제곱인수가 없는 정수
Square-free integer / 平方因子をもたない整数 / 无平方数因数的数
1. 개요
말 그대로 제곱수인 약수를 갖지 않는 자연수. 약수에 제곱수가 없으므로 $$n$$이 3 이상일 때 $$n$$제곱수인 약수도 당연히 없으며, 소인수분해하여 모든 소인수의 지수가 1이 되는 수를 찾음으로써 구할 수 있다. 서로 다른 여러(1개, 심지어 0개여도) 소수들의 곱이라고 생각할 수도 있다.
2. 명칭
문서 최상단에서 보듯 매우 간결한 영어 표현(특히 형용사 부분인 square-free는 2음절밖에 되지 않는다.)과 다른 언어권에서 이런 수들을 가리키는 이름이 문장형 제목을 연상케 할 정도로 길다. 다른 유럽 언어로도 마찬가지로 길며, 이런 합성어 만들기에 도가 튼 독일어(Quadratfreie Zahl[1]) 정도만이 영어 수준으로 짧은 이름을 사용한다. 한자의 압축력을 살려 무승수(無乘數)라고 번역하기도 한다.
3. 성질
1과 모든 소수는 제곱인수가 없는 정수이다.
뫼비우스 함수는 제곱인수가 없는 정수에서만 0이 아닌 값으로 정의가 된다.
4. 비율
모든 자연수 중 제곱인수가 없는 정수의 비율, 즉 $$Q(x)$$를 $$x$$ 이하의 제곱인수가 없는 정수의 개수라고 할 때 $$\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{Q(x)}{x}$$의 값은 $$\displaystyle\prod_{p는~소수}\left(1-\frac{1}{p^{2}}\right)=\frac{1}{\zeta(2)}=\frac{6}{\pi^{2}}\approx 0.6079$$이다.
4.1. 100까지의 제곱인수가 없는 정수
- 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10
- 11, 13, 14, 15, 17, 19
- 21, 22, 23, 26, 29, 30
- 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39
- 41, 42, 43, 46, 47
- 51, 53, 55, 57, 58, 59
- 61, 62, 65, 66, 67, 69, 70
- 71, 73, 74, 77, 78, 79
- 82, 83, 85, 86, 87, 89
- 91, 93, 94, 95, 97
5. 순환강제수
제곱인수가 없는 정수이면서 각 소인수가 다른 소인수보다 1 작은 수를 나누는 경우가 없다면, 이 수를 '''순환강제수'''(임시번역, cyclicity-forcing number)라고 한다. 즉, 이런 수를 위수로 하는 군은 무조건 순환군이다. 소수는 이 부가조건이 의미가 없으므로 당연히 순환강제수이기도 한데, 위수가 소수인 군이 순환군임은 대수학의 앞부분에서 배우는 기초적인 정리이기도 하다. 또한, 2가 아닌 소수는 홀수라서 그보다 1 작아지면 2로 나누어떨어진다. 다시 말해 2와 다른 소수를 약수로 갖는 순간 순환강제수는 될 수 없다. 다시 말해 2는 유일한 짝수 순환강제수이다.
5.1. 100까지의 순환강제수
- 1, 2, 3, 5, 7
- 11, 13, 15, 17, 19
- 23, 29
- 31, 33, 35, 37
- 41, 43, 47
- 51, 53, 59
- 61, 65, 67, 69
- 71, 73, 77, 79
- 83, 85, 87, 89
- 91, 95, 97
6. 바리에이션
세제곱수인 약수를 갖지 않는 수를 '''세제곱인수가 없는 정수'''(cube-free integer)라고 하며, 소인수분해했을 때 모든 소인수의 지수가 2 이하이다. 당연히 1, 모든 소수, 모든 소수의 제곱은 세제곱인수가 없는 정수이다. 제곱인수가 없는 정수는 모두 세제곱인수가 없는 정수인데다가 세제곱수의 비율이 매우 적으므로 세제곱인수가 없는 정수는 매우 많고, 따라서 목록을 작성하지는 않겠다. 실제로 모든 자연수 중 세제곱인수가 없는 정수의 비율, 즉 $$Q(x)$$를 $$x$$ 이하의 세제곱인수가 없는 정수의 개수라고 할 때 $$\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{Q(x)}{x}$$의 값은 $$\displaystyle\prod_{p는~소수}\left(1-\frac{1}{p^{3}}\right)=\frac{1}{\zeta(3)}\approx 0.8319$$로 상당히 높다.
6.1. 가환강제수
세제곱인수가 없는 정수이면서 각 소인수가 다른 소인수(소인수의 지수가 1인 경우), 또는 그 제곱(소인수의 지수가 2인 경우)보다 1 작은 수를 나누는 경우가 없다면 이 수를 '''가환강제수'''(임시번역, abelianness-forcing number)라고 한다. 즉, 이런 수를 위수로 하는 군은 무조건 가환군이다. 자연스럽게 모든 순환강제수는 가환강제수인데, 순환군이 가환군임은 대수학의 앞부분에서 배우는 기초적인 정리이기도 하다.
6.2. 100까지의 가환강제수
- 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9
- 11, 13, 15, 17, 19
- 23, 25, 29
- 31, 33, 35, 37
- 41, 43, 45, 47, 49
- 51, 53, 59
- 61, 65, 67, 69
- 71, 73, 77, 79
- 83, 85, 87, 89
- 91, 95, 97, 99
[1] Zahl을 줄인 것이 바로 우리가 익히 쓰는 [math(\mathbb{Z})]이다.