삼차함수

삼차함수의 그래프의 개형은 아래와 같이 크게 여섯 가지가 있다. 다만 개형의 이름은 공인되는 명칭이 아닌, 설명의 편의를 위해 붙인 것이다.
[image]
개형 ①과 개형 ④는 증가할 때와 감소할 때의 모양이 다르다. 증가할 때와 감소할 때의 그래프 모양이 같은 사인 곡선은 모양이 규칙적이지만 삼차함수의 그래프는 그런 식으로 그려서는 안 된다. 다만, 현 교육과정에 세세한 지침은 없기 때문에 학교 시험에서 그런 식으로 그렸다고 해서 불이익은 받지 않을 것이다.
개형 ②와 개형 ③, 개형 ⑤과 개형 ⑥은 얼핏 같은 개형으로 보이지만 자세히 보면 변곡점에서의 접선의 기울기가 다르다. 개형 ②와 개형 ⑤는 기울기가 0, 개형 ③은 양수, 개형 ⑥은 음수이다.
한편, 최고차수가 홀수이므로 짝수 차수 항(상수항 포함)이 없는 경우 원점 대칭이다.
다음은 각 개형에 해당하는 그래프의 예시이다.
개형 ①의 예: [math(y=x(x-1)(x-2))]
개형 ②의 예: [math(y=x^3)]
개형 ③의 예: [math(y=x(x^2+1))]
개형 ④의 예: [math(y=-x(x-1)(x-2))]
개형 ⑤의 예: [math(y=-x^3)]
개형 ⑥의 예: [math(y=-x(x^2+1))]

4.1.1. 개형 ①

개형 ①은 좌하와 우상으로 한없이 뻗어나가면서 위로 볼록한 부분과 아래로 볼록한 부분이 모두 나타난다. 변곡점에서의 접선의 기울기가 음수이다. 왼쪽부터 '''급증, 완감, 급증'''한다. 다시 말해 감소하는 구간에서의 접선의 기울기의 절댓값은 증가하는 구간에서의 접선의 기울기의 절댓값보다 '''전반적으로''' 작다.
삼차함수 $${y=f(x)}$$의 그래프가 개형 ①이 되기 위한 조건은 아래와 같다.

$$f(x)$$의 최고차항의 계수가 양수이다.

⇔ $$f'(x)$$의 최고차항의 계수가 양수이다.
⇔ $$y=f'(x)$$의 그래프가 아래로 볼록하다.

방정식 $$f'(x)=0$$이 서로 다른 두 실근을 갖는다.

⇔ 방정식 $$f'(x)=0$$에 대한 판별식이 0보다 크다.
⇔ $$y=f'(x)$$의 그래프와 $$x$$축의 교점이 두 개이다.

[image]

4.1.2. 개형 ②

개형 ②는 좌하와 우상으로 한없이 뻗어나가면서 위로 볼록한 부분과 아래로 볼록한 부분이 모두 나타나지 않는다. 변곡점에서의 접선의 기울기가 0이다. 왼쪽부터 '''급증, 완증, 급증'''한다.
삼차함수 $${y=f(x)}$$의 그래프가 개형 ②가 되기 위한 조건은 아래와 같다.

$$f(x)$$의 최고차항의 계수가 양수이다.

⇔ $$f'(x)$$의 최고차항의 계수가 양수이다.
⇔ $$y=f'(x)$$의 그래프가 아래로 볼록하다.

방정식 $$f'(x)=0$$이 중근을 갖는다.

⇔ 방정식 $$f'(x)=0$$에 대한 판별식이 0이다.
⇔ $$y=f'(x)$$의 그래프와 $$x$$축의 교점이 한 개이다.

[image]

4.1.3. 개형 ③

개형 ③은 좌하와 우상으로 한없이 뻗어나가면서 위로 볼록한 부분과 아래로 볼록한 부분이 모두 나타나지 않는다. 변곡점에서의 접선의 기울기가 양수이다. 왼쪽부터 '''급증, 완증, 급증'''한다.
삼차함수 $${y=f(x)}$$의 그래프가 개형 ③이 되기 위한 조건은 아래와 같다.

$$f(x)$$의 최고차항의 계수가 양수이다.

⇔ $$f'(x)$$의 최고차항의 계수가 양수이다.
⇔ $$y=f'(x)$$의 그래프가 아래로 볼록하다.

방정식 $$f'(x)=0$$이 두 실근을 갖지 않는다.

⇔ 방정식 $$f'(x)=0$$에 대한 판별식이 0보다 작다.
⇔ $$y=f'(x)$$의 그래프와 $$x$$축의 교점이 없다.

[image]

4.1.4. 개형 ④

개형 ④은 좌상과 우하로 한없이 뻗어나가면서 위로 볼록한 부분과 아래로 볼록한 부분이 모두 나타난다. 변곡점에서의 접선의 기울기가 양수이다. 왼쪽부터 '''급감, 완증, 급감'''한다. 다시 말해 증가하는 구간에서의 접선의 기울기의 절댓값은 감소하는 구간에서의 접선의 기울기의 절댓값보다 '''전반적으로''' 작다. 따라서 증가할 때와 감소할 때의 그래프 모양이 다르다.
삼차함수 $${y=f(x)}$$의 그래프가 개형 ④가 되기 위한 조건은 아래와 같다.

$$f(x)$$의 최고차항의 계수가 음수이다.

⇔ $$f'(x)$$의 최고차항의 계수가 음수이다.
⇔ $$y=f'(x)$$의 그래프가 위로 볼록하다.

방정식 $$f'(x)=0$$이 서로 다른 두 실근을 갖는다.

⇔ 방정식 $$f'(x)=0$$에 대한 판별식이 0보다 크다.
⇔ $$y=f'(x)$$의 그래프와 $$x$$축의 교점이 두 개이다.

[image]

4.1.5. 개형 ⑤

개형 ⑤은 좌상과 우하로 한없이 뻗어나가면서 위로 볼록한 부분과 아래로 볼록한 부분이 모두 나타나지 않는다. 변곡점에서의 접선의 기울기가 [math(0)]이다. 왼쪽부터 '''급감, 완감, 급감'''한다.
삼차함수 $${y=f(x)}$$의 그래프가 개형 ⑤가 되기 위한 조건은 아래와 같다.

$$f(x)$$의 최고차항의 계수가 음수이다.

⇔ $$f'(x)$$의 최고차항의 계수가 음수이다.
⇔ $$y=f'(x)$$의 그래프가 위로 볼록하다.

방정식 $$f'(x)=0$$이 중근을 갖는다.

⇔ 방정식 $$f'(x)=0$$에 대한 판별식이 0이다.
⇔ $$y=f'(x)$$의 그래프와 $$x$$축의 교점이 한 개이다.

[image]

4.1.6. 개형 ⑥

개형 ⑥은 좌상과 우하로 한없이 뻗어나가면서 위로 볼록한 부분과 아래로 볼록한 부분이 모두 나타나지 않는다. 변곡점에서의 접선의 기울기가 음수이다. 왼쪽부터 '''급감, 완감, 급감'''한다.
삼차함수 $${y=f(x)}$$의 그래프가 개형 ⑥이 되기 위한 조건은 아래와 같다.

$$f(x)$$의 최고차항의 계수가 음수이다.

⇔ $$f'(x)$$의 최고차항의 계수가 음수이다.
⇔ $$y=f'(x)$$의 그래프가 위로 볼록하다.

방정식 $$f'(x)=0$$이 두 실근을 갖지 않는다.

⇔ 방정식 $$f'(x)=0$$에 대한 판별식이 0보다 작다.
⇔ $$y=f'(x)$$의 그래프와 $$x$$축의 교점이 없다.

[image]

4.1.7. 총정리

위에서 밝힌 내용을 정리하면 아래와 같다.

	도함수에 대한 방정식의 판별식이 '''0보다 크고''', 도함수의 그래프가 $$x$$축과 '''두 번 만남'''	도함수에 대한 방정식의 판별식이 '''0'''이고, 도함수의 그래프가 $$x$$축과 '''한 번 만남(접함)'''	도함수에 대한 방정식의 판별식이 '''0보다 작고''', 도함수의 그래프가 $$x$$축과 '''만나지 않음'''
* 역도함수와 도함수의 최고차항의 계수가 '''양수''' * 도함수의 그래프가 '''아래로 볼록''' * '''좌하와 우상'''으로 한없이 뻗어나감	[image] (개형 ①)	[image] (개형 ②)	[image] (개형 ③)
* 역도함수와 도함수의 최고차항의 계수가 '''음수''' * 도함수의 그래프가 '''위로 볼록''' * '''좌상과 우하'''로 한없이 뻗어나감	[image] (개형 ④)	[image] (개형 ⑤)	[image] (개형 ⑥)

4.2. 특정한 식의 그래프

단, $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$k$$는 상수이다.
'''[1] $$\boldsymbol{f(x)=k(x-a)(x-b)(x-c) \,\, (a \neq b \neq c)}$$'''
[image]
삼차함수 $$f(x)$$의 그래프가 $$x$$축 위의 점 $$(a,\,0)$$, $$(b,\,0)$$, $$(c,\,0)$$에서 $$x$$축과 만나면 삼차방정식 $$f(x)=0$$이 서로 다른 세 실근 $$a$$, $$b$$, $$c$$를 가지므로 함수식은 $$y=k(x-a)(x-b)(x-c)$$이다.
'''[2] $$\boldsymbol{f(x)=k(x-a)^2(x-b) \,\, (a<b)}$$'''
[image]
삼차함수 $$f(x)$$의 그래프가 $$x$$축 위의 점 $$(a,\,0)$$, $$(b,\,0)$$에서 $$x$$축과 만나되 $$x=a$$에서 $$f(x)$$가 $$x$$축에 접하면 삼차방정식 $$f(x)=0$$이 중근 $$a$$와 단일근 $$b$$를 가지므로 함수식은 $$f(x)=k(x-a)^2(x-b)$$이다.
'''[3] $$\boldsymbol{f(x)=k(x-a)(x-b)^2 \,\, (a<b)}$$'''
[image]
삼차함수 $$f(x)$$의 그래프가 $$x$$축 위의 점 $$(a,\,0)$$, $$(b,\,0)$$에서 $$x$$축과 만나되 $$x=b$$에서 $$f(x)$$가 $$x$$축에 접하면 삼차방정식 $$f(x)=0$$이 중근 $$b$$와 단일근 $$a$$를 가지므로 함수식은 $$f(x)=k(x-a)(x-b)^2$$이다.
'''[4] $$\boldsymbol{f(x)=k(x-a)^3}$$'''
[image]
삼차함수 $$f(x)$$의 그래프가 $$x$$축 위의 점 $$(a,\,0)$$에서만 $$x$$축과 만나되 $$x$$축에 접하면 삼차방정식 $$f(x)=0$$이 삼중근 $$a$$를 가지므로 함수식은 $$f(x)=k(x-a)^3$$이다.

4.3. 변곡점

변곡점은 두 번 미분가능한 함수에 대하여 함수의 그래프가 위로 볼록인 상태에서 아래로 볼록한 상태로 변하거나 그 반대로 변하는 점을 말하며, 해당 함수의 이계도함수가 [math(0)]이 되는 지점을 말한다.
다만, 삼차함수의 도함수는 이차함수이고, 이차함수의 꼭짓점에서의 접선의 기울기가 [math(0)]이 되므로, 도함수의 꼭짓점의 $$x$$좌표가 곧 삼차함수의 변곡점이 된다. 아래는 위에서 제시한 개형들의 변곡점을 나열한 것이다.
[image]
삼차함수 $$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$의 변곡점의 $$x$$좌표는, 앞서 밝혔듯이 $$f''(x)=0$$이 되도록 하는 $$x$$의 값이다.

$$f''(x)=6ax+2b=0,\;x=-\dfrac{b}{3a}$$

분류

따라서 변곡점의 좌표는 다음과 같다.

$$\displaystyle\left(\displaystyle-\frac{b}{3a},\, f\left(\displaystyle-\frac{b}{3a}\right)\right)$$

분류

위의 모든 성질을 이용하여 삼차함수의 그래프는 변곡점에 대하여 대칭임을 증명할 수 있다.
[image]
위 그림과 같이 삼차함수 $$y=f(x)$$의 그래프를 고려하고, 그것의 도함수 $$y=f'(x)$$의 그래프를 고려하자. 삼차함수의 도함수는 이차함수이므로 꼭짓점 $$\rm O$$에서 $$x$$축에 평행한 $$\overline{\rm PQ}$$에 내린 수선의 발을 $$\rm H$$라 하면, $$\overline{\rm PH}=\overline{\rm QH}$$가 성립한다.
한편, 위에서 밝혔듯 $$y=f(x)$$의 변곡점 $$\rm N$$의 $$x$$좌표는 도함수의 꼭짓점의 $$x$$좌표와 같고, 도함수에서의 점 $$\rm P$$, $$\rm Q$$에 대응하는 삼차함수의 점은 각각 $$\rm A$$, $$\rm B$$이다. 그런데 이차함수의 성질에 의하여 점 $$\rm P$$, $$\rm Q$$에서 도함수의 함숫값은 일정하므로 $$\rm A$$, $$\rm B$$에서 각각 그은 접선 $$l$$, $$m$$은 기울기가 동일하다.
이번에는 $$\rm A$$, $$\rm B$$, $$\rm N$$이 한 직선 위에 있는지 알아보기 위하여 $$\overline{\rm AN}$$, $$\overline{\rm BN}$$의 기울기를 조사하자. 각각의 기울기를 $$\Delta_{\rm A}$$, $$\Delta_{\rm B}$$라 하고, $$\overline{\rm PQ}=2 \delta \,\,(\delta>0)$$라 하면

$$\displaystyle \begin{aligned} \Delta_{\rm A}&=\frac{f\left( -\dfrac{b}{3a}+\delta \right)-f\left( -\dfrac{b}{3a} \right)}{\delta} \\ \Delta_{\rm B}&=\frac{f\left( -\dfrac{b}{3a} \right)-f\left( -\dfrac{b}{3a}-\delta \right)}{\delta} \end{aligned} $$

분류

$$\displaystyle \Delta_{\rm A}= \Delta_{\rm B} $$이므로 $$\rm A$$, $$\rm B$$, $$\rm N$$은 한 직선 위에 있다.
따라서 삼각형의 합동 등의 성질에 따라 $$\overline{\rm AN}=\overline{\rm BN}$$이 성립하며, 이에 따라 삼차함수의 그래프는 '''변곡점 대칭'''이다.

4.3.1. 파생 식

[image]
삼차함수 $$y=f(x)$$의 그래프는 변곡점 $$(a, \, f(a))$$에 대하여 점대칭이므로,

$$\displaystyle\frac{p+q}{2}=a \quad \to \quad \frac{f(p)+f(q)}{2}=f(a)$$

분류

이다. 다시 말해서 $$x$$축에서 $$p$$와 $$q$$ 가운데에 변곡점의 $$x$$좌표 $$a$$가 있으면, $$y$$축에서는 $$p$$와 $$q$$ 각각의 함숫값 $$f(p)$$와 $$f(q)$$의 가운데에 변곡점의 $$y$$좌표 $$f(a)$$가 있다.
더 나아가, 삼차함수 $$y=f(x)$$의 그래프의 변곡점을 $$(a, f(a))$$라고 하면 $$\displaystyle f(a-x)+f(a+x)=2b$$이다.
[image]
위 그림과 같이 그래프를 $$y$$축 방향으로 $$-b$$만큼 평행이동하여 변곡점의 $$y$$좌표를 [math(0)]으로 만들어 이해하면 좀 더 쉽다. 평행이동한 그래프의 변곡점 $$(a,\,0)$$에서 $$x$$축 방향으로 $$t$$만큼 떨어진 $$(a-t,\,f(a-t)-b)$$와 $$(a+t, \, f(a+t)-b)$$를 생각하자. 그러면 $$f(a-t)-b$$와 $$f(a+t)-b$$의 가운데에는 다름 아닌 [math(0)]이 있을 것이다.

$$\therefore\displaystyle\frac{\{f(a-t)-b\}+\{f(a+t)-b\}}{2}=0 \quad \to \quad f(a-t)+f(a+t)=2b$$

분류

여기서 변수 $$t$$를 $$x$$로 바꾸면 처음의 식이 얻어진다.
이에 따라 다음이 성립한다.

변곡점의 $$\boldsymbol x$$좌표가 $$\boldsymbol 0$$
- 변곡점이 $$y$$축 위에 있음
- $$a=0$$
- $$f(-x)+f(x)=2b$$

변곡점의 $$\boldsymbol y$$좌표가 $$\boldsymbol 0$$
- 변곡점이 $$x$$축 위에 있음
- $$b=0$$
- $$f(a-x)+f(a+x)=0$$

변곡점이 원점
- $$a=b=0$$
- $$f(-x)+f(x)=0$$
- $$\displaystyle \int_{-a}^a f(x) \,{\rm d}x = 0$$

변곡점이 원점인 경우의 특징은 모든 기함수(원점 대칭 함수)에 해당한다.

4.4. 임의의 점에서 그을 수 있는 접선의 개수

임의의 점에서 삼차함수의 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수는 그래프의 개형에 관계없이 아래와 같다. 글로 된 설명을 외우려 하지 말고, 직접 아무 곳에나 점을 찍고 접선을 그어 보면서 그을 수 있는 접선의 개수를 확인하면 된다.

변곡점에서 1
변곡점에서의 접선과 삼차함수의 그래프보다 모두 아래에 있거나 모두 위에 있는 점에서 1
변곡점을 제외한 삼차함수의 그래프 위의 점에서 2
변곡점을 제외한 변곡점에서의 접선 위의 점에서 2
변곡점에서의 접선과 삼차함수의 그래프의 위아래로 사이에 있는 점에서 3

[image]

'''개형 ①의 경우'''

따라서 좌표평면 위의 어느 점에서건 삼차함수의 그래프에 적어도 하나 이상의 접선을 그을 수 있다.
한편, 대수학적으로는 접선의 개수는 방정식의 근의 개수와 관련이 있다.
임의의 점 $$(a,\,b)$$를 지나는 접선이 삼차함수 $$f(x)$$의 그래프 위의 점 $$(t,\,f(t))$$에서 접한다고 하면, 두 점 $$(a,\,b)$$와 $$(t,\,f(t))$$를 지나는 직선의 기울기는 $$(t,\,f(t))$$의 순간변화율 $$f'(t)$$와 같다. 따라서 다음과 같이 $$t$$에 대한 방정식을 세울 수 있다.

$$\dfrac{f(t)-b}{t-a}=f'(t)$$

분류

이 방정식의 근의 개수가 곧 점 $$(a,\,b)$$에서 삼차함수의 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수이다. 식을 변형하면

$$f(t)-f'(t)(t-a)-b=0$$

분류

라는 삼차방정식이 된다. 이 방정식의 근의 개수는 또 다시 $$y=f(t)-f'(t)(t-a)-b$$의 그래프와 $$x$$축의 교점의 개수와 같은데, 삼차함수의 그래프는 무조건 위아래로 한없이 뻗어나가기에 '''$$\boldsymbol x$$축과 적어도 한 번은 만날 수밖에 없다.''' 곧, 어떤 점에서든 접선을 하나 이상 그을 수 있다.
다만, 점 $$(a,\,b)$$가 $$f(x)$$의 그래프 위에 있다면 $$f(a)=b$$이므로 나머지 정리에 의하여 일차식 $$t-a$$는 삼차식 $$f(t)-b$$의 인수이다. 이 삼차식을 이 일차식으로 나눈 몫이 되는 이차식을 $$Q(t)$$라 하면 위 방정식은

$$Q(t)=f'(t)$$

분류

라는 이차방정식이 된다. 이 이차방정식이 실근을 갖지 않으면 $$(a,\,b)$$는 변곡점이고 접선의 개수는 1이다. 중근을 가지면 $$(a,\,b)$$에서 그을 수 있는 접선의 개수는 2이다. 서로 다른 두 실근을 가질 수는 없다. 곧, 삼차함수의 그래프 위의 점에서는 접선을 세 개 긋지는 못한다.

4.5. 좌표 간 거리(개형 ① · 개형 ④)

4.5.1. x좌표 간 거리

[image]
이번에는 함숫값이 같은 점들의 $$x$$좌표를 살펴보자. 다시 말해 임의의 실수 $$a$$, $$b$$, $$c$$에 대하여 $$f(a)=f(b)=f(c)$$이다. 먼저 $$(a,\, f(a))$$와 $$(b,\, f(b))$$를 살펴보자. $$y=f(x)$$의 그래프의 개형은 '''급증, 완감, 급증'''하므로, $$(t,\, f(t))$$에서 '''왼쪽은 빨리 떨어지고 오른쪽은 살살 떨어지니까, 같은 $$\boldsymbol{y}$$좌표까지 떨어지기 위해서는 살살 떨어지는 쪽이 빨리 떨어지는 쪽보다 $$\boldsymbol{x}$$축 방향으로 더 멀리 가야 한다는 말이다.''' 마찬가지로 $$(s,\, f(s))$$에서 '''왼쪽은 살살 올라가고 오른쪽은 빨리 올라가니까, 같은 $$\boldsymbol{y}$$좌표까지 올라가기 위해서는 살살 올라가는 쪽이 빨리 올라가는 쪽보다 $$x$$축 방향으로 더 멀리 가야 한다는 말이다.''' $$x$$좌표 간의 거리는 곧 차(差)이므로, 이상의 결론을 수학적으로 표현하면 다음과 같다.

$$\begin{aligned} |t-a|&<|t-b| \\ |s-b|&>|s-c| \end{aligned}$$

분류

한편, 개형 ④ 역시 모양이 반대일 뿐, 똑같은 논리를 전개하면 된다.

4.5.2. y좌표 간 거리(함숫값의 대소)

개형 ①, 개형 ④는 접선의 기울기가 0인 점이 두 개인 개형들이다. 접선의 기울기가 0인 점에서 $$x$$축 방향으로 동일한 거리로 떨어져 있는 두 점의 $$y$$좌표의 대소를 확실히 비교할 수 있다. 또한, 함숫값, 곧 $$y$$좌표가 같은 점들의 $$x$$좌표와, 접선의 기울기가 0인 점의 $$x$$좌표의 거리의 대소도 확실히 비교할 수 있다.
[image]
그림에서 접선의 기울기가 0인 점 중 왼쪽에 있는 것을 $$(t,\, f(t))$$라고 하자. 그래프 $$y=f(x)$$ 위에 있으면서, 직선 $$x=t$$로부터 같은 거리만큼 떨어진 두 점 $$(t-a, \,\, f(t-a))$$와 $$(t+a,\, f(t+a))$$에 대하여, 항상 다음이 성립한다.

$${f(t-a)<f(t+a)}$$

분류

위에서 언급했듯이, 개형 ①은 '''급증, 완감, 급증''', 개형 ④는 '''급감, 완증, 급감'''하기 때문으로 설명할 수 있다. 쉽게 말해서, 위 그림은 $$(t,\, f(t))$$에서 왼쪽과 오른쪽으로 그래프가 아래로 떨어지는 모양새인데, '''왼쪽은 빨리 떨어지고 오른쪽은 살살 떨어지니까, $$\boldsymbol x$$축 방향으로 같은 거리만큼 진행했으면 살살 떨어진 쪽이 빨리 떨어진 쪽보다 덜 떨어졌으니 더 위에 있을 것이라는 말이다.'''
[image]
나아가, 양의 실수 $$a$$의 값이 무엇이든, 위의 대소 관계가 성립할 수밖에 없다. 위 그림과 같이, 개형은 '''좌하와 우상'''으로 한없이 뻗어나가기에 오른쪽으로 가면 갈수록 함숫값이 한참 커지고 왼쪽으로 가면 갈수록 함숫값이 한참 작아지기 때문으로 이해하면 쉽다.
한편, 개형 ④ 역시 모양이 반대일 뿐, 똑같은 논리를 전개하면 된다.

5. 역함수

삼차함수의 역함수는 다음 두 경우로 생각할 수 있다.

개형 ②, ③, ⑤, ⑥: 세제곱근 함수가 된다. 세제곱근 함수에서는 접선의 기울기가 무한대가 될 수 있다. 다시 말해 접선이 $$y$$축과 평행하다($$x$$축과 수직)는 것이다.
개형 ①, ④: 일대일대응이 아니므로 역함수가 존재하지 않는다. 다만 세제곱근 함수가 포함되어 있는 음함수로 표현할 수는 있으며, 양함수로 표현하기 위해서는 아래와 같이 세 부분으로 나누어 조각적으로 정의하여야 한다.

[image]

6. 복소평면

복소평면에서는 삼각형을 그린다. 대표적으로 [math(f(z) = z^3+1)]은 아래의 형태가 된다.
[image]

7. 다변수함수

변수가 둘 이상인 경우에도 삼차식으로 정의되는 함수를 생각할 수 있다.

$$\displaystyle y = \sum_{ijk} a_{ijk} x_i x_j x_k + \sum_{ij} b_{ij} x_i x_j + \sum_i c_i x_i + d$$

분류

이는 삼차함수보다는 '''삼차형식(cubic form, 三次型式)'''이라는 이름으로 많이 불린다. 대표적인 삼차형식으로 타원곡선이 있다.

8. 각종 공식

어떤 함수가 삼차함수임(일 수 있음)을 알려주는 단서, 삼차함수의 그래프의 거리, 삼차함수의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이, 그래프 속 길이와 넓이의 관계 등 각종 공식은 다항함수/추론 및 공식 참고.

9. 기타

중학교 3학년 때 이차함수와 이차방정식, 이차방정식의 근의 공식을 배운 후 고등학교 2학년 때 수학Ⅱ에서 미적분과 함께 삼차함수와 사차함수를 배우게 된다.[1]
그 전에 방정식에서 함수를 이용하여 정수근을 구할 수 있다. 고등학교 1학년에서 취급되는 방정식은 사차방정식 중 상반방정식 · 복이차방정식의 특수한 경우를 제외하고는 정수근이 하나 이상 존재하도록 되어 있다.
개형 ③, 개형 ⑥의 삼차함수와 닮은꼴인 함수의 종류가 상당히 많다. 대표적으로 [math(\sinh)], [math(\rm artanh)], [math(\rm erfi)], [math(\rm igd)], [math(\rm Shi)] 등이 있다.

10. 관련 문서

[1] 그 전에 방정식에서 함수를 이용하여 정수근을 구할 수 있다. 고등학교 1학년에서 취급되는 방정식은 사차방정식 중 상반방정식 · 복이차방정식의 특수한 경우를 제외하고는 정수근이 하나 이상 존재하도록 되어 있다.