오일러 등식
Euler's identity / Euler's equation
1. 개요
$$e^{\pi i}+1=0 \\ e^{\pi i} = {\rm cis}(\pi) =-1 \\ e^{\tau i} = {\rm cis}(\tau) =1$$ [1][2]
오일러의 저서 《무한에 대한 연구 개론》(''Introductio in analysin infinitorum'', 1748)에 수록된 등식 중 하나다.
수학계에서 ''''이 세상의 어떤 다이아몬드보다 멋지고, 어떤 보물보다 진귀한 등식''''이라는 평가를 받는 등식이다. 상식적으로 별 상관이 없어 보이는 원주율과 허수 단위와 자연로그의 밑 [math(e)]가 더하기,곱하기,거듭제곱으로 만나 딱 떨어지는 정수를 만들어낸다는 것이 많은 사람들의 경외감을 불러일으킨다.
2. 유도법
오일러의 공식인 $$e^{ix} = \cos x + i \sin x$$에 $$x=\pi$$ 또는 $$x=\tau$$[3] 를 대입하면 유도 끝.
$$\pi$$ 이용: $$\cos\pi=-1$$, $$\sin\pi=0$$이므로[A] $$e^{\pi i}=-1$$. 우변의 $$-1$$을 이항하면 $$e^{\pi i}+1 = 0$$.
$$\tau$$ 이용: $$\cos\tau=1$$, $$\sin\tau=0$$이므로[A] $$e^{\tau i}=1$$.
$$2\pi$$마다 값이 반복되는 각도의 특성상 $$e^{\pi i} = -1$$은 사실 특수해에 불과하고 본래는 $$e^{\left(\pi+2n\pi\right)i} = -1$$이다. 그래서 복소로그함수를 이용하여 복소수 범위의 로그값을 구할 때 함부로 이 등식을 써서는 안 되며, 적어도 각의 범위를 명시해주어야 한다. 이를 테면 $$\ln\left(-1\right) = \left(2n+1\right)\pi i$$로 $$\pi i$$뿐만 아니라 $$3\pi i$$, $$-\pi i$$ 등 값이 여러 개가 되기 때문에 함수가 되지 않는다.
물리학에 익숙한 위키러라면 직관적으로 이해할 수 있는 좋은 방법이 있는데, $$e^{ix}$$를 변위로 놓고 미분하여 속도와 변위의 관계를 분석하는 방법이다. $$\dfrac d{dx}e^{ix} = ie^{ix}$$가 되는데, 복소 평면에서 $$i$$를 곱한다는 건 복소 벡터를 $$90^\circ$$ 반시계 방향으로 회전하는 것과 같다. 변위 벡터와 속도 벡터가 직각을 이루면 원운동을 하는 것이므로 $$e^{ix}$$의 자취는 원을 그리게 되는데, $$x$$란 복소 평면에서 양의 실수축을 기준으로 반시계방향으로 얼마나 많은 각도(라디안)로 회전했는가를 나타낸다. 따라서 $$x=\pi$$면 $$180^\circ$$ 돈 셈이며, 여기에 있는 건 다름 아닌 $$-1$$이다.
3. 응용
아래에 있는 식 중 $$\mathrm{Log}\,z$$는 밑이 $$e$$이면서 복소수 $$z$$의 편각 $$\arg z$$의 범위가 [math(\left(-\pi,~\pi\right])]인 복소로그함수이다.[4] 이에 관한 내용은 해당 문서 참조.
$$\tau = 2\pi$$이므로 아래에는 $$\pi$$를 사용한 식만 썼다.
- $$\mathrm{Log}\left(-z\right) = \mathrm{Log}\,z + \mathrm{Log}\left(-1\right) = \mathrm{Log}\,z + \pi i$$
- $$\pi = -i \mathrm{Log}\left(-1\right)$$
- $$i^n = \cos\dfrac{n\pi}2 + i\sin\dfrac{n\pi}2$$
- $$i^i = \left( e^{\ln i} \right)^i = \left\{ e^{i \left( \frac{\pi}2 + 2k\pi \right)} \right\}^i = e^{i^2 \left( \frac{\pi}2 + 2k\pi \right)} = e^{-\left( \frac{\pi}2 + 2k\pi \right)}$$[5]
- $$i! = \Gamma \left( 1+i \right) \approx 0.4980 - 0.1549i$$
- $$|i!| = \sqrt{\dfrac{\pi}{\sinh\pi}} = 0.521564\cdots\cdots$$
- $$\log_iz = \dfrac{\mathrm{Log}\,z}{\mathrm{Log}\,i} = \dfrac{2\mathrm{Log}\,z}{\pi i}$$
- $$\cos i = \cosh\left(-1\right) = \cosh\,1 = \dfrac{e + e^{-1}}2 = \dfrac{e^2 + 1}{2e} = 1.54308063\cdots\cdots$$
- $$\sin i = -i\sinh\left(-1\right) = i\sinh\,1 = i\dfrac{e - e^{-1}}2 = i\dfrac{e^2 - 1}{2e} = i1.17520119\cdots\cdots$$
4. 평가
수학의 아름다움을 극명하게 나타내 주는 식으로 유명하다. 수학사상 가장 유명한 동시에 영역이 달랐던 다섯 가지 수인 [math(0)], [math(1)](산술), 자연로그의 밑 [math(e)](해석학), 원주율(기하학), 그리고 허수 단위 $$i$$(대수학)가 모두 들어가 있으며, 수학에서 가장 기초가 되는 사칙연산, 지수 연산 그리고 등호가 모두 쓰인다.
리처드 파인만은 이 식을 "수학에서 가장 비범한 식"이라고 불렀다.[6]
카를 프리드리히 가우스는 "이 식이 곧바로 이해되지 않는 학생이라면, 1급 수학자가 되긴 틀린 것"이라고 했다.
SF 소설가 테드 창은 이 식을 보며 "마치 절대적인 진리의 편린을 목격한 듯한 외경심을 느낀다"고 했다.
5. 기타
아름다움은 주관적인 개념이므로 얼마든지 다른 수식이 더 아름답다고 생각할 수도 있다. 일단 오일러의 공식 자체부터 지수와 삼각함수를 연결한다는 점에서 더 아름답다는 의견이 있으며, 모든 대수의 기본이 된다는 점에서 $$1+1=2$$가 가장 아름답다는 의견도 많다.
$$\pi$$보다 $$\tau=2\pi$$가 수학적으로 간명하며 보다 근원에 가까운 상수라고 주장하는 새원주율 지지자들은 식 $$e^{\tau i}=1$$ 쪽을 선호한다. '단위원 반 바퀴'를 의미하는 $$e^{\pi i}=-1$$보다 '단위원 한 바퀴'를 나타내는 $$e^{\tau i}=1$$ 쪽이 더 두 상수의 원래 관계에 가깝다는 것. 또한 $$e^{\pi i}=-1$$에서 억지로 $$-1$$을 이항하여 [math(0)]과 $$1$$을 식에 포함시키고 '세 가지 연산, 가장 중요한 다섯 상수가 들어갔으니 아름답다'고 주장하는 데도 거부감을 드러내며, 정 그렇게 [math(0)]과 덧셈까지 식에 포함하고 싶다면 $$e^{\tau i}=1+0$$을 쓰면 된다며 까칠하게 반응하기도 한다. 2.3 Euler's identity
Q.E.D. 증명종료에도 이 등식과 관련한 사건이 나오며, "인류의 수학사상 가장 아름다운 공식"이라 칭한다.
영화 박사가 사랑한 수식의 제목 역시 이 등식을 가리킨다.
니시오 이신도 모노가타리 시리즈에서 가장 아름다운 수식이라고 언급한 적이 있지만, 니시오 이신이 수학에 일가견이 있어서 그렇게 느끼는 건 절대 아니고, 그냥 남이 하는 얘기를 따라한 수준의 언급이다. 오와리모노가타리에서 등장하는데, 아라라기 코요미와 오이쿠라 소다치 사이의 뒤틀린 관계에 수학 및 수학 시험 성적이 주된 소재로 사용되기는 한다. 오이쿠라의 경우 아예 자칭 별명이 오일러.
6. 관련 문서
[1] 후자 2개보다는 덧셈의 항등원 [math(0)], 곱셈의 항등원 $$1$$이 등장하는 첫 번째 식이 더 많이 쓰인다. $${\rm cis}(x)$$는 $$\cos x + i \sin x$$의 축약 표현이다.[2] 전자공학 부문에서는 $$i$$가 전류를 의미하기 때문에 허수단위로서 $$i$$ 대신 $$j$$를 쓴다.[3] $$\tau=2\pi$$[A] A B 여기서 각 $$x$$의 단위는 라디안.[4] 복소함수론에서는 복소수 $$z$$를 $$z = re^{i\theta}$$로 나타낼 수 있다는 특징으로부터 밑이 $$e$$인 자연로그만을 취급하기 때문에 상용로그를 볼 일이 '''정말 없다'''. 그래서 관례적으로 밑이 $$e$$여도 $$\ln$$을 쓰지 않고 $$\log$$를 쓴다.[5] $$k=0$$인 경우 $$e^{-\frac{\pi}2} = 0.207879576\cdots\cdots$$라는 근삿값이 나온다. 여기서 $$k$$는 정수이다.[6] 오일러와 파인만 모두 직관적 사고력이 탁월하기로 유명한 학자들이다.