사차함수

사차함수의 개형은 크게 '''20가지'''가 있다. 서로 상하 대칭과 좌우 대칭이 될 수 있는 개형은 같은 것으로 본다면 근본적으로는 1, 2, (3, 4), (5, 6), (7, 8), (9, 10)의 총 여섯 가지의 개형이 있는 셈이다. 최고차항의 계수가 양수이면 $$+$$, 음수이면 $$-$$를 붙이기로 한다. 이 문서에서 그래프의 개형에 붙인 명칭은 설명의 편의를 위한 지극히 임의적인 것이지 공인되는 명칭이 아님을 일러둔다.

'''+'''
'''1+''' [image]	'''2+''' [image]	'''3+''' [image]	'''4+''' [image]	'''5+''' [image]
'''6+''' [image]	'''7+''' [image]	'''8+''' [image]	'''9+''' [image]	'''10+''' [image]
'''-'''
'''1-''' [image]	'''2-''' [image]	'''3-''' [image]	'''4-''' [image]	'''5-''' [image]
'''6-''' [image]	'''7-''' [image]	'''8-''' [image]	'''9-''' [image]	'''10-''' [image]

5.1. 1+

1+ 개형은 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 아래로 볼록하며 좌우 대칭(우함수)이다. 최고차항의 계수가 양수인 이차함수의 그래프와 전체적인 개형이 같다. 1+ 개형 사차함수 $$f(x)$$의 그래프가 $$x=a$$에 대하여 대칭이면, 단 하나의 극솟값 $$f(a)$$만을 갖고 극댓값은 갖지 않는다. 극솟값은 최솟값이다.

'''사차함수 $$y=f(x)$$의 그래프가 1+ 개형이 되기 위한 조건'''

1. 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.
⇔ $$f'(x)$$의 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.
2. 도함수가 일대일대응이다.
⇔ 도함수의 역함수가 존재한다.
⇔ 실수 전체의 집합에서 도함수의 최솟값, 최댓값, 극값이 존재하지 않는다.
⇔ 방정식 $$f''(x)=0$$이 서로 다른 두 실근을 갖지 않는다.(이계도함수가 $$\rm D\le 0$$이다.)
3. 도함수의 변곡점이 $$x$$축 위에 있다.

위 조건을 만족시키는 도함수는 삼차함수의 2번 개형과 3번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 1+ 개형인 사차함수의 도함수는 2번, 3번 개형이다.
도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.
[image]
왼쪽 도함수는 방정식 $$f'(x)=0$$이 삼중근 $$x=a$$를 갖는 반면 오른쪽 도함수는 $$x=a$$가 삼중근이 아닌 단일근이다. 이에 따라, 왼쪽 원시함수는 최솟값이 0인 경우에 한하여 방정식 $$f(x)=0$$이 사중근 $$x=a$$를 갖는 반면 오른쪽 원시함수는 $$x=a$$가 사중근이 아닌 그냥 중근이다. 그 이유는 다음과 같다.
먼저 왼쪽 도함수는 삼중근 $$x=a$$를 가지므로 $$f'(x)=k(x-a)^3$$ $$(k>0)$$이다. 이를 부정적분하면 $$f(x)=\displaystyle\frac{k}{4}(x-a)^4+ \rm C$$이다. 최솟값이 0인 경우란, 그래프를 보면 느낄 수 있듯이 다름 아닌 $$\rm C=0$$인 경우를 말한다. 그러면 방정식 $$\displaystyle\frac{k}{4}(x-a)^4=0$$은 사중근 $$x=a$$를 가질 수밖에 없다.
반면, 오른쪽 도함수는 단일근 $$x=a$$를 가지며 기함수인 삼차함수의 그래프를 $$x$$축 방향으로 $$a$$만큼 평행이동한 그래프를 갖는다. 기함수는 홀수 차수 항만을 가지므로 임의의 기함수인 삼차함수의 식은 $$g(x)=kx^3+lx$$ $$(k>0, l>0)$$[2]로 쓸 수 있다. 이를 $$x$$축 방향으로 $$a$$만큼 평행이동하면 이에 따라 $$f'(x)=k(x-a)^3+l(x-a)$$이다. 이를 부정적분하면 $$f(x)=\displaystyle\frac{k}{4}(x-a)^4+\frac{l}{2}(x-a)^2+\rm C$$이다. 최솟값이 0인 경우란, 그래프를 보면 느낄 수 있듯이 다름 아닌 $$\rm C=0$$인 경우를 말한다. 그러면 방정식 $$\displaystyle\frac{k}{4}(x-a)^4+\frac{l}{2}(x-a)^2=0$$을 얻을 수 있는데, 이는 $$(x-a)^2\{\displaystyle\frac{k}{4}(x-a)^2+\frac{l}{2}\}=0$$으로 인수분해된다. 여기에서 $$\displaystyle\frac{k}{4}(x-a)^2+\frac{l}{2}=0$$은 $$k>0, l>0$$이므로 그래프가 $$x$$축보다 위에 있게 되어 실근을 갖지 않는다. 따라서 방정식 $$(x-a)^2\{\displaystyle\frac{k}{4}(x-a)^2+\frac{l}{2}\}=0$$의 근은 중근 $$x=a$$뿐이다.

5.2. 1-

1- 개형은 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 위로 볼록하며 좌우 대칭(우함수)이다. 최고차항의 계수가 음수인 이차함수의 그래프와 전체적인 개형이 같다. 1- 개형 사차함수 $$f(x)$$의 그래프가 $$x=a$$에 대하여 대칭이면, 단 하나의 극댓값 $$f(a)$$만을 갖고 극솟값은 갖지 않는다. 극댓값은 최댓값이다.

'''사차함수 $$y=f(x)$$의 그래프가 1- 개형이 되기 위한 조건'''

1. 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.
⇔ $$f'(x)$$의 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.
2. 도함수가 일대일대응이다.
⇔ 도함수의 역함수가 존재한다.
⇔ 실수 전체의 집합에서 도함수의 최솟값, 최댓값, 극값이 존재하지 않는다.
⇔ 방정식 $$f''(x)=0$$이 서로 다른 두 실근을 갖지 않는다.(이계도함수가 $$\rm D\le 0$$이다.)
3. 도함수의 변곡점이 $$x$$축 위에 있다.

위 조건을 만족시키는 도함수는 5번 개형과 6번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 1- 개형인 사차함수의 도함수는 5번, 6번 개형이다.
도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.
[image]
왼쪽 도함수는 방정식 $$f'(x)=0$$이 삼중근 $$x=a$$를 갖는 반면 오른쪽 도함수는 $$x=a$$가 삼중근이 아닌 단일근이다. 이에 따라, 왼쪽 원시함수는 최솟값이 0인 경우에 한하여 방정식 $$f(x)=0$$이 사중근 $$x=a$$를 갖는 반면 오른쪽 원시함수는 $$x=a$$가 사중근이 아닌 그냥 중근이다. 그 이유는 바로 위 1+ 개형에서 설명했으므로 생략. 1+ 개형과 모양만 상하로 반대일 뿐이지 논리는 다 같은 것이다.

5.3. 2+

2+ 개형은 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 좌우 대칭(우함수)이다. 가운데에 극대점이 있으며 극대점의 좌하단과 우하단에 $$y$$좌표가 서로 같은 극소점이 하나씩 있다.

'''사차함수 $$y=f(x)$$의 그래프가 2+ 개형이 되기 위한 조건'''

1. 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.
⇔ $$f'(x)$$의 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.
2. 방정식 $$f'(x)=0$$이 '''서로 다른 세 실근''' $$\alpha, \beta, \gamma$$($$\alpha<\beta<\gamma$$)를 갖는다.
⇔ 방정식 $$f''(x)=0$$의 서로 다른 두 실근을 각각 $$a$$, $$b$$라고 하면 $$f'(a)f'(b)<0$$이다.
⇔ 도함수의 극댓값과 극솟값의 부호가 다르다.
3. $$\displaystyle \int_{\alpha}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=0$$
⇔ $$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x-\displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=0$$
⇔ $$\displaystyle\frac{\alpha+\gamma}{2}=\beta$$ ($$\alpha, \beta, \gamma$$가 등차수열을 이룬다.)

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.
[image]
먼저, 사차함수의 그래프가 극점을 세 개 가지려면 도함수 역시 $$x$$축과 '''세 번''' 만나야 한다. 그러러면 삼차함수의 특성상 위 그림처럼 극대점과 극소점 사이로 $$x$$축이 지나가는 모양새가 되어야 한다. 곧, 극댓값과 극솟값의 부호가 달라야 한다.
미적분의 기본정리에 의하여 $$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\beta)-f(\alpha), \displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\gamma)-f(\beta)$$이므로, 3번 조건이 만족된다면 $$\alpha$$부터 $$\beta$$까지 올라가는 정도 $$|f(\alpha)-f(\beta)|$$가 $$\beta$$부터 $$\gamma$$까지 내려가는 정도 $$|f(\beta)-f(\gamma)|$$와 같다고 할 수 있다. 그러면 2+ 개형이 완성된다.
그러려면 삼차함수의 성질에 따라 $$(\beta,0)$$이 $$f'(x)$$의 그래프의 변곡점이어야 한다. 여기에서 $$x$$축은 변곡점을 지나는 직선이므로, $$\alpha, \beta, \gamma$$는 등차수열을 이룰 수밖에 없다.
1번과 2번 조건만으로는 두 극소점의 $$y$$값이 같다는 보장이 없으며, 3번 조건이 사차함수의 그래프의 개형을 2+로 최종적으로 결정한다고 할 수 있다. 위 조건을 만족시키는 도함수는 1번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 2+ 개형인 사차함수의 도함수는 1번 개형이다.

5.4. 2-

2- 개형은 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 좌우 대칭(우함수)이다. 가운데에 극소점이 있으며 극소점의 좌상단과 우상단에 $$y$$좌표가 서로 같은 극대점이 하나씩 있다.

'''사차함수 $$y=f(x)$$의 그래프가 2- 개형이 되기 위한 조건'''

1. 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.
⇔ $$f'(x)$$의 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.
2. 방정식 $$f'(x)=0$$이 '''서로 다른 세 실근''' $$\alpha, \beta, \gamma$$($$\alpha<\beta<\gamma$$)를 갖는다.
⇔ 방정식 $$f''(x)=0$$의 서로 다른 두 실근을 각각 $$a$$, $$b$$라고 하면 $$f'(a)f'(b)<0$$이다.
⇔ 도함수의 극댓값과 극솟값의 부호가 다르다.
3. $$\displaystyle \int_{\alpha}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=0$$
⇔ $$\displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x-\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=0$$
⇔ $$\displaystyle\frac{\alpha+\gamma}{2}=\beta$$ ($$\alpha, \beta, \gamma$$가 등차수열을 이룬다.)

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.
[image]
먼저, 사차함수의 그래프가 극점을 세 개 가지려면 도함수 역시 $$x$$축과 '''세 번''' 만나야 한다. 그러러면 삼차함수의 특성상 위 그림처럼 극대점과 극소점 사이로 $$x$$축이 지나가는 모양새가 되어야 한다. 곧, 극댓값과 극솟값의 부호가 달라야 한다.
미적분의 기본정리에 의하여 $$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\beta)-f(\alpha), \displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\gamma)-f(\beta)$$이므로, 3번 조건이 만족된다면 $$\alpha$$부터 $$\beta$$까지 내려가는 정도 $$|f(\alpha)-f(\beta)|$$가 $$\beta$$부터 $$\gamma$$까지 올라가는 정도 $$|f(\beta)-f(\gamma)|$$와 같다고 할 수 있다. 그러면 2- 개형이 완성된다.
그러러면 삼차함수의 성질에 따라 $$(\beta,0)$$이 $$f'(x)$$의 그래프의 변곡점이어야 한다. 여기에서 $$x$$축은 변곡점을 지나는 직선이므로, $$\alpha, \beta, \gamma$$는 등차수열을 이룰 수밖에 없다.
1번과 2번 조건만으로는 두 극대점의 $$y$$값이 같다는 보장이 없으며, 3번 조건이 사차함수의 그래프의 개형을 2-로 최종적으로 결정한다고 할 수 있다. 위 조건을 만족시키는 도함수는 4번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 2- 개형인 사차함수의 도함수는 4번 개형이다.

5.5. 3+

3+ 개형은 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 두 개와 극댓값 한 개를 갖는다. 극대점의 $$x$$좌표가 극소점 두 개의 $$x$$좌표의 사이에 위치하며, 왼쪽의 극솟값이 오른쪽의 극솟값보다 크다. 오른쪽의 극솟값이 최솟값이다.

'''사차함수 $$y=f(x)$$의 그래프가 3+ 개형이 되기 위한 조건'''

1. 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.
⇔ $$f'(x)$$의 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.
2. 방정식 $$f'(x)=0$$이 '''서로 다른 세 실근''' $$\alpha, \beta, \gamma$$($$\alpha<\beta<\gamma$$)를 갖는다.
⇔ 방정식 $$f''(x)=0$$의 서로 다른 두 실근을 각각 $$a$$, $$b$$라고 하면 $$f'(a)f'(b)<0$$이다.
⇔ 도함수의 극댓값과 극솟값의 부호가 다르다.
3. $$\displaystyle \int_{\alpha}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x<0$$
⇔ $$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x-\displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x<0$$
⇔ $$\displaystyle\frac{\alpha+\gamma}{2}>\beta$$

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.
[image]
1번과 2번 조건만으로는 두 극소점의 $$y$$값이 다르다는 보장이 없으며, 3번 조건이 사차함수의 그래프의 개형을 3+로 최종적으로 결정한다고 할 수 있다. 위 조건을 만족시키는 도함수는 1번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 3+ 개형인 사차함수의 도함수는 1번 개형이다.

5.6. 3-

3- 개형은 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 극댓값 두 개와 극솟값 한 개를 갖는다. 극소점이 극대점 두 개의 사이에 위치하며, 왼쪽의 극댓값이 오른쪽의 극댓값보다 작다. 오른쪽의 극댓값이 최댓값이다.

'''사차함수 $$y=f(x)$$의 그래프가 3- 개형이 되기 위한 조건'''

1. 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.
⇔ $$f'(x)$$의 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.
2. 방정식 $$f'(x)=0$$이 '''서로 다른 세 실근''' $$\alpha, \beta, \gamma$$($$\alpha<\beta<\gamma$$)를 갖는다.
⇔ 방정식 $$f''(x)=0$$의 서로 다른 두 실근을 각각 $$a$$, $$b$$라고 하면 $$f'(a)f'(b)<0$$이다.
⇔ 도함수의 극댓값과 극솟값의 부호가 다르다.
3. $$\displaystyle \int_{\alpha}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x>0$$
⇔ $$\displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x-\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x>0$$
⇔ $$\displaystyle\frac{\alpha+\gamma}{2}>\beta$$

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.
[image]
미적분의 기본정리에 의하여 $$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\beta)-f(\alpha), \displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\gamma)-f(\beta)$$이므로, 3번 조건이 만족된다면 $$\alpha$$부터 $$\beta$$까지 내려가는 정도 $$|f(\alpha)-f(\beta)|$$가 $$\beta$$부터 $$\gamma$$까지 올라가는 정도 $$|f(\beta)-f(\gamma)|$$보다 작다고 할 수 있다. 그러면 3- 개형이 완성된다.
1번과 2번 조건만으로는 두 극소점의 $$y$$값이 다르다는 보장이 없으며, 3번 조건이 사차함수의 그래프의 개형을 3-로 최종적으로 결정한다고 할 수 있다. 위 조건을 만족시키는 도함수는 4번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 3- 개형인 사차함수의 도함수는 4번 개형이다.

5.7. 4+

4+ 개형은 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 두 개와 극댓값 한 개를 갖는다. 극대점의 $$x$$좌표가 극소점 두 개의 $$x$$좌표의 사이에 위치하며, 왼쪽의 극솟값이 오른쪽의 극솟값보다 작다. 왼쪽의 극솟값이 최솟값이다.

'''사차함수 $$y=f(x)$$의 그래프가 4+ 개형이 되기 위한 조건'''

1. 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.
⇔ $$f'(x)$$의 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.
2. 방정식 $$f'(x)=0$$이 '''서로 다른 세 실근''' $$\alpha, \beta, \gamma$$($$\alpha<\beta<\gamma$$)를 갖는다.
⇔ 방정식 $$f''(x)=0$$의 서로 다른 두 실근을 각각 $$a$$, $$b$$라고 하면 $$f'(a)f'(b)<0$$이다.
⇔ 도함수의 극댓값과 극솟값의 부호가 다르다.
3. $$\displaystyle \int_{\alpha}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x>0$$
⇔ $$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x-\displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x>0$$
⇔ $$\displaystyle\frac{\alpha+\gamma}{2}<\beta$$

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.
[image]
미적분의 기본정리에 의하여 $$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\beta)-f(\alpha), \displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\gamma)-f(\beta)$$이므로, 3번 조건이 만족된다면 $$\alpha$$부터 $$\beta$$까지 올라가는 정도 $$|f(\alpha)-f(\beta)|$$가 $$\beta$$부터 $$\gamma$$까지 내려가는 정도 $$|f(\beta)-f(\gamma)|$$보다 작다고 할 수 있다. 그러면 4+ 개형이 완성된다.
위 조건을 만족시키는 도함수는 1번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 4+ 개형인 사차함수의 도함수는 1번 개형이다.

5.8. 4-

4- 개형은 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 극댓값 두 개와 극솟값 한 개를 갖는다. 극소점의 $$x$$좌표가 극대점 두 개의 $$x$$좌표의 사이에 위치하며, 왼쪽의 극댓값이 오른쪽의 극댓값보다 크다. 왼쪽의 극댓값이 최댓값이다.

'''사차함수 $$y=f(x)$$의 그래프가 4- 개형이 되기 위한 조건'''

1. 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.
⇔ $$f'(x)$$의 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.
2. 방정식 $$f'(x)=0$$이 '''서로 다른 세 실근''' $$\alpha, \beta, \gamma$$($$\alpha<\beta<\gamma$$)를 갖는다.
⇔ 방정식 $$f''(x)=0$$의 서로 다른 두 실근을 각각 $$a$$, $$b$$라고 하면 $$f'(a)f'(b)<0$$이다.
⇔ 도함수의 극댓값과 극솟값의 부호가 다르다.
3. $$\displaystyle \int_{\alpha}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x>0$$
⇔ $$\displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x-\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x>0$$
⇔ $$\displaystyle\frac{\alpha+\gamma}{2}>\beta$$

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.
[image]
미적분의 기본정리에 의하여 $$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\beta)-f(\alpha), \displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\gamma)-f(\beta)$$이므로, 3번 조건이 만족된다면 $$\alpha$$부터 $$\beta$$까지 내려가는 정도 $$|f(\alpha)-f(\beta)|$$가 $$\beta$$부터 $$\gamma$$까지 올라가는 정도 $$|f(\beta)-f(\gamma)|$$보다 작다고 할 수 있다. 그러면 4- 개형이 완성된다.
위 조건을 만족시키는 도함수는 4번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 4- 개형인 사차함수의 도함수는 4번 개형이다.

5.9. 5+

5+ 개형은 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 하나만을 갖는데 이는 최솟값이다. 극소점의 좌상단에는 접선의 기울기가 0이지만 극점이 아닌 점이 하나 있다.

'''사차함수 $$y=f(x)$$의 그래프가 5+ 개형이 되기 위한 조건'''

1. 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.
⇔ $$f'(x)$$의 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.
2. 방정식 $$f'(x)=0$$이 '''중근 $$\boldsymbol {x=\alpha}$$와 단일근 $$\boldsymbol {x=\beta}$$'''($$\alpha<\beta$$)를 갖는다.

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.
[image]
위 조건을 만족시키는 도함수는 1번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 5+ 개형인 사차함수의 도함수는 1번 개형이다.

5.10. 5-

5- 개형은 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 극댓값 하나만을 갖는데 이는 최댓값이다. 극대점의 좌하단에는 접선의 기울기가 0이지만 극점이 아닌 점이 하나 있다.

'''사차함수 $$y=f(x)$$의 그래프가 5- 개형이 되기 위한 조건'''

1. 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.
⇔ $$f'(x)$$의 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.
2. 방정식 $$f'(x)=0$$이 '''중근 $$\boldsymbol {x=\alpha}$$와 단일근 $$\boldsymbol {x=\beta}$$'''($$\alpha<\beta$$)를 갖는다.

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.
[image]
위 조건을 만족시키는 도함수는 4번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 5- 개형인 사차함수의 도함수는 4번 개형이다.

5.11. 6+

6+ 개형은 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 하나만을 갖는데 이는 최솟값이다. 극소점의 우상단에는 접선의 기울기가 0이지만 극점이 아닌 점이 하나 있다.

'''사차함수 $$y=f(x)$$의 그래프가 6+ 개형이 되기 위한 조건'''

1. 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.
⇔ $$f'(x)$$의 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.
2. 방정식 $$f'(x)=0$$이 '''단일근 $$\boldsymbol {x=\alpha}$$와 중근 $$\boldsymbol {x=\beta}$$'''($$\alpha<\beta$$)를 갖는다.

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.
[image]
위 조건을 만족시키는 도함수는 1번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 6+ 개형인 사차함수의 도함수는 1번 개형이다.

5.12. 6-

6- 개형은 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 극댓값 하나만을 갖는데 이는 최댓값이다. 극대점의 우하단에는 접선의 기울기가 0이지만 극점이 아닌 점이 하나 있다.

'''사차함수 $$y=f(x)$$의 그래프가 6- 개형이 되기 위한 조건'''

1. 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.
⇔ $$f'(x)$$의 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.
2. 방정식 $$f'(x)=0$$이 '''단일근 $$\boldsymbol {x=\alpha}$$와 중근 $$\boldsymbol {x=\beta}$$'''($$\alpha<\beta$$)를 갖는다.

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.
[image]
위 조건을 만족시키는 도함수는 4번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 6- 개형인 사차함수의 도함수는 4번 개형이다.

5.13. 7+

7+ 개형은 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 하나만을 갖는데 이는 최솟값이다. 5+ 개형과 비슷하지만 5+ 개형과는 달리 접선의 기울기가 0이지만 극점이 아닌 점이 없다.

'''사차함수 $$y=f(x)$$의 그래프가 7+ 개형이 되기 위한 조건'''

1. 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.
⇔ $$f'(x)$$의 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.
2. 도함수의 극댓값이 음수이다.

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.
[image]
위 조건을 만족시키는 도함수는 1번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 7+ 개형인 사차함수의 도함수는 1번 개형이다.

5.14. 7-

7- 개형은 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 하나만을 갖는데 이는 최솟값이다. 5- 개형과 비슷하지만 5- 개형과는 달리 접선의 기울기가 0인 점이 1개이다

'''사차함수 $$y=f(x)$$의 그래프가 7- 개형이 되기 위한 조건'''

1. 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.
⇔ $$f'(x)$$의 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.
2. 도함수의 극솟값이 양수이다.

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.
[image]
위 조건을 만족시키는 도함수는 4번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 7- 개형인 사차함수의 도함수는 4번 개형이다.

5.15. 8+

8+ 개형은 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 하나만을 갖는데 이는 최솟값이다. 6+ 개형과 비슷하지만 6+ 개형과는 달리 접선의 기울기가 0이지만 극점이 아닌 점이 없다.

'''사차함수 $$y=f(x)$$의 그래프가 8+ 개형이 되기 위한 조건'''

1. 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.
⇔ $$f'(x)$$의 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.
2. 도함수의 극솟값이 양수이다.

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.
[image]
위 조건을 만족시키는 도함수는 1번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 8+ 개형인 사차함수의 도함수는 1번 개형이다.

5.16. 8-

8- 개형은 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 극댓값 하나만을 갖는데 이는 최댓값이다. 6- 개형과 비슷하지만 6- 개형과는 달리 접선의 기울기가 0이지만 극점이 아닌 점이 없다.

'''사차함수 $$y=f(x)$$의 그래프가 8+ 개형이 되기 위한 조건'''

1. 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.
⇔ $$f'(x)$$의 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.
2. 도함수의 극댓값이 음수이다.

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.
[image]
위 조건을 만족시키는 도함수는 4번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 8- 개형인 사차함수의 도함수는 4번 개형이다.

5.17. 9+

9+ 개형은 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 하나만을 갖는데 이는 최솟값이다. 1+ 개형과 비슷하지만 1+ 개형과는 달리 좌우 대칭이 아니며, 극소점을 중심으로 오른쪽보다 왼쪽이 처음부터 더 급하게 올라가는 모양새이다.

'''사차함수 $$y=f(x)$$의 그래프가 9+ 개형이 되기 위한 조건'''

1. 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.
⇔ $$f'(x)$$의 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.
2. 도함수가 일대일대응이다.
⇔ 도함수의 역함수가 존재한다.
⇔ 실수 전체의 집합에서 도함수의 최솟값, 최댓값, 극값이 존재하지 않는다.
⇔ 방정식 $$f''(x)=0$$이 서로 다른 두 실근을 갖지 않는다.(이계도함수가 $$\rm D\le 0$$이다.)
3. 도함수의 변곡점의 $$y$$좌표가 양수이다.

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.
[image]
위 조건을 만족시키는 도함수는 5번 개형, 6번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 9+ 개형인 사차함수의 도함수는 5번, 6번 개형이다.

5.18. 9-

9- 개형은 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 극댓값 하나만을 갖는데 이는 최댓값이다. 1- 개형과 비슷하지만 1- 개형과는 달리 좌우 대칭이 아니며, 극소점을 중심으로 오른쪽보다 왼쪽이 처음부터 더 급하게 내려가는 모양새이다.

'''사차함수 $$y=f(x)$$의 그래프가 9- 개형이 되기 위한 조건'''

1. 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.
⇔ $$f'(x)$$의 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.
2. 도함수가 일대일대응이다.
⇔ 도함수의 역함수가 존재한다.
⇔ 실수 전체의 집합에서 도함수의 최솟값, 최댓값, 극값이 존재하지 않는다.
⇔ 방정식 $$f''(x)=0$$이 서로 다른 두 실근을 갖지 않는다.(이계도함수가 $$\rm D\le 0$$이다.)
3. 도함수의 변곡점의 $$y$$좌표가 음수이다.

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.
[image]
위 조건을 만족시키는 도함수는 5번 개형, 6번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 9- 개형인 사차함수의 도함수는 5번, 6번 개형이다.

5.19. 10+

10+ 개형은 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 하나만을 갖는데 이는 최솟값이다. 1+ 개형과 비슷하지만 1+ 개형과는 달리 좌우 대칭이 아니며, 극소점을 중심으로 왼쪽보다 오른쪽이 처음부터 더 급하게 올라가는 모양새이다.

'''사차함수 $$y=f(x)$$의 그래프가 10+ 개형이 되기 위한 조건'''

1. 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.
⇔ $$f'(x)$$의 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.
2. 도함수가 일대일대응이다.
⇔ 도함수의 역함수가 존재한다.
⇔ 실수 전체의 집합에서 도함수의 최솟값, 최댓값, 극값이 존재하지 않는다.
⇔ 방정식 $$f''(x)=0$$이 서로 다른 두 실근을 갖지 않는다.(이계도함수가 $$\rm D\le 0$$이다.)
3. 도함수의 변곡점의 $$y$$좌표가 음수이다.

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.
[image]
위 조건을 만족시키는 도함수는 2번 개형, 3번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 10+ 개형인 사차함수의 도함수는 2번, 3번 개형이다.

5.20. 10-

10- 개형은 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 극댓값 하나만을 갖는데 이는 최댓값이다. 1- 개형과 비슷하지만 1- 개형과는 달리 좌우 대칭이 아니며, 극소점을 중심으로 왼쪽보다 오른쪽이 처음부터 더 급하게 내려가는 모양새이다.

'''사차함수 $$y=f(x)$$의 그래프가 10- 개형이 되기 위한 조건'''

1. 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.
⇔ $$f'(x)$$의 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.
2. 도함수가 일대일대응이다.
⇔ 도함수의 역함수가 존재한다.
⇔ 실수 전체의 집합에서 도함수의 최솟값, 최댓값, 극값이 존재하지 않는다.
⇔ 방정식 $$f''(x)=0$$이 서로 다른 두 실근을 갖지 않는다.(이계도함수가 $$\rm D\le 0$$이다.)
3. 도함수의 변곡점의 $$y$$좌표가 양수이다.

도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자.
[image]
위 조건을 만족시키는 도함수는 5번 개형, 6번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 10- 개형인 사차함수의 도함수는 5번, 6번 개형이다.

5.21. 특정한 식의 그래프의 개형

5.21.1. f(x)=k(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) (a≠b≠c≠d)

[image]
가장 기본이다. 사차함수 $$f(x)$$의 그래프가 $$x$$축 위의 점 $$(a,0)$$, $$(b,0)$$, $$(c,0)$$, $$(d,0)$$에서 $$x$$축과 만나면 사차방정식 $$f(x)=0$$이 서로 다른 네 실근 $$x=a, x=b, x=c, x=d$$를 가지므로 함수식은 $$y=k(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)$$이다.

5.21.2. f(x)=k(x-a)²(x-b)(x-c) (a<b<c)

[image]
사차함수 $$f(x)$$의 그래프가 $$x$$축 위의 점 $$(a,0)$$, $$(b,0)$$, $$(c,0)$$에서 $$x$$축과 만나되 $$x=a$$에서 $$f(x)$$가 $$x$$축에 접하면 사차방정식 $$f(x)=0$$이 중근 $$x=a$$와 단일근 $$x=b, x=c$$를 가지므로 함수식은 $$f(x)=k(x-a)^2(x-b)(x-c)$$이다.

5.21.3. f(x)=k(x-a)(x-b)²(x-c) (a<b<c)

[image]
사차함수 $$f(x)$$의 그래프가 $$x$$축 위의 점 $$(a,0)$$, $$(b,0)$$, $$(c,0)$$에서 $$x$$축과 만나되 $$x=b$$에서 $$f(x)$$가 $$x$$축에 접하면 사차방정식 $$f(x)=0$$이 중근 $$x=b$$와 단일근 $$x=a, x=c$$를 가지므로 함수식은 $$f(x)=k(x-a)(x-b)^2(x-c)$$이다.

5.21.4. f(x)=k(x-a)(x-b)(x-c)² (a<b<c)

[image]
사차함수 $$f(x)$$의 그래프가 $$x$$축 위의 점 $$(a,0)$$, $$(b,0)$$, $$(c,0)$$에서 $$x$$축과 만나되 $$x=c$$에서 $$f(x)$$가 $$x$$축에 접하면 사차방정식 $$f(x)=0$$이 중근 $$x=c$$와 단일근 $$x=a, x=b$$를 가지므로 함수식은 $$f(x)=k(x-a)(x-b)(x-c)^2$$이다.

5.21.5. f(x)=k(x-a)^2(x-b)^2 (a≠b)

[image]
사차함수 $$f(x)$$의 그래프가 $$x$$축 위의 점 $$(a,0)$$, $$(b,0)$$에서 $$x$$축과 만나되 $$x=c$$에서 $$f(x)$$가 $$x$$축에 접하면 사차방정식 $$f(x)=0$$이 중근 $$x=c$$와 단일근 $$x=a, x=b$$를 가지므로 함수식은 $$f(x)=k(x-a)(x-b)(x-c)^2$$이다.

5.21.6. f(x)=k(x-a)^3(x-b) (a<b)

[image]
사차함수 $$f(x)$$의 그래프가 $$x$$축 위의 점 $$(a,0)$$, $$(b,0)$$에서 $$x$$축과 만나되 둘 중에서 $$(a,0)$$에서만의 접선의 기울기가 0이 되면 사차방정식 $$f(x)=0$$이 삼중근 $$x=a$$와 단일근 $$x=b$$를 가지므로 함수식은 $$f(x)=k(x-a)^3(x-b)$$이다.

5.21.7. f(x)=k(x-a)(x-b)^3 (a<b)

[image]
사차함수 $$f(x)$$의 그래프가 $$x$$축 위의 점 $$(a,0)$$, $$(b,0)$$에서 $$x$$축과 만나되 둘 중에서 $$(a,0)$$에서만의 접선의 기울기가 0이 되면 사차방정식 $$f(x)=0$$이 삼중근 $$x=a$$와 단일근 $$x=b$$를 가지므로 함수식은 $$f(x)=k(x-a)^3(x-b)$$이다.

5.21.8. f(x)=k(x-a)⁴

[image]
사차방정식 $$f(x)=0$$이 삼중근 $$x=a$$를 가지려면 사차함수 $$f(x)$$의 그래프가 $$x$$축 위의 점 $$(a,0)$$에서만 $$x$$축과 만나되 $$x$$축에 접해야 하므로 함수식은 $$f(x)=k(x-a)^4$$이다.

5.21.9. f(x)=ax⁴+bx²+c

[image]
$$f(x)=ax^4+bx^2+c$$는 짝수 차수 항과 상수항만을 가지므로 $$y$$축에 대하여 좌우 대칭('''우함수''')이다.

6. 심화

6.1. 변곡점

고등학교 수준에서 조악하게 설명하자면, 변곡점은 도함수의 증감 여부가 바뀌는 점이라고 할 수 있다. 좀 더 자세히 말하면 이계도함수의 함숫값이 0이 되면서 그 점과 충분히 가까운 좌우의 점의 $$y$$좌표의 부호가 반대여야 한다.
삼차함수에도 변곡점이 있지만, 개형에 관계없이 삼차함수의 정가운데에 변곡점이 한 개가 있으므로 간단하다. 사차함수는 변곡점의 개수와 위치를 볼 때 삼차함수에 비해 현저히 복잡하다.
+ 개형만을 설명하고 - 개형에 대한 설명은 생략한다. - 개형은 + 개형과 모양만 상하로 반대일 뿐이지 어차피 다 같은 것이다.

6.1.1. 1+

앞서 살펴 보았듯이 1+ 개형의 사차함수의 도함수는 2번 개형 또는 3번 개형의 삼차함수이다. 2번 개형과 3번 개형 모두 증감 여부가 바뀌지 않는 일대일대응이므로, '''변곡점이 존재하지 않는다.'''
[image]

6.1.2. 2+

앞서 살펴 보았듯이 2+ 개형의 사차함수의 도함수는 1번 개형의 삼차함수이다. 1번 개형의 삼차함수는 함수의 증감 여부가 두 번 바뀌므로 이 순간의 $$x$$좌표는 그대로 사차함수의 변곡점의 $$x$$좌표가 되며, 변곡점은 두 개이다.
[image]

6.1.3. 3+

앞서 살펴 보았듯이 3+ 개형의 사차함수의 도함수는 1번 개형의 삼차함수이다. 1번 개형의 삼차함수는 함수의 증감 여부가 두 번 바뀌므로 이 순간의 $$x$$좌표는 그대로 사차함수의 변곡점의 $$x$$좌표가 되며, 변곡점은 두 개이다.
[image]

6.1.4. 4+

앞서 살펴 보았듯이 4+ 개형의 사차함수의 도함수는 1번 개형의 삼차함수이다. 1번 개형의 삼차함수는 함수의 증감 여부가 두 번 바뀌므로 이 순간의 $$x$$좌표는 그대로 사차함수의 변곡점의 $$x$$좌표가 되며, 변곡점은 두 개이다.
[image]

6.1.5. 5+

앞서 살펴 보았듯이 5+ 개형의 사차함수의 도함수는 1번 개형의 삼차함수이다. 1번 개형의 삼차함수는 함수의 증감 여부가 두 번 바뀌므로 이 순간의 $$x$$좌표는 그대로 사차함수의 변곡점의 $$x$$좌표가 되며, 변곡점은 두 개이다.
[image]

6.1.6. 6+

앞서 살펴 보았듯이 6+ 개형의 사차함수의 도함수는 1번 개형의 삼차함수이다. 1번 개형의 삼차함수는 함수의 증감 여부가 두 번 바뀌므로 이 순간의 $$x$$좌표는 그대로 사차함수의 변곡점의 $$x$$좌표가 되며, 변곡점은 두 개이다.
[image]

6.1.7. 7+

앞서 살펴 보았듯이 7+ 개형의 사차함수의 도함수는 1번 개형의 삼차함수이다. 1번 개형의 삼차함수는 함수의 증감 여부가 두 번 바뀌므로 이 순간의 $$x$$좌표는 그대로 사차함수의 변곡점의 $$x$$좌표가 되며, 변곡점은 두 개이다.
[image]

6.1.8. 8+

앞서 살펴 보았듯이 8+ 개형의 사차함수의 도함수는 1번 개형의 삼차함수이다. 1번 개형의 삼차함수는 함수의 증감 여부가 두 번 바뀌므로 이 순간의 $$x$$좌표는 그대로 사차함수의 변곡점의 $$x$$좌표가 되며, 변곡점은 두 개이다.
[image]

6.1.9. 9+

앞서 살펴 보았듯이 9+ 개형의 사차함수의 도함수는 2번 개형 또는 3번 개형의 삼차함수이다. 2번 개형과 3번 개형 모두 증감 여부가 바뀌지 않는 일대일대응이므로, '''변곡점이 존재하지 않는다.'''
[image]

6.1.10. 10+

앞서 살펴 보았듯이 10+ 개형의 사차함수의 도함수는 2번 개형 또는 3번 개형의 삼차함수이다. 2번 개형과 3번 개형 모두 증감 여부가 바뀌지 않는 일대일대응이므로, '''변곡점이 존재하지 않는다.'''
[image]

6.2. 복소평면에서

복소평면에서는 사각형을 그린다.

7. 각종 공식

어떤 함수가 사차함수임(일 수 있음)을 알려주는 단서, 사차함수의 그래프의 거리, 사차함수의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이, 그래프 속 길이와 넓이의 관계 등 각종 공식은 다항함수/추론 및 공식 참고.

[1] 고등학교에서는 $$C$$로 쓰는데, $$\textsf{const.}$$나 $$C$$나 상수를 뜻하는 영단어 constant에서 온 것이다.[2] $$l>0$$이어야 $$g'(x)$$가 $$\rm D<0$$이 되어 $$g(x)$$의 그래프의 개형이 위 그래프의 오른쪽 도함수와 같이 된다. $$l=0$$이면 $$\rm D=0$$이 되고 $$l<0$$이면 $$D>0$$이 되어, $$g(x)$$의 그래프의 개형이 위 그래프의 오른쪽 도함수와 같이 될 수 없다.