0.999…=1

 


1. 개요
2. 설명
3. 증명
3.1. 엄밀한 증명
3.2. 간단한 증명들
3.3. 무한소를 도입한 수 체계에서
4. 반박과 재반박
5. 논란이 발생하는 이유
5.1. 교육과정에서의 문제
5.2. 심리적인 문제
5.2.1. 실생활에서의 문제
6. 기타
6.1. 무한수
7. 관련 링크
8. 관련 문서


1. 개요

$$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{9}{10^k} = 1$$

아주 오래 전부터 수많은 사람들에게 셀 수 없이 많은 착각을 불러일으킨 명제.
결론부터 말하자면 '''$$0.999\cdots=1$$'''이 '''맞다.'''[1]

2. 설명

이 논제를 헷갈리는 이유는 정확한 용어의 정의 없이 직관만으로 논증하려 했기 때문이다. 가령 무한 소수라는 것을 점점 '다가가는' 수 같은 식의 임의로 움직인다는 개념을 집어넣거나 하는데 '''수학에 '움직이는 수'라는 개념은 없다.''' 대한민국의 경우 일반적으로 고등학생때 극한을 수박 겉핥기식으로만 배우게 되며 수학교사들 중에서도 해석학을 심도 있게 익힌 사람이 적다보니 이과든 문과든 상관없이 고등학교 과정에선 잘못 이해하고 넘어가기 십상이다.[2]

3. 증명


3.1. 엄밀한 증명

다행히도 0.999… = 1이라는 사실은 수학적으로 아주 간단하게 증명할 수 있다. 대학교 기초 수준의 수학 지식이 있다면 이해하는 데에 무리는 없을 것이다.
0.999...와 같은 표기를 쓰기 전에 일단 '무한소수'라는 것이 무엇인지를 알 필요가 있다. 정의는 간단하다. 자연수 $$n$$에 대하여 수열 $$\left\{ a_n \right\}$$ 을 생각하자. 만약에 알아보고 싶은 무한소수가 0.999... 라고 한다면 $$a_1 = 0.9, a_2 = 0.99, a_3 = 0.999, \cdots$$ 이 될 것이다. 무한소수라는 것은 이러한 수열의 극한으로써 정의된다.
간단히 설명하자면, $$a_n$$의 극한이 $$a$$라는 것은 아무리 작은 양수 $$\epsilon$$를 제시하더라도, n을 충분히 크게 함으로써 $$a$$와 $$a_n$$ 사이의 거리를 $$\epsilon$$보다 작게 할 수 있다는 의미이다. 직관적으로도 이 정의는 우리가 일상적으로 말하는 '무한히 접근한다'라는 표현과 일맥상통함을 이해할 수 있을 것이다. 이 정의를 만족하지 않고도 $$a_n$$가 $$a$$로 무한히 접근할 방법이 있을까 고민해 본다면 명확하다.
첫 번째 문제는 수열 $$\left\{ a_n \right\}$$의 극한값이 존재하는지에 대한 것이다. 두 번째 문제는 이 극한값이 무엇인지에 대한 문제이다. 다행히도, 임의의 무한소수에 대해 수열 $$\left\{ a_n \right\}$$의 극한값은 존재하고, 그 극한값은 이 수열의 상한(supremum), 풀어 쓰면 '모든 자연수 $$n$$에 대해 $$a_n$$보다 크거나 같은 숫자의 집합에서 가장 작은 수' 와 같다.
이를 증명하기는 어렵지 않다. 일단 집합 $$A= \left\{ a_n | n\in\mathbb{N} \right\}$$이 상계(upper bound)를 가진다는 것을 보이자. 예를 들어 '10'은 임의의 $$a_n$$보다 크거나 같으므로 이 집합의 상계이다. 실수의 완비성에 의해 공집합이 아닌 실수의 부분집합에 상계가 존재한다면 상한(supremum = least upper bound)[3]은 언제나 존재한다. 수학자들이 부등호를 적절하게 조절하여 임의의 집합에 대해서도 항상 존재할 수밖에 없도록 만든 개념이라서 그렇다. 이는 하한(infimum = greatest lower bound)도 마찬가지. 자세한 것은 https://en.wikipedia.org/wiki/Least-upper-bound_property를 참조
그 다음은 이 상한이 이 수열의 극한값이라는 것을 증명해야 한다. 단조 수렴 정리(Monotone Convergence Theorem)에 의하면, 임의의 수열이 위로 유계이고 증가하는 수열이라면 그 극한값이 존재하며 극한값은 그 수열의 상한과 같다.
이를 증명하기 위해 위 명제가 성립하지 않는다고 가정하자. 즉, 수열 $$\left\{ a_n \right\}$$이 증가 수열이고, 위로 유계임에도 불구하고 집합 $$A$$의 상한 $$c$$로 수렴하지 않는다고 가정해 보자. 그러면 극한의 정의에 의해 어떤 $$\epsilon$$이 존재하여 아무리 $$n$$을 키워도 $$c$$과 $$a_n$$의 차이를 $$\epsilon$$보다 작게 만들 수 없어야만 한다. 하지만 그럴 경우, $$c$$가 집합 $$A$$의 상한이라는 가정에 위배된다. 왜나하면 $$c-0.5\epsilon$$라는 수는 $$c$$보다 작으면서도 $$\left\{ a_n \right\}$$의 상계가 될 수 있기 때문이다. 이는 $$c$$가 상한이라는 정의와 모순된다. 따라서 위 명제가 성립하므로, 수열 $$\left\{ a_n \right\}$$의 극한값이 존재하며 그 값은 집합 $$A$$의 상한과 같다.
이제 모든 증명이 끝났다. $$\displaystyle a_n=1-\frac{1}{10^n}=0.\overbrace {999\cdots 9}^n$$라고 하자. 그러면 집합 $$A$$의 상한은 1이다. 따라서 0.999… = 1이다.

3.2. 간단한 증명들

사실 이 항목에서는 '''증명을 푸는 방식'''이 중요한 것이 아니라 '''수학적 정의'''가 본질적인 문제이다. 무한소수의 정의에 대한 어떠한 언급도 하지 않으면서 하는 증명이란 것은 모호한 사실을 얼핏 보기에 덜 모호해 보이는 사실(가령 1/3=0.333...)로 바꾸는 것인데 애매모호함은 그저 숨겨져 있을 뿐 그대로 남아있게 된다. 교육학적으로는 어떨지 모르겠으나 수학적으로는 설명이라고 할 것이 못 된다.
이것은 간단한 증명들이다.
  • 1. $$\displaystyle\frac{1}{3} = 0.3333\ldots$$ 이다.
  • 2. $$\displaystyle\frac{1}{3}\times3 = 1$$ 이다.
  • 3. $$\displaystyle\frac{1}{3}\times3=0.3333\ldots\times3 = 0.9999\ldots$$ 이다.
  • 4. 따라서 $$\mathbf{0.9999\ldots = 1}$$ 이다.
사실 위의 논리는 일종의 순환논리이다. 이 논리를 적용하기 위해서는 가장 기초적으로 1번이 참임을 증명해야 한다. 즉, 1/3이 0.333..임을 증명해야 하는데, 이는 1과 0.999...가 같음을 증명하는 것과 마찬가지이다. 증명하고자 하는 명제 p를 이용해 p를 보였으니 잘못된 논증인 것. 물론 이 1번은 당연한 것 아니냐고 물을 수도 있다. 1을 3으로 계속 나누면 저렇게 되는 것은 '''당연하지 않느냐고''' 말이다. 그러나, 1/3 = 0.3이 아니며, 0.33도 아니고, 0.333도 아니다. 이걸 반복했을 때 0.333...이 1/3과 같다고 확언할 수 있는가? 무한히 나누면 0.3333...이 되잖아요! 하는 이야기는 무한을 잘못 이해한 것이다. 세상에 다가가는 수 같은 건 없다. 무한히 나누는 동작을 반복하더라도 0.333...과는 본질적으로 차이가 있다.
만약 이 항목에 관하여 누군가가 자신에게 물어온다면 이러한 증명을 보여주는 것이 아니라 그저 '''무한소수의 정의'''는 무엇인지 생각해 보았냐고 되물어 봐 주는 게 낫다. '''혹은 반대로 써보면 더 이해가 잘 될 지도 모른다. 1 = 0.999... 라고 그냥 사람들끼리 약속을 했기 때문에 정의가 그렇게 내려져있는 것이다!'''
  • $$a = 0.999\cdots$$로 두면 $$10a = 9.999\cdots$$ 이때, $$10a - a = 9a = 9.999\cdots- 0.999\cdots = 9$$ 이므로, $$a = 1$$
이는 중학교 수학책에도 나오는 증명이다.
그러나 이 증명을 확실히 하기 위해서는 앞에서 언급한 것처럼 단조수렴 정리가 필요하다. 게다가 위로 유계라는 것까지도 보여야 한다. 왜냐하면, 해당 논리만 들이대면 a = 9 + 90 + 900 +... 일때, a - 10a = -9a = 9, a = -1이라는 논리를 반박할 수가 없다. 즉, a = 0.999...로 둔다고 했을때 0.999..의 수렴가능성을 보여야 하니 단조수렴정리가 필요하고, 이 정리를 적용하기 위해 위로 유계임을 보여야 한다.
  • 0.999…는 순환소수 $$0.\dot{9}$$ 를 다르게 쓴 것뿐이다. 이 순환소수를 유리화하면 $$\displaystyle\frac{9}{10-1} = \frac{9}{9}$$이므로 1이 된다.
  • 정 $$...$$이라는 표시가 거슬린다면 무한등비급수를 생각할 수도 있다. $$a = 0.999\cdots = 0.9+0.09+0.009+0.0009\cdots$$이므로 무한등비급수의 합을 구하는 방법에 의해 첫째항이 $$0.9$$이고 공비가 $$0.1$$이므로, $$\displaystyle\frac{0.9}{1-0.1}=1$$이다.
  • (귀류법) $$0.999\cdots$$와 $$1$$이 다르다고 하자.
실수의 삼분법(trichotomy)[4]에 의하여 $$0.\dot{9}>1$$이거나 $$0.\dot{9}<1$$ 중 하나이다. 일단 $$0.\dot{9}>1$$은 성립하지 않는다. 왜냐하면 $$0.\dot{9}>1$$이라면 $$0.\dot{9}$$의 정수 부분이 1보다는 크거나 같아야 하는데 이는 모순. $$0.\dot{9}<1$$라면 실수의 조밀성에 의하여 $$0.\dot{9}a$$이므로 모순. 따라서 $$a_1=9$$이다. 같은 방법을 계속 반복하면 임의의 자연수 $$n$$에 대하여 $$a_n=9$$가 된다. 따라서 $$a=0.\dot{9}$$이므로 모순. $$0.\dot{9}>1,\ 0.\dot{9}<1$$의 두 가지 경우에 대하여 모순이므로 결과적으로 $$0.\dot{9}=1$$이다.
  • 모든 자연수 $$n$$에 대하여 $$0아르키메데스 성질에 의해 수열 $$\displaystyle \left\{\frac{1}{n}\right\}$$은 0으로 수렴하므로, 샌드위치 정리에 의해 수열 $$\displaystyle \left\{\frac{1}{10^n}\right\}$$도 0으로 수렴한다. 그러면 극한의 성질에 따라 $$\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(1-\frac{1}{10^n}\right)=1$$
  • $$1\div 3\times 3= 1\times\displaystyle\frac{1}{3}\times3=1\times\displaystyle\frac{3}{3}=1$$이 되는데,
$$1\div 3\times 3=0.333\ldots\times3=0.999\ldots$$이므로, $$1\times\displaystyle\frac{1}{3}\times3=1\div 3\times 3=0.999\ldots=1$$가 된다.
  • $$\displaystyle\frac{1}{9}$$는 0.111... 이고 $$\displaystyle\frac{2}{9}$$는 0.222.. 이므로 $$\displaystyle\frac{9}{9}$$는 0.999.. 이다. 이때, $$\displaystyle\frac{9}{9}$$는 1과 같으므로 0.999…=1 성립이 된다.
  • 엡실론 - 델타 논법을 이용하면 보다 확실해지는데, $$\left \{ a_{n} \right \} = 1-0.1^{n}$$이라고 수열을 정의하자. 이 수열은 $$0.9, 0.99, 0.999, ...$$식으로 끝 없이 이어진다. 이제, 이 수열의 극한을 1이라 가정하고, 엡실론 - 델타 논법에 따라 전개하자. 임의의 양의 실수 $$\epsilon>0$$에 대해서, $$k>N$$인 $$\forall k$$에 대하여, $$\left|a_k-1\right|<\epsilon$$을 만족하는 임의의 자연수 $$N$$이 존재한다. 이는 $$\left \{ a_{n} \right \} = 1-0.1^{n}$$이라고 수열을 정의했기 때문에, $$\left|a_k-1\right|=0.1^{k}$$가 되기 때문인데, $$N=\lfloor\log_{0.1}\epsilon\rfloor=-\lceil\log_{10}\epsilon\rceil$$로 잡으면, $$k\geq N+1>\log_{0.1}\epsilon\geq N=\lfloor\log_{0.1}\epsilon\rfloor$$이 되어, $$0.1^{k}\leq 0.1^{N+1}< 0.1^{\log_{0.1}\epsilon}=\epsilon<10^{N}$$이 성립한다. 즉, 어떤 $$\epsilon>0$$을 잡아도, 그보다 오차를 줄일 수 있는 $$N$$을 정의할 수 있어서, 이 수열의 극한값은 1이 된다.[5]

3.3. 무한소를 도입한 수 체계에서

사람들이 헷갈려 하는것 중 하나로, 무한소를 고려하면 $$0.999\cdots\neq 1$$일것 같아 보이지만, 그렇지 않다. 예를 들어서, 무한소의 개념을 허용한, 비표준 해석학에서도 0.999...=1이다. 왜냐하면 무한소수 자체가 '''실수'''를 표기하는 한 방법이기 때문이다. 다만, 초실수 중에는 1에 무한히 가깝지만, 1보다는 작은 수가 존재하는데, 예를 들어서 수열 $$a_{n}=0.9+0.09+0.009+\cdots+(0.1)^{n}9$$에 대응하는 초실수가 존재해서[6] 이 수는 1은 아니지만, 1과의 차가 0보다 크고 임의의 양의 실수보다 작다. 이 수를 $$(a_{n})_{U}$$라고 하면, 임의의 1보다 작은 실수 $$x$$에 대하여
$$x<(a_{n})_{U}< 0.9999\cdots=1$$
이다. '직관적'으로 움직이는 수(?)라던지 하는 것은 0.999...가 아니라 $$\displaystyle\left(\sum_{i=1}^{n}\frac{9}{10^{i}}\right)_{U}$$ 였던 것. 이것은 어디까지나 정의의 문제이다.
물론, 수학은 자유롭기 때문에[7] 자기 혼자 0.999...를 $$\displaystyle\left(\sum_{i=1}^{n}\frac{9}{10^{i}}\right)_{U}$$을 나타내는 표기법으로 삼을수도 있을 것이다. 그러나, '''표기의 일관성'''을 고려하면, 수많은 이름 없는 무리수들의 표기법을 잃어버리게 된다. 예를 들어서, $$0.239495994929039202045\cdots$$라는 무한 소수는 수열 $$(0.2,0.23,0.239.0.2394,0.23949,\cdots)$$에 대응 하는, 실수가 아닌[8], 초실수가 될 터인데, 그렇다면 기존의 $$0.239495994929039202045\cdots$$가 나타내고 있던 무리수는 무슨 방법으로 표현해낼지가 문제가 된다. 극한을 이용해서
$$\lim\limits_{n\to\infty}(0.2,0.23,0.239.0.2394,0.23949,\cdots)$$
라고 표현할수 있겠지만,[9] 초실수체라는 복잡한 개념 때문에, 더 쉽고 더 자주 사용하는 실수를 번거롭게 표기해야할 이유가 전혀 없다.그리고 모든 초실수를 표현할 수 있는 십진 표기법이 이미 존재한다. 그런 표기법 하에서
$$1=0.999\cdots=0.99\cdots;\cdots 999\cdots$$[10]
라고 한다. 자세한 내용은 참조.

4. 반박과 재반박

물론 이에 대한 반박은 단순히 인터넷 꾸준글 수준이 아니라 역사적이라고 해도 될 만큼 오래 있었다.
  • "$$0.999\cdots$$는 $$1$$에 한없이 다가가는 수이지 $$1$$이 안 된다."[11]
  • $$0.999\cdots$$ 가 1과 같다면 $$1 - 0.999\cdots$$ $$=$$ [math(0)]이 성립되어야 한다.
  • $$0.999\cdots$$ 가 1과 같다면 이의 제곱도 1이어야 한다. [12]
조금 더 그럴싸한 반박으로는 다음과 같은 것이 있다. "$$S = \{x|x<1\}$$이라 하자. $$0.9$$는 $$S$$의 원소이다. $$0.99$$ 역시 $$S$$의 원소이다. $$0.999\cdots9$$($$9$$가 $$k$$개)가 $$S$$의 원소일 때, $$0.999\ldots$$($$9$$가 $$k+1$$개) 역시 $$S$$의 원소이다. 따라서 $$0.999\ldots$$ 역시 $$S$$의 원소일 수밖에 없다."라는 것이다. 당연하지만 틀린 증명인데, 왜냐하면 이 논리는 모든 자연수 $$n$$에 대해 유한소수 $$0.999\ldots9$$($$9$$가 $$n$$개)가 $$S$$의 원소임을 말해줄 뿐이고, $$S$$가 실수에서 ''닫힌 집합[closed set]''이 아니기 때문이다. 어떤 집합이 닫혔다는 것은, $$S$$의 원소로 이루어진 임의의 수렴하는 수열 $$\{a_n\}$$에 대해 그 극한값이 $$S$$의 원소라는 것으로 정의된다. 이런 정의가 있다는 것은 당연하지만 모든 실수의 부분집합이 닫힌 집합인 것은 아님을 암시한다. 임의의 자연수 $$n$$에 대해 $$0.999\ldots9$$($$9$$가 $$n$$개)가 $$S$$의 원소이더라도 $$0.999\ldots$$는 그렇지 않을 수도 있는 것이다.

5. 논란이 발생하는 이유


5.1. 교육과정에서의 문제

한국 중등교과의 순환소수 도입에서 0.999...=1의 문제는 현재 '''의도적으로 회피되어 있다'''. 교육부 및 평가원의 2015 개정 교육과정 고시[13]에는 대놓고 "유한소수를 순환소수로 나타내는 것은 다루지 않는다."라고 교수학습 유의사항에 명시되어 있다. 유한소수를 순환소수로 나타낼 수 있는 경우는 n.999...가 유일하기 때문에, 이건 누가 봐도 이 문제를 저격한 것이다. 그 다음 항목이 바로 "순환소수를 분수로 고치는 것은 순환소수가 유리수임을 이해할 수 있는 정도로 다룬다"이다.
순환소수의 개념이 상당히 느슨하게 다루어지고 있지만, 소수가 나오는 수준을 생각하면 이게 맞다. 초등교과에서 제기된 소수의 나눗셈에 대한 의문을[14] 조금이나마 풀어주면서 한편으로는 실수에 대한 도입 역할로서 무한소수를 소개하는 정도에 그쳐야 하는데, 이런 상황에서 극한이니 뭐니를 들여오는 순간 바로 수포자 양산의 지름길이 되는 것이다. 0.999...=1에 대한 오해를 엄밀한 정의의 부재로 돌리는 것은 지나치게 무리한 요구이다.
0.999...를 도입하기 위해서는 어떠한 식으로든 수준 외의 내용이 필요하기 때문에, 이 내용을 빼는 것은 일선 현장에서도 지속적으로 제안되었던 내용이다. 중2 과정에서 순환소수를 구해내는 과정은 세로셈이 전부인데, 0.999...는 이 세로셈으로 얻어낼 수 없는 유일한 숫자이다. 즉 0.999...를 언급하려면 의도적으로 피하고 있는 극한에 대한 이야기를 어쨌든 꺼내야 한다. 정확히 설명하지 못할 바에야 아예 배제하는 이 방식이 어찌 보면 중학교 수준에서 취할 수 있는 합리적인 수순이라 할 수 있다. 고교과정으로 가면 극한을 엄밀하게 정의는 못 해도 언급은 할 수 있으니까 미완적이지만 해결되는 부분이니까.
문제는 이 0.999...의 존재를 생각하지 않으면서 오개념이 발생하는 위험이다. 대부분의 사람들이 극한의 정의에만 매몰되어 0.999...=1에 불편함을 느끼는 심리적인 이유를 간과하는데, 바로 '''소수의 표현이 유일하다는 고정관념'''이다. 사실 0.999...=1을 보면 바로 '어 생각해보니 그러네'라는 소리가 나오긴 하지만, 이 점을 생각하지 않는다면 이건 0.999...=1을 알고 있는 사람도, 심지어 수학 전공자들도 가끔씩 착각하는 오개념이다. 또한 저 식은 유한소수 표현이랑 순환소수 표현이 같아질 수 있다는 것을 의미하기도 한다. 즉 '''유한소수와 순환소수는 칼같이 나누어 질 수 있는 게 아니고, 실수의 하위분류는 더더욱 아니다.''' 수의 표현과 수의 차이를 엄밀히 구분하지 못하는 것은 추상성이 충분히 발달하지 못한 초/중등 과정에서 흔히 발생하는 오개념 중 하나이다. 하지만 0.999...=1은 상기한 오개념들의 '유일한' 반례이기 때문에, 이것만 없으면 모든 실수를 소수표현으로 유일하게 나타내고, 유한소수/순환소수의 분류 기준을 엄밀히 세우는 것이 그럴듯해 보이는 착각을 준다. 이런 상황에서 기존의 고정관념을 지키고자 한다면 0.999...=1을 부정하기 위해 이상한 논리를 만들어내게 되는 것이다.
즉 유한소수와 순환소수를 수의 '표현'이 아니라 '수' 자체로 간주하는 사고방식, 십진표현의 유일성에 대한 정확하지 못한 언급, 유리수를 유한소수와 순환소수로 분류한다는 뉘앙스를 주는 서술방식 이들 모두가 0.999...=1에 대한 오해에 기여한다고 볼 수 있다. 이상적인 중등 수학교사라면 항상 0.999...를 염두에 두며 오해의 소지가 있는 이런 표현들을 피하면서도, 한편으로는 수준 밖 내용을 끌어들이지 않기 위해 0.999...에 대한 언급 자체를 되도록 피해야 하며, 만약 혹시 모를 학생이 0.999...를 물어본다면 학생의 수준 내에서 정확하게 설명해 줄 수 있어야 한다. 물론 현실에서는 그런 거 깔끔하게 씹는 참고서가 넘쳐난다.

5.2. 심리적인 문제


"왜?"라는 질문에 답변하기 어려운 이유에 대한 리처드 파인만의 설명
이러한 논란이 발생하는 이유는 자신이 당연하게 알았던 사실로부터 당연하지 않은 것 같은 사실이 도출되었을 때, 즉 증명 시도를 한 태도의 결과는 이것이 참인 것을 말해주지만 자신이 참이라고 인정하지 못하고 행동을 바꾸지 않을 때 태도와 행동의 모순, 즉 인지부조화가 발생하기 때문이다.
만약 태도 결과에 따라 행동을 바꾸면, 즉 자신이 0.999...=1이 참이 아니라고 주장한 것을 정정해서 참이라고 행동을 수정하면 쉽게 인지부조화에서 빠져나올 수 있지만, 반대로 0.999...=1이 참이 아니라고 주장한 행동을 바꾸지 않으면 태도를 바꾸는, 즉 자신이 이전까지 당연하게 여겼던 사실들을 부정하면서 Ad Hoc 가설로 반박을 하려하거나 무조건 내가 옳다는 식의 자기합리화에 빠지게 된다.
특히 이러한 논쟁이 인터넷의 발달로 급속히 확산된 이유는 익명의 대집단이 모인 인터넷에서는 보편적 사실에 대해 조금이라도 의문을 제기하는 사람들이 있기 마련이고 이것에 대한 설명을 일일히 하다 보면 사실상 보편적 사실 자체가 어디까지인지 가늠하기가 소집단에 비해 훨씬 어렵기 때문이다. 결국 보편적인 설명을 위해 이러한 깊이가 아예 없는 사람들을 가정하고 답변한다면 0.999...=1이 수학에서 절대적인 진리이기 때문이라는 답변밖에 못해주게된다. 왜냐면 이전까지 당연하다고 여길 수 있는 사실이 하나도 없는 사람이기 때문에 유도를 통한 증명이 불가능하여 0.999...=1이라는 논리를 당연하게 여길 수 있는 사실 그 자체로 받아들이라고 말할 수밖에 없기 때문이다.
만약 자신이 당연하게 여기는 사실들이 있고 그것들만으로 도출되는 결론이 있다면 그 결론 자체가 겉보기에 쉽게 인정하기 어렵다고 하더라도 이러한 심리적인 혼란 자체는 인지부조화로 자연스럽게 느낄 수 있는 것이다. 다만 그것을 인정하고 자신의 행동을 바꿀 것인지, 아니면 자신의 행동을 바꾸지않고 증명하는 태도를 바꿀 것인지는 자신의 마음에 달린 것이다.

5.2.1. 실생활에서의 문제

0.999...=1은 수학적으로 확립된, 의심할 수 없는 사실이지만 실생활에서는 쓸 일이 없다. 수를 직관적이고 실용적으로 받아들이는 일반인 입장에서 선뜻 받아들이기 힘든 이유에 이런 이유도 한몫한다고 생각해 볼 수 있다. 예를 들어 '0.999...=1이면 네 키는 170cm라고 안하고 169.999...cm라고 하냐?' 라는 유머가 있는데, 저 표기는 쓸데없이 번거로운 것은 둘째 치고 수학적으로도 맞지 않다. 169.999...cm로 쓸 수 있으려면 키가 정확히 170.000...cm여야 하는데 그렇지는 않기 때문이다. 170cm는 한 치의 오차가 없는 정확한 수치가 아니라 반올림한 수치다. 즉, 키가 169.5cm에서 170.5cm 사이라는 것을 의미한다. 실제 세계에서의 모든 측정값은 측정의 한계 때문에 이렇게 연속적인 수치인 것처럼 착각하게 되는 이산적 수치로 되어 있다.[15] 따라서 0.999... 같은 수치는 수학 이론상으로만 존재하는 것이며 실용적인 용도로는 접할 일이 없다. 이에 따라 일상적으로 수를 받아들이는 일반인들과, 수학 이론 내에서 수를 받아들이는 수학 간에 괴리가 생겨 일반인들이 받아들이기 어려운 것이다.
또한 '사과 2개', '연필 3개' 등에서 쓰이는 2,3 같은 숫자는 정확한 2,3이 맞지만, 이러한 숫자는 소수점 표기가 의미가 없다. 사과 한 개면 한 개고 두 개면 두 개지, '사과 1.4269개' 같은 것은 상상할 수 없기 때문이다. 물론 실생활에서는 '사과 반 개' 같은 표현이 쓰이기도 하지만, 이건 사과를 정확히 ½로 나눴다는 것이 아니라 적당히 반쯤으로 나눴다는 뜻이므로 수학적으로 논의할 가치는 없다.

6. 기타

0.999…=1이라는 것은 1+1=2이라는 사실만큼이나 엄연한 수학적 사실이지만, 언뜻 보기에 너무나 오해하기 쉬운 모습 때문인지 현재까지도 인터넷 등지에서는 게시판이나 포럼에서는 격렬한 논란을 일으켜 불바다로 만드는 떡밥으로 언급된다. 북미에서 인터넷이 보급되면서 시작해 지금까지도 한 번 판 터지면 양쪽에서 그야말로 입에서 거품을 무는 장관이 펼쳐진다. 블리자드 배틀넷에서 하루가 멀다하고 이 주제를 가지고 싸움이 나자 2004년 블리자드에서 '''공식으로 $$0.999\ldots=1$$이 옳습니다'''하고 공지한 적이 있다.
이는 중등수학에서 '순환하는 무한소수의 분수꼴 표현'과 고등수학에서 '극한값을 이용한 무한소수의 합 구하기'를 철저하다 못해 훈련하듯 배우는 대한민국도 예외는 아니라 디시인사이드 수학 갤러리의 공지글, 나무위키의 0.999…=1 문서 등에 그 고충이 묻어나고 있다.[16] 특히 수갤에서는 워낙 자주 올라온 꾸준글이어서 금지 떡밥으로 지정되어 공지에 오르는 등 수갤러들이 얼마나 이 문제로 오랫동안 지겹도록 시달리고 있는지 알 수 있다.
한국에서도 유명한 수학 귀신에서도 주인공 로베르트가 $$0.999\ldots$$에는 마지막 $$9$$가 없으니 $$1$$이 아니라는 의문을 던지고 테플로탁슬을 매우 빡치게 한다. 책의 77쪽 참고.
수학과 전혀 상관없을 법하지만 격투만화인 그래플러 바키의 등장인물 오로치 돗포의 회상씬에서 등장하기도 했다. 0.999...의 마지막 9를 찾기 위해 노력했지만 결국엔 0.999...=1임을 인정한다.
월드 오브 워크래프트의 공격대 던전 울두아르에서 '고대 기록관 자료 원반' 퀘스트를 수행하면 알갈론이 아제로스를 분석한 후 신호 오메가를 보낼 확률은 99.99…%의 순환소수라고 한다
2011년 3월 20일 한국산업인력공단 주최로 실시된 사회조사분석사 자격증 시험에 응시해 59.999…점을 득점했으나 합격기준점수인 60점에 미달돼 불합격처리됐던 사건이 있다.#
이와 관련된 썰이 하나 있는데 케이크를 3등분하면 0.333…인데 그럼 남은 0.000…1은 어디있냐고 묻자 칼에 붙어있다는 드립을 친다.

6.1. 무한수

무한소수와 비슷하게, 단지 소수점 아래로 가는 것이 아닌 위의 자리로 무한대로 같은 순자가 반복되는 십진수, 예컨대 $$\cdots 333333333333333333=\dot{3}3$$을 생각해 보자. 이는 무한등비급수 $$3+30+300+3000+\cdots$$과 같은데, 급수가 무한대로 발산하기 때문에 어떠한 값을 가지지 못한다. 그렇지만 이 값이 어떤 실수 $$x$$라고 가정해 보자. 그렇다면 $$x-10x=\cdots 3333333-\cdots3333330=3$$이므로, $$x=-\dfrac{1}{3}=-0.\dot{3}=-0.333333333\cdots$$이다. 즉, 무한등비급수 $$3+30+300+3000+\cdots$$의 값이 정의된다면 그것은 $$-\dfrac{1}{3}$$이다.
그렇다면 ...9999인 경우는 어떻게 될까? 마찬가지로, 이 값은 -1이 된다. ...9999에 1을 더해 보자. 그러면 무한히 0이 반복되는 십진수가 나온다. 우리는 모든 자리수가 0인 수는 0뿐이라는 것을 이미 알고 있다. 즉 소수점을 기준으로, 소수점 뒤로 9를 무한히 쓰면 1이, 소수점 앞으로 9를 무한히 쓰면 -1이 되는 일이 일어나는 것이다. 무한소수를 직관으로 이해하는 사람은 0.9999...=1을 받아들일 수는 있을지언정, ...9999=-1이라고 받아들일 수는 없을 것이다. 심지어는 0.9999...=1이라고 철썩같이 믿고 이해하던 사람도 말이다. 이건 당연하다. 0.9999...는 하나의 값으로 정의되지만, ...9999는 값을 정의할 수 없기 때문이다. 위의 계산 과정은 그저 그 값을 정의할 수 있다고 억지로 가정한 뒤에 풀이한 것이다. 물론 수학적으로 의미가 전혀 없는 과정은 결코 아니다.
사실 생략되어 있을 뿐 우리가 십진수로 쓰는 모든 표현은 소수점이 끝나는 것처럼 보이는 자리 뒤에 0이 무한히 많이, 그리고 맨 앞자리수 앞에도 0이 무한히 많이 붙어 있는 형태로 쓸 수 있다는 것은 금방 이해할 수 있다. 무한수 및 무한소수는 이렇게 무한히 반복되는 형태로 인해 정보량이 제약된 어떠한 ''형태''를 유한한 정보량의 '''유리수'''로 대입하여 정의한 것에 불과하다. 즉, 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... 를 계속 하면 언젠가 1이 된다는 게 아니라, 1을 다른 방식으로 0.999...라고 표현하기로 약속했다고 이해하는 편이 무한소수의 정의 관점에서는 더 정확한 표현이다.

7. 관련 링크


8. 관련 문서


[1] 0.999...라는 표현은 이를 1과 같은 것으로 인정 하든 안하든 절대다수의 사람들이 소숫점 뒤로 9가 무한히, 즉 끝없이 이어진다는 것을 명확히 인식하므로 엄밀한 표현의 문제일 뿐 표기 자체가 문제될 것은 없다. 이러한 표기에 무한처럼 보이지만 끝에가서는 유한소수로 끝난다는 뜻을 가진 0.999...9 같은 것을 들이미는 것은 혼란만 가중시킬 뿐이다.[2] 다만 어쩔 수 없는 부분도 있는데 해석학이란 학문 자체가 수학의 근본중 하나인 만큼 작정하고 배우기는 고등학교 수준으로는 매우 어렵다. 이렇다보니 어쩔수없이 '''비교적''' 오류 없이 극한을 가르치면서도 결국 객관적으로 봤을때 오류가 있을수 밖에 없는 것이다.[3] $$x$$가 상계이고 $$a < x$$인 모든 $$a$$에 대해서 $$a$$가 상계가 아니라면 $$x$$는 상한이다.[4] 임의의 두 실수 $$a, b$$에 대해서는 $$a = b, a < b, a > b$$ 중 하나만 성립한다.[5] $$\lceil x \rceil$$은 천장함수, $$\lfloor x \rfloor$$은 바닥함수라고 하며, 각각의 정의는 다음과 같다.
$$\lfloor x\rfloor=\max\{n\in\mathbb Z\colon n\le x\}$$
$$\lceil x\rceil=\min\{n\in\mathbb Z\colon n\ge x\}$$
바닥함수는 흔히 말하는 가우스 기호와 같은 함수로, 소수점 아래를 버리는 함수이며, 천장함수는 반대로 소수점 아래를 정수로 올리는 함수다.[6] 유리수에서 실수를 구성할 때, 유리수 코시 수열을 이용하는 것 처럼 실수열을 이용하여 실수에서 초실수를 만들어 낼 수 있다.[7] 그러나 자유에는 책임이 뒤따르고, 이 경우에는 1≠ 0.999... 라면 0.999...는 도대체 뭔지 '''엄밀하게 정의해줄 의무'''가 뒤따른다.[8] ultrapower construction에 의한 방법에서 어떤 수열이 어떤 실수 r에 대응되려면, 적어도 그 수열의 무한개의 항이 r이여야 한다. 이 경우에는 소수n번째 이하의 자리에서 모두 0 (즉, 유한소수) 이 아닌 이상은 불가능하다.[9] 같은 논리로 $$\pi= 3.14\cdots$$ 라고하면 안되고, 수열 $$3,\:3.1,\:3.14,\cdots$$의 극한으로 나타내야만 한다. 물론 이 경우에는 나타낼 기호가 있어서 앞의 경우 보다는 문제가 적겠지만...[10] 1과 0.999...는 그냥 일반적인 실수의 십진법이고 우변이 초실수의 십진법이다. 소수점 이하의 수 중에서 '$$;$$'의 좌측에 있는 $$0\sim 9$$는 자연수 $$n$$에 대해 소수 $$n$$번째 자리의 수이고, '$$;$$'의 우측에 있는 $$0\sim 9$$는 자연수가 아닌 초자연수 $$H$$에 대해 소수 $$H$$번째 자리의 수이다. [11] 다시 한 번 강조하지만 다가가는 수 따위는 존재하지 않는다. 숫자 1이 1.0001도 0.9999도 아닌 정확한 1인 것처럼 $$0.999\cdots$$는 엄연히 고정된 수이고 그 값은 매우 정확히 1이다. 값이 고정된 "숫자"임에도 생김새 때문에 매우 많은 사람들이 '다가간다'고 착각하고 있다. 극한에서 다가간다는 표현을 쓰는것은, x값, 함수값 또는 수열의 항 등이 점점 어떤 값에 가까운 값을 갖게 된다는 의미이지, 특정한 숫자 자체가 움직인다는 뜻은 아니다. 게다가 다다가고 있었다면, 애초에 $$1-ε$$의 값으로 다가가고 있었다는 뜻이 된다.[12] 로지컬이 이렇게 주장한다.[13] 여기서 확인 가능. 수학과는 별책 8[14] 초등 6학년까지의 소수의 나눗셈에서는 유한자리까지만 계산하고 나머지는 근사값 처리하고, 무한한 자리수를 언급하는 것은 금지된다.[15] 그 자체로 단위가 정의된 값은 오차 없이 쓸 수 있다. 대표적인 예로 빛의 속도가 있다. 미터 값의 정의 자체가 빛의 속도에 따라 되어 있기 때문. 따라서 빛의 속도 299792458 m/s를 299792457.999... m/s라고 적는 것은 맞는 표현이다. 하지만 이건 정의된 값이지 측정된 값은 아니다.[16] 당장 이 문서의 역사 부분만 봐도 격렬한 수정전쟁이 일어난 것을 목격할 수 있을 것이다.

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