순열, 중복조합을 실생활 문제 해결에 활용해 봄으로써 그 유용성을 인식하게 한다.
- 허수단위 $$i$$가 포함된 이항정리에 관한 문제는 다루지 않는다.
- 항이 세 개 이상인 다항정리에 관한 문제는 다루지 않는다.
- Ⅱ. 확률
- 확률
- 통계적 확률과 수학적 확률의 의미를 이해한다.
- 확률의 기본 성질을 이해한다.
- 확률의 덧셈정리를 이해하고, 이를 활용할 수 있다.
- 여사건의 확률의 뜻을 알고, 이를 활용할 수 있다.
- 조건부확률
- 조건부확률의 의미를 이해하고, 이를 구할 수 있다.
- 사건의 독립과 종속의 의미를 이해하고, 이를 설명할 수 있다.
- 확률의 곱셈정리를 이해하고, 이를 활용할 수 있다.
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- 생활 주변의 다양한 소재를 활용하여 확률을 도입한다.
- 통계적 확률과 수학적 확률의 관계를 이해하고 통계적 확률을 다룰 때 충분히 많은 횟수의 시행을 구현하기 위하여 공학적 도구를 이용할 수 있다.
- 수학적 확률을 다룰 때, 근원사건의 발생 가능성이 동등하다는 것을 가정한다는 점에 유의한다.
- 확률의 계산이 복잡한 경우는 다루지 않는다.
- 독립시행의 확률은 통계 영역의 이항분포와 함께 도입하여 다룰 수도 있다.
- 세 사건 이상에서 서로 배반이거나 서로 독립임을 가정한 복잡한 문제는 다루지 않는다.
- 조건부 확률에 대한 이해를 평가할 때에는 과정 중심 평가를 할 수 있다.
- Ⅲ. 통계
● 용어 ● 확률변수, 이산확률변수, 확률분포, 연속확률변수, 기댓값, 이항분포, 큰 수의 법칙, 정규분포, 표준정규분포, 모집단, 표본, 전수조사, 표본조사, 임의추출, 모평균, 모분산, 모표준편차, 표본평균, 표본분산, 표본표준편차, 추정, 신뢰도, 신뢰구간, $$\rm P \it (X=x)$$, $$\rm E \it (X)$$, $$\rm V \it (X)$$, $$\sigma (X)$$, $$\rm B \it~(n,~p)$$, $$\rm N \it~(n,~{\sigma}^2)$$, $$\rm N \it~\left(\rm 0, 1 \it \right)$$, $$\bar {X}$$, $$S$$, $$S^2$$
- 확률분포
- 확률변수와 확률분포의 뜻을 안다.
- 이산확률변수의 기댓값(평균)과 표준편차를 구할 수 있다.
- 이항분포의 뜻을 알고, 평균과 표준편차를 구할 수 있다.
- 정규분포의 뜻을 알고, 그 성질을 이해한다.
- 통계적 추정
- 모집단과 표본의 뜻을 알고 표본추출의 원리를 이해한다.
- 표본평균과 모평균의 관계를 이해하고 설명할 수 있다.
- 모평균을 추정하고, 그 결과를 해석할 수 있다.
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- 이산확률변수과 연속확률변수를 다룰 때 구체적인 예를 통해 이해하게 한다.
- 실생활 자료로 확률분포와 통계적 추정을 다룰 때 공학적 도구를 이용할 수 있다.
- 실제적인 예를 통하여 표본조사의 필요성을 알게 하고, 올바른 표본추출이 모집단의 성질을 예측하는 기본조건임을 이해하게 한다.
- 표본평균은 추출한 표본에 따라 다른 값을 가질 수 있는 확률변수임을 알게 한다.
- 표본평균의 분포를 도입할 때 공학적 도구를 이용할 수 있다.
- 모평균의 추정은 모집단의 분포가 정규분포인 경우만 다룬다.
- 자료를 수집하고 정리하여 결과를 분석하는 활동을 통해 통계와 관련된 실생활 문제를 해결함으로써 통계의 유용성과 가치를 인식하게 한다.
- <수학Ⅱ>를 이수한 학생들에게는 연속확률변수와 관련된 내용을 적분을 이용하여 설명할 수 있다.
- ʻ확률질량함수ʼ, ʻ확률밀도함수ʼ 용어는 교수･학습 상황에서 사용할 수 있다.
- 이항분포의 평균과 분산을 구하는 식을 증명하는 문제는 다루지 않는다.
- 모평균의 신뢰구간을 다룰 때 지나치게 복잡한 계산을 포함하는 문제는 다루지 않는다.
- 모평균의 추정과 그 결과의 해석을 평가할 때에는 과정 중심 평가를 할 수 있다.
4. 진로 선택
4.1. 기하
진로 선택 과목인 <기하>는 공통 과목인 <수학>을 학습한 후, 기하적 관점에서 심화된 수학 지식을 이해하고 기능을 습득하기를 원하는 학생들이 선택할 수 있는 과목이다. <기하>의 내용은 ʻ이차곡선ʼ, ʻ평면벡터ʼ, ʻ공간도형과 공간좌표ʼ의 3개 핵심 개념 영역으로 구성된다. ʻ이차곡선ʼ 영역에서는 이차곡선의 뜻과 방정식, 이차곡선과 직선의 위치 관계, 접선의 방정식을, ʻ평면벡터ʼ 영역에서는 벡터의 뜻과 연산, 평면벡터의 성분과 내적을, ʻ공간도형과 공간좌표ʼ 영역에서는 직선과 평면, 정사영, 공간좌표를 다룬다.
- Ⅰ. 이차곡선
- 포물선의 뜻을 알고, 포물선의 방정식을 구할 수 있다.
- 타원의 뜻을 알고, 타원의 방정식을 구할 수 있다.
- 쌍곡선의 뜻을 알고, 쌍곡선의 방정식을 구할 수 있다.
- 이차곡선과 직선의 위치 관계를 이해하고, 접선의 방정식을 구할 수 있다.
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- Ⅱ. 평면벡터
● 용어 ● 벡터(유클리드 기하학), 시점, 종점, 벡터의 크기, 단위벡터, 영벡터, 실수배, 평면벡터, 위치벡터, 벡터의 성분, 내적, 방향벡터, 법선벡터, $$\displaystyle \overset {\longrightarrow} {\rm AB \it}$$, $$\displaystyle \vec{a}$$, $$\displaystyle |\vec{a}|$$, $$\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b}$$
- 벡터의 연산
- 벡터의 뜻을 안다.
- 벡터의 덧셈, 뺄셈, 실수배를 할 수 있다.
- 평면벡터의 성분과 내적
- 위치벡터의 뜻을 알고, 평면벡터와 좌표의 대응을 이해한다.
- 두 평면벡터의 내적의 뜻을 알고, 이를 구할 수 있다.
- 좌표평면에서 벡터를 이용하여 직선과 원의 방정식을 구할 수 있다.
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- 벡터를 표현하고 탐구하는 방법에는 화살표를 이용한 기하적 방법과 좌표를 이용한 대수적 방법이 있음을 인식하게 한다.
- 벡터를 사용하여 좌표평면에서 직선과 원의 방정식을 간단히 나타낼 수 있음을 알게 한다.
- 벡터를 활용하여 다양한 문제를 해결함으로써 그 유용성과 가치를 인식하게 한다.
- ‘벡터방정식’ 용어는 교수･학습 상황에서 사용할 수 있다.
- Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
- 공간도형
- 직선과 직선, 직선과 평면, 평면과 평면의 위치 관계에 대한 간단한 증명을 할 수 있다.
- 삼수선의 정리를 이해하고, 이를 활용할 수 있다.
- 정사영의 뜻을 알고, 이를 구할 수 있다.
- 공간좌표
- 좌표공간에서 점의 좌표를 구할 수 있다.
- 좌표공간에서 두 점 사이의 거리를 구할 수 있다.
- 좌표공간에서 선분의 내분점과 외분점의 좌표를 구할 수 있다.
- 구의 방정식을 구할 수 있다.
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- 공간도형의 성질은 관찰을 통해 직관적으로 이해한 후 증명하게 한다.
- 공간좌표는 평면좌표를 확장하는 수준에서 간단히 다룬다.
- 공간좌표의 개념과 성질을 이용하여, 공간도형에 대한 문제를 해결할 수 있게 한다.
- $$xy$$ 평면, $$yz$$ 평면, $$zx$$ 평면이 각각 $$z=0$$, $$x=0$$, $$y=0$$으로 표현될 수 있음을 직관적으로 이해하게 한다.
- 우리 주변의 자연이나 건축물, 예술작품 등에 나타난 공간도형의 성질을 이해하고, 수학의 심미적 가치를 인식하게 한다.
4.2. 실용 수학
진로 선택 과목인 <실용 수학>은 공통 과목인 <수학>을 학습한 후, 수학이 실생활의 다양한 분야에서 어떻게 활용되는지 이해하고 수학을 활용하여 실생활 문제 해결 방법을 알기를 원하는 학생들이 선택할 수 있는 과목이다. <실용 수학>의 내용은 ʻ규칙ʼ, ʻ공간ʼ, ʻ자료ʼ의 3개 핵심 개념 영역으로 구성된다. ʻ규칙ʼ 영역에서는 식과 규칙, 도형과 규칙을, ʻ공간ʼ 영역에서는 도형의 관찰과 표현을, ʻ자료ʼ 영역에서는 자료의 정리와 해석을 다룬다.
- Ⅰ. 규칙
- 식과 규칙
- 다양한 현상에서 규칙을 찾고, 이를 식으로 나타낼 수 있다.
- 실생활에서 활용되는 수식의 의미를 이해한다.
- 도형과 규칙
- 실생활에서 도형의 닮음이 이용되는 예를 찾고 그 원리를 이해한다.
- 실생활에서 도형의 합동이 이용되는 예를 찾고 그 원리를 이해한다.
- 도형의 닮음과 합동을 이용하여 산출물을 만들 수 있다.
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- 식과 규칙에서는 도형수(삼각수, 사각수 등)나 피보나치 수열 등과 같이 잘 알려져 있고 학생들이 흥미를 가질 수 있는 소재를 활용하되, 계산이 간단한 것만 다룬다.
- 실생활에서 활용되는 수식으로 불쾌지수, 체질량지수, 지니계수, 물가지수, 반발계수 등을 다룰 수 있다.
- 도형의 닮음에서는 축척, 자기닮음 등을 다루고, 이때 공학적 도구를 이용할 수 있다.
- 도형의 합동에서는 쪽매맞춤 등을 다루고, 이때 공학적 도구를 이용할 수 있다.
- 도형의 합동과 닮음을 이용하여 산출물을 만드는 과정에서 수학적 원리가 활용됨을 이해할 수 있게 한다.
- 규칙성에 대한 이해는 직업과 관련된 업무를 원활히 수행하고 최적의 의사 결정을 하는 데 도움이 됨을 인식하게 한다.
- 식과 규칙
- Ⅱ. 공간
- 도형의 관찰
- 평면도형과 입체도형의 모양은 관찰하는 시각에 따라 다르게 보일 수 있음을 이해한다.
- 미술작품에서 평면 및 입체와 관련된 수학적 원리를 이해한다.
- 도형의 표현
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- 도형의 관찰
- Ⅲ. 자료
- 자료의 정리
- 자료를 수집하고 정리하는 절차와 방법을 이해한다.
- 실생활 자료를 수집하고 그림, 표, 그래프 등을 이용하여 정리할 수 있다.
- 자료의 해석
- 다양한 자료를 분석하여 결과를 해석할 수 있다.
- 목적에 맞게 자료를 수집, 정리, 분석, 해석하여 산출물을 만들 수 있다.
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- 다양한 자료를 분석하여 결과를 해석할 때 표나 그래프를 이용하면 편리하다는 것을 알게 한다.
- 자료를 표나 그래프로 나타내고 그 자료의 전체적인 경향과 분포를 파악하는 데 공학적 도구를 이용할 수 있다.
- 다양한 방법으로 산출물을 만들어 보고 자신의 방법을 설명해 보게 한다.
- 자료를 분석할 때 대푯값, 분산과 표준편차, 상관관계 등을 이용할 수 있다.
- 자료를 이용하여 산출물을 만드는 과정에서 통계적 원리가 활용됨을 이해할 수 있게 한다.
- 통계에 대한 산출물을 만들 때 지나치게 복잡한 것은 지양하고, 통계의 유용성을 인식하게 한다.
- 다양한 자료를 정리하고 해석하는 것은 직업과 관련된 업무를 원활히 수행하고 최적의 의사 결정을 하는 데 도움이 됨을 인식하게 한다.
- 자료의 정리
4.3. 경제 수학
진로 선택 과목인 <경제 수학>은 일반 선택 과목인 <수학Ⅰ>을 학습한 후, 수학의 지식과 기능을 활용하여 경제 및 금융의 기본 개념을 이해하기를 원하는 학생들이 선택할 수 있는 과목이다. <경제 수학> 내용은 ʻ수와 생활경제ʼ, ʻ수열과 금융ʼ, ʻ함수와 경제ʼ, ʻ미분과 경제ʼ의 4개 핵심 개념 영역으로 구성된다. ʻ수와 생활경제ʼ 영역에서는 비율과 비례 개념을 토대로 물가지수, 실업률, 환율, 세금 등 생활과 밀접한 경제 내용을, ʻ수열과 금융ʼ 영역에서는 지수와 수열 개념을 토대로 단리와 복리 이자, 원리합계, 현재가치, 연속복리, 연금의 현재가치 등 금융 내용을, ʻ함수와 경제ʼ 영역에서는 함수와 그래프 개념을 토대로 생산, 비용, 수요와 공급곡선, 효용함수, 균형가격, 의사 결정 등 경제 내용을, ʻ미분과 경제ʼ 영역에서는 함수의 미분 개념을 토대로 생산함수, 한계생산량, 탄력성 등 경제 내용을 다룬다.
- Ⅰ. 수와 생활 경제
- 경제지표
- 환율
- 환율의 뜻을 알고, 환거래로부터 비례식을 활용하여 환율을 계산할 수 있다.
- 환율의 변동에 따른 손익을 계산할 수 있다.
- 세금
- 세금의 종류에 따라 세금을 계산할 수 있다.
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- 경제지표는 물가지수, 주가지수, 취업률, 실업률 등과 같이 대중매체를 통해 흔히 접할 수 있는 자료에 대하여 조건과 상황을 단순화하여 다룬다.
- 동일한 상품이 국가별로 가치가 다르게 되는 경우가 있음을 환율을 이용하여 이해하게 한다.
- 통화 가치와 환율의 관계를 설명하고, 환율 변동에 따른 손익 문제는 통화 가치의 변화와 관련된 내용을 다루도록 한다.
- 세금을 다룰 때, 동일한 세율을 적용하는 세금인 부가가치세와 소득이나 수익에 따라 차별화된 세율을 적용하는 누진세의 사례를 단순화하여 다룬다.
- 환율과 세금은 계산이 간단한 문제를 다루되, 필요한 경우 공학적 도구를 이용할 수 있다.
- Ⅱ. 수열과 금융
- 이자와 원리합계
- 단리와 복리를 이용하여 이자와 원리합계를 구할 수 있다.
- 이자율과 할인율의 뜻을 안다.
- 미래에 받을 금액의 현재가치를 계산할 수 있다.
- 연속복리
- 연속복리의 의미를 이해한다.
- 연속복리를 이용하여 이자와 원리합계를 구하고, 미래에 받을 금액의 현재가치를 계산할 수 있다.
- 연금
- 연금의 뜻을 안다.
- 연금의 현재가치를 계산할 수 있다.
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- 동일한 상황에서 단리와 복리를 적용할 때 이자와 원리합계가 어떻게 달라지는지 확인하게 한다.
- 동일한 금액이라도 받거나 지급하는 시점이 현재인 경우와 미래인 경우 그 가치가 다르다는 것을 이해하게 한다.
- $$n$$이 커질 때 $$\left( 1+ \dfrac{1}{n}\right)^n$$이 $$e$$로 수렴함을 공학적 도구를 이용하여 이해하게 한다.
- 동일한 상황에서 단리와 복리, 연속복리로 이자를 계산할 때 연속복리를 이용하는 경우 원리합계가 가장 크다는 것을 이해하게 한다.
- 미래의 각 시점마다 받게 되는 동일한 금액의 현재가치가 등비수열로 표현되고 이들의 총합인 연금의 현재가치가 등비급수의 합으로 계산될 수 있음을 다룬다.
- 금융상품과 관련된 복잡한 계산은 공학적 도구를 이용할 수 있다.
- Ⅲ. 함수와 경제
- 함수와 경제현상
- 생산, 비용과 같은 경제 현상을 함수로 나타낼 수 있다.
- 함수와 그래프를 통하여 수요곡선과 공급곡선의 의미를 이해한다.
- 효용의 의미를 이해하고, 함수와 그래프를 통하여 효용을 나타낼 수 있다.
- 함수의 활용
- 수요와 공급의 상호작용에 의해 균형가격이 결정되는 경제현상을 이해한다.
- 세금과 소득의 변화가 균형 가격에 미치는 영향을 분석할 수 있다.
- 효용함수를 이용한 의사 결정 문제를 해결할 수 있다.
- 부등식의 영역의 의미를 이해하고, 이를 활용하여 경제 관련 함수의 최대, 최소 문제를 해결할 수 있다.
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- 경제현상을 표현하는 함수는 삼차 이하의 다항함수 또는 무리함수에 한하여 다룬다.
- 생산은 노동과 자본을 독립변수로 갖는 이변수함수라고 볼 수 있지만, 하나의 변수를 고정한 일변수함수로 바꾸어 다룰 수 있다.
- 경제 관련 함수를 다룰 때 독립변수는 자연수뿐만 아니라 실수가 될 수 있음을 가정한다.
- 세금과 소득의 변화에 따른 균형가격의 변화는 그래프의 평행이동을 이용하여 분석할 수 있다.
- 의사 결정 문제는 효용함수를 통한 소비자의 의사 결정, 생산함수를 통한 생산자의 의사 결정을 다룬다.
- 부등식의 영역에서 과 같이 다항식의 곱으로 표현된 것은 다루지 않는다.
- 부등식의 영역과 관련하여 최대, 최소를 구할 때, 경제 관련 함수는 일차식만 다룬다.
- Ⅳ. 미분과 경제
- 미분의 의미를 이해한다.
- 미분을 이용하여 그래프의 개형을 그릴 수 있다.
- 미분과 경제문제
- 한계생산량의 의미를 이해하고, 미분을 이용하여 최적생산량을 구할 수 있다.
- 탄력성의 의미를 이해한다.
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- 함수의 극한 개념과 극한값에 관한 성질은 직관적 수준으로 다루고, 미분계수는 접선의 기울기로 도입한다.
- 함수의 미분가능성은 다루지 않는다.
- $$y=x^n$$($$n$$은 실수)의 도함수는 예를 통하여 유추하게 한다.
- $$y=(ax+b)^n$$꼴($$n$$은 실수)의 도함수는 증명 없이 다룬다.
- 함수의 곱과 몫, 합성함수의 미분법 등은 다루지 않고 실수배, 합, 차의 미분법만 다룬다.
- 미분의 활용에서는 삼차 이하의 다항함수 또는 무리함수를 다룬다.
- 탄력성의 계산은 미분을 활용한 것만 다룬다.
4.4. 수학과제 탐구
진로 선택 과목인 <수학과제 탐구>는 공통 과목인 <수학>을 학습한 후, 수학과제 탐구 방법을 익히고 자신의 관심과 흥미에 맞는 수학과제를 선정하여 탐구하는 경험을 통해 수학과제 탐구 능력을 향상시키기를 원하는 학생들이 선택할 수 있는 과목이다. <수학과제 탐구>에서는 수학과제 탐구의 목적과 절차, 연구 윤리를 학습하고, 이를 토대로 이전에 학습한 수학 내용을 더 깊이 탐구하거나 다른 교과와 수학을 융합한 흥미로운 주제를 선택하여 탐구한다. 교과서가 존재하지 않는다.
- Ⅰ. 과제 탐구의 이해
- 수학과제 탐구의 의미와 필요성을 이해한다.
- 수학과제 탐구의 방법과 절차를 이해한다.
- 올바른 연구 윤리를 이해한다.
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- 다양한 탐구 유형과 사례를 통해 수학과제 탐구의 의미, 방법, 절차 등을 이해하게 한다.
- 올바른 연구 윤리의 중요성을 인지시키고 탐구 과정에서 연구 윤리를 준수하고 체득할 수 있도록 지도한다.
- Ⅱ. 과제 탐구 실행 및 평가
- 수학과 관련된 여러 가지 현상에서 탐구 주제를 선정하고 탐구 문제를 구체화할 수 있다.
- 선행 연구를 검토하고 적절한 탐구 방법을 찾아 탐구 계획을 수립할 수 있다.
- 탐구 계획에 따라 탐구를 수행할 수 있다.
- 탐구 결과를 정리하여 산출물을 만들고 발표할 수 있다.
- 탐구 과정과 결과를 반성 및 평가할 수 있다.
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- 탐구 주제는 학생의 흥미와 관심 그리고 학교 실정에 맞게 스스로 선택하고 수정할 수 있으며, 문제를 발견하는 경험을 하게 한다.
- 탐구 주제와 관련된 선행 연구를 찾는 방법을 지도하고, 찾은 선행 연구들을 정리할 수 있게 한다.
- 탐구 주제와 학생의 흥미와 관심에 따라 문헌조사, 사례 조사, 자료 수집 등의 적절한 탐구 방법을 선택할 수 있다.
- 탐구가 진행되는 과정을 공유할 수 있도록 중간 점검을 실시하여 보완하고 수정하게 한다.
- 탐구 산출물은 수학 소논문, STEAM형 산출물, 포스터, 보고서, 수학 잡지, 수학 동화(만화), 수학 신문 등의 탐구 유형에서 학생의 흥미와 관심 그리고 학교의 실정에 맞게 선택하도록 안내한다.
- 인터넷 자료나 참고 문헌 등을 인용할 경우에는 정확한 출처를 표시하도록 지도한다.
- 결과 발표 후, 탐구 과정 및 산출물에 대하여 반성하고 자기 평가 및 동료 평가를 하게 한다.
- 탐구 주제의 성격 및 학생의 필요와 요구에 따라 개인 및 집단으로 수행할 수 있게 하고, 협력적으로 과제를 탐구할 때에는 균형 있는 역할 분담을 통해 책임감 있게 탐구를 수행하게 한다.
- 교사는 활발한 피드백을 통하여 학생들이 의미 있는 학습 결과를 얻을 수 있도록 도와주는 조력자 역할을 수행한다.
- 수학과제 탐구 과정 및 결과에 대한 평가 항목, 평가 기준, 평가 방법 등을 과제 탐구 실행 전에 제시하도록 한다.
4.5. 기본 수학
진로 선택 과목인 <기본 수학>은 중학교 수학을 학습한 후, 고등학교 <수학>에서 다루는 기본적인 내용의 학습을 원하는 학생들이 선택할 수 있는 과목이다. <기본 수학>은 중학교 내용 요소를 연계하여 고등학교 <수학>의 기본적인 내용 요소를 학습할 수 있도록 구성되었다. <기본 수학>의 내용은 ʻ경우의 수ʼ, ʻ문자와 식ʼ, ʻ집합과 함수ʼ, ʻ도형의 방정식ʼ 4개 영역으로 구성된다. ʻ경우의 수ʼ 영역에서는 경우의 수, 순열과 조합을, ʻ문자와 식ʼ 영역에서는 다항식의 연산, 인수분해, 이차방정식과 이차함수, 부등식을, ʻ집합과 함수ʼ 영역에서는 집합, 함수를, ʻ도형의 방정식ʼ 영역에서는 평면좌표, 직선의 방정식, 원의 방정식, 도형의 이동을 다룬다.
2021학년도부터 비상교육에서 고등 기본수학 교과서가 출시된다.[4]
- Ⅰ. 경우의 수
● 용어 ● 합의 법칙, 곱의 법칙, 순열, 계승, 조합, $$_n \rm P \it _r$$, $$n!$$ , $$_n \rm C \it _r$$
- 경우의 수
- 합의 법칙과 곱의 법칙을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있다.
- 순열과 조합
- 순열의 의미를 이해하고, 순열의 수를 구할 수 있다.
- 조합의 의미를 이해하고, 조합의 수를 구할 수 있다.
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- 경우의 수 영역의 학습에 기초가 되는 선수 학습 요소는 ‘경우의 수’이다.
- 합의 법칙과 곱의 법칙은 구체적인 예를 통해 그 의미를 이해하고, 두 가지 법칙이 적용되는 상황의 차이점을 설명할 수 있게 한다.
- 순열의 수와 조합의 수는 간단한 경우를 예로 제시하여 중학교에서 학습한 내용을 바탕으로 직접 나열하거나 수형도를 이용하는 등 다양한 방법으로 구하게 하고, 이를 통해 일반적으로 구하는 방법을 이해할 수 있게 한다.
- 실생활 문제를 해결해 봄으로써 다양한 상황에서 순열과 조합의 필요성과 유용성을 인식할 수 있게 한다.
- 경우의 수나 순열과 조합에 관한 실생활 문제는 직접 나열하거나 수형도를 이용하여 규칙을 발견해서 풀 수 있는 정도의 간단한 문제만 다룬다.
- 합의 법칙과 곱의 법칙은 각각 두 사건에 대해서만 다루며, 특히 합의 법칙과 관련하여 두 사건이 동시에 일어나지 않는 경우의 문제만 다룬다.
- 경우의 수나 순열과 조합에 대한 이해를 평가할 때에는 과정 중심 평가를 할 수 있다.
- Ⅱ. 문자와 식
● 용어 ● 실근, 판별식, 최댓값, 최솟값, 연립부등식
- 다항식의 연산
- 다항식의 덧셈과 뺄셈을 할 수 있다.
- 다항식의 곱셈과 나눗셈을 할 수 있다.
- 인수분해
- 인수분해 공식을 이용하여 다항식의 인수분해를 할 수 있다.
- 이차방정식과 이차함수
- 간단한 이차방정식을 풀 수 있다.
- 이차방정식에서 판별식의 의미를 이해하고 근의 존재성을 판단할 수 있다.
- 이차함수의 뜻을 알고, 이차함수 그래프의 성질을 이해한다.
- 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있다.
- 부등식
- 부등식의 성질을 이해하고 일차부등식을 풀 수 있다.
- 미지수가 1개인 연립일차부등식을 풀 수 있다.
- 절댓값을 포함한 간단한 일차부등식을 풀 수 있다.
- 이차부등식과 이차함수의 관계를 이해하고, 간단한 이차부등식을 풀 수 있다.
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- 문자와 식 영역의 학습에 기초가 되는 선수 학습 요소는 ‘다항식, 항, 계수, 차수, 일차식, 동류항, 전개, 해, 근, 이항, 일차방정식, 인수, 인수분해, 완전제곱식, 이차방정식, 중근, 근의 공식, 제곱근, 근호, 무리수, 실수, 절댓값, 좌표, 순서쌍, $$x$$ 좌표, $$y$$ 좌표, 원점, 좌표축, $$x$$ 축, $$y$$ 축, 좌표평면, 그래프, 함수, 함숫값, 이차함수, 포물선, 축, 꼭짓점, 부등식, 일차부등식, $$\sqrt {~}$$, $$\vert {~} \vert$$, $$f(x)$$, $$y=f(x)$$’이다.
- 다항식의 덧셈과 뺄셈은 일차식의 덧셈과 뺄셈으로부터 시작하여, 이차식, 삼차식 등으로 점진적으로 제시하되, 간단한 다항식의 덧셈과 뺄셈을 할 수 있게 한다.
- 다항식의 곱셈은 중학교에서 다루는 (단항식)×(다항식)의 원리를 이해하고 계산하는 것으로부터 분배법칙을 이용하여 (1차 다항식)×(2차 이하의 다항식)을 하는 정도로 간단히 다룬다.
- 중학교에서 학습한 지수법칙과 연계하여 다항식의 곱셈과 나눗셈을 다룰 수 있다.
- 다항식의 나눗셈은 중학교에서 다루는 (다항식)÷(단항식)의 원리를 이해하고, (3차 이하의 다항식)÷(1차 다항식)을 하는 정도로 간단히 다룬다.
- 다항식의 인수분해는 다음의 경우를 다룬다.
- $$(ma+mb)=m(a+b)$$
- $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$, $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
- $$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$
- $$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$$
- $$acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)$$
- $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$, $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$
- 다항식의 곱셈과 인수분해의 역관계를 이해하고, 중학교에서 학습한 내용을 토대로 고등학교에서 추가된 내용을 이해할 수 있게 한다.
- 치환을 이용한 인수분해는 다루지 않는다.
- 중학교에서 학습한 일차방정식과 연계하여 이차방정식을 도입할 수 있다.
- 판별식을 통한 실근의 존재성을 설명하면서 중학교에서 학습한 무리수라는 용어를 사용할 수 있다.
- 판별식의 부호가 음수일 경우에는 근이 존재하지 않음을 이해할 수 있게 한다.
- 이차방정식의 해는 실근인 것만 다룬다.
- 중학교에서 학습한 순서쌍과 좌표, 좌표축 등과 같은 기본적인 개념의 설명을 추가하여 이차함수의 그래프를 도입할 수 있다.
- 이차함수의 그래프를 그리고 여러 가지 성질을 탐구할 때, 공학적 도구를 이용할 수 있다.
- 이차함수의 최댓값과 최솟값은 실수 전체의 범위뿐만 아니라, 제한된 범위($$a \le x \le b$$)에서도 구할 수 있게 한다.
- 이차함수를 이용하여 이차방정식의 실근의 개수, 최댓값, 최솟값은 시각적으로도 이해할 수 있도록 공학적 도구나 다양한 교구를 이용할 수 있다.
- 실생활의 예를 통해 방정식과 부등식을 도입함으로써, 수학의 필요성과 유용성을 인식할 수 있게 한다.
- 부등식의 성질을 이해하여 계수가 정수인 일차부등식을 풀 수 있는 간단한 경우만 다룬다.
- 연립부등식은 중학교에서 학습한 연립일차방정식 내용을 토대로 이해하게 하고, $$A
- 한 개의 절댓값을 포함한 일차부등식만 다룬다.
- 절댓값을 포함한 일차부등식은 절댓값의 뜻을 이용하여 부등식을 만족시키는 실수의 범위를 수직선 위에 나타내어 해결할 수 있게 한다.
- 이차함수와 이차부등식의 관계는 그래프를 이용하여 이해할 수 있게 있다.
- ʻ연립일차부등식ʼ, ʻ이차부등식ʼ 용어는 교수･학습 상황에서 사용할 수 있다.
- 다항식의 나눗셈은 그 몫이 다항식이 되는 문제만 다룬다.
- 인수분해는 인수분해 공식을 이용할 수 있는 간단한 수준에서만 평가한다.
- 복잡한 인수분해 문제는 다루지 않는다.
- 판별식을 활용하는 복잡한 방정식과 부등식 문제는 다루지 않는다.
- 이차함수의 그래프를 이용하여 이차방정식과 이차부등식을 다룰 때 공학적 도구를 활용한 과정 중심 평가를 할 수 있다.
- Ⅲ. 집합과 함수
● 용어 ● 집합, 원소, 공집합, 부분집합, 진부분집합, 벤 다이어그램, 합집합, 교집합, 전체집합, 여집합, 차집합, 정의역, 치역, 공역, 대응, 일대일대응, 항등함수, 상수함수, 일대일함수, 합성함수, 역함수, $$a \in A$$, $$b \notin B$$, $$\emptyset$$, $$A \subset B$$, $$A \not\subset B$$, $$A = B$$, $$A \neq B$$, $$A \cup B$$, $$A \cap B$$, $$A^C$$, $$A-B$$, $$n(A)$$, $$f:X\longrightarrow Y$$, $$g \circ f$$, $$(g \circ f)(x)$$, $$y=g(f(x))$$, $$f^{-1}$$, $$y=f^{-1}(x)$$
- 집합
- 집합의 개념을 이해하고, 집합을 표현할 수 있다.
- 두 집합 사이의 포함 관계를 이해한다.
- 두 집합의 연산을 할 수 있다.
- 함수
- 함수의 개념을 이해하고, 그 그래프를 이해한다.
- 함수의 합성을 이해하고, 합성함수를 구할 수 있다.
- 역함수의 의미를 이해하고, 주어진 함수의 역함수를 구할 수 있다.
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- 집합과 함수 영역의 학습에 기초가 되는 선수 학습 요소는 ‘함수, 함숫값, $$f(x$$, $$y=f(x$$’이다.
- 집합의 연산은 두 집합의 합집합, 교집합, 여집합, 차집합을 개념을 이해하는 수준에서 다룬다.
- 집합의 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙 등 집합의 연산법칙은 다루지 않는다.
- ʻ원소나열법ʼ, ʻ조건제시법ʼ, ʻ유한집합ʼ, ʻ무한집합ʼ, ʻ서로 같다ʼ 용어는 교수･학습 상황에서 사용할 수 있다.
- 함수의 개념은 중학교에서 학습한 내용을 확장하여 주어진 두 집합 사이의 대응 관계를 통해 이해할 수 있게 한다.
- 함수의 그래프는 원소의 대응을 통해서 이해할 수 있는 수준으로 간단히 다룬다.
- 함수의 그래프를 다룰 때 공학적 도구를 이용할 수 있으며, 이를 통해 직관적으로 이해할 수 있게 한다.
- 일대일대응, 항등함수, 상수함수, 일대일함수, 합성함수, 역함수는 구체적인 예를 통해 이해할 수 있게 한다.
- 대응으로 정의된 함수의 예를 찾아보는 활동을 통해 집합과 함수의 유용성을 인식할 수 있게 한다.
- 집합의 개념이나 집합의 포함관계는 개념을 이해하는 수준에서 평가한다.
- 함수의 그래프와 그 성질은 개념을 이해하는 수준에서 평가한다.
- 합성함수와 역함수는 개념을 이해하는 수준에서 평가한다.
- 함수의 주요 개념에 대한 이해를 평가할 때에는 과정 중심 평가를 할 수 있다.
- Ⅳ. 도형의 이동
● 용어 ● 대칭이동, $$f(x,~y)=0$$
- 평면좌표
- 피타고라스 정리를 활용하여 두 점 사이의 거리를 구할 수 있다.
- 직선의 방정식
- 좌표평면에서 직선의 방정식을 구할 수 있다.
- 두 직선의 평행 조건과 수직 조건을 이해한다.
- 원의 방정식
- 좌표평면에서 원의 정의를 이용하여 원의 방정식을 구할 수 있다.
- 좌표평면에서 원과 직선의 위치 관계를 이해한다.
- 도형의 이동
- 평행이동의 의미를 이해하고, 평행이동한 도형을 좌표평면에 나타낼 수 있다.
- 원점, $$x$$ 축, $$y$$ 축, 직선 $$y=x$$에 대한 대칭이동의 의미를 이해한다.
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- 도형의 방정식 영역의 학습에 기초가 되는 선수 학습 요소는 ‘피타고라스 정리, 좌표평면, 평행이동, 직선의 방정식, 원점, 좌표축, $$x$$ 축, $$y$$ 축, 좌표평면’이다.
- 두 점 사이의 거리를 다루는 데 피타고라스 정리를 이용하되 필요시 좌표평면과 좌표의 이해부터 다룰 수 있다. 이때 직관적인 이해를 위해 공학적 도구를 이용할 수 있다.
- 직선의 방정식과 원의 방정식은 중학교에서 학습한 내용과 연계하여 다룰 수 있다.
- 원과 직선 사이의 관계는 판별식을 이용하여 이해할 수 있는 정도만 다루고, 반지름의 길이와 직선과 원의 중심 사이의 거리를 통한 원과 직선 사이의 관계는 그림 등을 이용하여 직관적으로 이해하는 수준으로만 다룬다.
- ʻ원의 방정식ʼ 용어는 교수･학습 상황에서 사용할 수 있다.
- 도형의 평행이동은 중학교에서 학습한 평행이동과 연계하여 다룰 수 있다.
- 도형의 이동을 다양한 상황에 적용해 보는 활동을 통해 그 유용성과 가치를 인식하게 할 수 있다.
- 좌표축의 평행이동은 다루지 않는다.
- 도형의 방정식 학습을 통해 기하와 대수의 연결성을 이해할 수 있도록 다양한 교수･학습 경험을 제공한다.
- 직선의 방정식, 원의 방정식, 도형의 이동을 다룰 때 공학적 도구를 이용할 수 있다.
- 도형의 방정식은 도형을 좌표평면에서 다룰 수 있음을 이해하는 수준에서만 평가한다.
- 도형의 방정식과 관련하여 계산이 복잡한 문제는 다루지 않는다.
- 도형의 방정식의 주요 개념에 대한 이해를 평가할 때에는 탐구와 체험을 활용한 과정 중심 평가를 할 수 있다.
4.6. 인공지능 수학
진로 선택 과목인 <인공지능 수학>은 공통 과목인 <수학>을 학습한 후, 인공지능 분야에서 수학이 어떻게 활용되는지 알고자 하는 학생들이 선택할 수 있는 과목이다. <인공지능 수학>의 내용은 ‘인공지능과 수학’, ‘자료의 표현’, ‘분류와 예측’, ‘최적화’의 4개 핵심 개념으로 구성된다. ‘인공지능과 수학’에서는 인공지능과 관련된 수학, ʻ자료의 표현’에서는 텍스트 자료의 표현과 이미지 자료의 표현, ‘분류와 예측’에서는 자료의 분류와 경향성을 이용한 예측, ‘최적화’에서는 최적화와 의사 결정을 다룬다.
- Ⅰ. 인공지능과 수학
- 인공지능과 관련된 수학
- 인공지능의 발전에 기여한 역사적 사례에서 수학이 어떻게 활용되었는지를 이해한다.
- 인공지능에 수학이 활용되는 다양한 예를 찾을 수 있다.
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- Ⅱ. 자료의 표현
- 텍스트 자료의 표현
- 수와 수학 기호를 이용하여 실생활의 텍스트 자료를 목적에 알맞게 표현할 수 있다.
- 수와 수학 기호로 표현된 텍스트 자료를 처리하는 수학 원리를 이해하고 자료를 시각화할 수 있다.
- 이미지 자료의 표현
- 수와 수학 기호를 이용하여 실생활의 이미지 자료를 목적에 알맞게 표현할 수 있다.
- 수와 수학 기호로 표현된 이미지 자료를 처리하는 수학 원리를 이해한다.
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- 실생활의 텍스트 자료로 댓글이나 감상평 등을 다룰 수 있다.
- 자료는 정형, 비정형, 범주형, 연속형 등 여러 가지 유형을 다룰 수 있다.
- 텍스트 자료나 이미지 자료를 수와 수학 기호로 표현할 때 공학적 도구를 이용할 수 있다.
- 실생활의 텍스트 자료를 수와 수학 기호를 이용하여 다양한 방식으로 표현해 보고 토론하는 활동을 통해 각 표현 방식의 장단점을 이해하게 한다.
- 텍스트 자료는 벡터, 이미지 자료는 행렬로 표현할 수 있음을 간략하게 소개할 수 있다.
- 텍스트 자료를 변형하는 활동을 통해 자료 처리의 원리를 이해하게 하고, 이때 공학적 도구를 이용할 수 있다.
- 텍스트 자료를 표, 그림, 그래프, 단어 구름 만들기 등을 이용하여 시각화한 후 이를 해석해 보는 활동을 할 수 있으며, 이때 공학적 도구를 이용할 수 있다.
- 이미지 자료는 각 픽셀의 위치를 나타내는 가로, 세로 좌표와 색깔을 나타내는 정보로 구성됨을 이해하게 한다.
- 이미지의 구도, 색상, 휘도, 밝기, 선명도 등을 간단한 연산을 통해 변경하는 활동을 할 때, 공학적 도구를 이용할 수 있다.
- 자료의 표현에 대한 평가는 실제 자료를 목적에 맞게 수와 수학 기호로 표현하고 처리할 수 있는지를 어렵지 않은 수준에서 간단히 다룬다.
- Ⅲ. 분류와 예측
● 용어 ● 유사도, 추세선, 조건부확률
- 자료의 분류
- 인공지능을 이용하여 텍스트를 분류하는 수학적 방법을 이해한다.
- 인공지능을 이용하여 이미지를 분류하는 수학적 방법을 이해한다.
- 경향성과 예측
- 자료를 분석하여 사건이 일어날 확률을 구하고 예측에 이용할 수 있다.
- 자료의 경향성을 추세선으로 나타내고, 예측에 이용할 수 있다.
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- 텍스트 판별에서는 영화 리뷰 분류, 기사 분류 등을 다룰 수 있고, 글 자료 사이의 유사도를 계산하고 텍스트를 판별하여 분류하는 수학적 과정을 이해하게 한다.
- 이미지 판별에서는 개와 고양이의 사진을 구별하는 문제 등을 다룰 수 있고, 구체적인 이미지 분류 문제의 해결을 위해 인공신경망과 같은 방법이 개발되었음을 인식하게 한다.
- 분류에서는 문자, 음성, 이미지, 안면 등의 인식 시스템이나 문서 유사도를 이용한 표절 검사, 스팸 메일 분류 등의 사례를 다룰 수 있다.
- 확률은 가능성을 예측하고 싶은 사건을 설정하고 자료를 수집하여 그 사건이 일어날 확률을 구하며, 조건부 확률의 용어와 기호를 도입하지 않고 특정 조건으로 세분화된 확률을 상대도수로 추정하고 예측하는 과정에 어떤 수학적 원리가 사용되는지 경험하는 정도로 간단히 다룬다.
- 자료의 경향성은 관련된 두 자료를 산점도로 나타내고 측정값과 함숫값 사이의 오차를 최소화하는 추세선을 나타내는 두 변량 사이의 관계식 $$y=ax+b$$를 찾아 새로운 $$x$$의 값이 주어졌을 때, $$y$$의 값을 예측하는 과정을 이해하게 한다.
- 추세선은 $$y$$의 측정값과 예측값 사이의 오차를 구하여 이를 최소화한다는 의미 정도로 간단히 다루고, 추세선을 구할 때 공학적 도구를 이용할 수 있다.
- 예측에서는 자동 동작 인식 시스템, 자연어 인식 및 생성 시스템, 자동번역 시스템, 자율주행 자동차, 인공지능 비서, 구매 추천 시스템 등을 다룰 수 있다.
- Ⅳ. 최적화
- 최적화와 의사 결정
- 주어진 자료로부터 분류와 예측을 할 때, 오차를 표현할 수 있는 함수를 구성하는 원리와 방법을 이해한다.
- 함수의 최솟값 또는 최댓값을 찾아 최적화된 의사 결정 방법을 이해한다.
- 합리적 의사 결정과 관련된 인공지능 수학 탐구 주제를 선정하여 탐구를 수행한다.
- <교수･학습 및 평가 방법 유의사항>
- 함수의 극한 개념은 직관적 수준으로 다루고, 미분계수는 접선의 기울기로 도입한다.
- 오차를 표현할 수 있는 함수의 예로 손실함수를 간단히 다루며, 실제값과 예측값 사이의 오차로부터 손실함수를 유도한다.
- 인공지능의 학습에는 지도학습, 비지도학습, 강화학습 등이 있음을 알고, 인공지능에서 학습 목표 중 하나가 손실함수를 최소화하는 것임을 이해하게 한다.
- 최적화에서는 자료의 경향성을 나타내는 추세선을 예시로, 가장 적합한 모델을 찾기 위해 함수를 정의하는 과정과 이 함수의 최솟값 또는 최댓값을 찾는 과정을 이해하게 한다.
- 경사하강법은 이차함수 형태의 손실함수의 최솟값을 구하는 수준에서 간단히 다루고, 이때 공학적 도구를 이용할 수 있다.
- 경사하강법의 이동 단위인 학습률이 너무 크거나 작으면 학습이 제대로 이루어지지 않을 수 있음을 이해하게 한다.
- 합리적 의사 결정에서는 자율주행 자동차, 인공지능 가전, 재난 로봇, 스마트 팩토리 등 사물과 접목된 인공지능 기술 사례와 자동번역시스템, AI 비서, 바둑 프로그램, 추천시스템, 매칭 시스템, AI 보안 시스템, 챗봇 등 인공지능 기술의 사례 등을 다룰 수 있다.
- 인공지능 수학 탐구에서는 인공지능을 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는 다양한 아이디어를 탐색하는 탐구학습과 프로젝트 학습을 수행하게 한다. 이때, 창의적 아이디어와 연관된 수학이 무엇인지에 대해 발표하게 할 수 있다.
- 학생들의 수준에 맞추어 인공지능 기술을 직접 시연해 보거나 아이디어를 구현해 보게 하고, 이때 공학적 도구를 이용할 수 있다.
- 평가 방법 및 유의 사항
- 합리적 의사 결정 방법에 대한 이해나 아이디어를 평가할 때는 사례를 찾게 하거나 실제 자료를 이용하여 프로젝트를 수행하게 할 수 있으며, 이때 포트폴리오를 활용하여 과정 중심 평가를 할 수 있다.
[1] 일반고등학교든, 특성화고등학교든, 특수목적고등학교든, 또는 자사고[2] 영재학교는 교육법이 아니라 영재교육진흥법을 따르기 때문에 별도의 교육과정을 구성한다. 영재학교의 교육과정상 과목명이 일반고등학교과 같은 경우가 있을 수는 있으나, 실제로 배우는 내용은 다소 차이가 있다. 가령 일반고등학교에서는 1년 내내 배우는 교과서를 6개월, 빠르면 중간고사 전까지 다 나가버리거나 교사의 재량에 따라 심화된 내용을 섞어서 배우기도 한다.[3] 일부 개념서에서는 이 단원을 순열과 조합이라고 한다.[4] #