나비에-스토크스 방정식
1. 개요
Navier-Stokes equations
Navier-Stokes existence and smoothness
나비에-스토크스 방정식은[1] 점탄성이 없는 유체(Newtonian fluid)[2]에 대한 운동량 수지식(balance)으로 '''비선형''' 편미분 방정식이다.
프랑스 물리학자 클로드-루이 나비에와 영국 수학자 조지 스토크스가 뉴턴의 운동 제2법칙(F=ma)를 유체역학에서 사용하기 쉽게 운동량을 기준으로 세운 수지식이다. 이 방정식은 물리학의 수많은 곳에서 널리 사용되고 있다.
수학적인 관점에서 보자면, 이 방정식이 3차원(또는 시간을 포함한 4차원 시공간) 상에 해가 항상 존재하는지, 존재한다면 해를 어떻게 구하는지, 특이점은 없는지, 매끄러운지 등이 증명되지 않았다. 이렇기 때문에 공학 최전선에서조차 전산유체역학에 의존한다. 이 문제를 수학적인 관점에서 해결하라는 것이 밀레니엄 문제이다. 현재까지 미해결 문제로서, 푼 사람에게 상금 100만 달러가 수여된다.
유체역학을 공부할 경우 반드시 거쳐가는 관문이다. 그런데 유체역학 항목을 보면 알 수 있듯 유체역학을 안 하는 공학이 더 마이너하다. ABET을 실시하는 미국 공학 과정에서도 2학년 이전에 이수해야 하는 기본적이고 중요한 개념.
2. 공식
$$\mathbf{u}$$는 유체의 속도, $$\mathbf{g}$$는 중력가속도, $$\rho$$[3]는 밀도, $$p$$는 압력, $$\mu$$[4]는 점성계수, $$\nu$$[5]는 점성계수를 밀도로 나눈 값[6], $$w$$는 압력을 밀도로 나눈 값, $$\mathbf{I}$$는 단위행렬, $$\otimes$$는 텐서곱을 나타낸다.
2.1. 기본형
이 형태는 코시 방정식(Cauchy's equation)이라고도 한다. 이 경우 Navier-Stokes equation이라는 이름은 Newtonian fluid의 응력-변형률 관계를 대입하여 정리해놓은 것으로 한정된다.
가장 기본적인 형태. 응력과 변형률의 관계를 나타내지 않은 상태이다.
2.2. 비압축성 (incompressible)
유체가 비압축성(대표적으로 액체)일 경우 식이 상당히 간단해진다. 속도장의 발산 $$\dfrac{dP}{dt} = 0$$이어서 최종 공식이 $$\dfrac{d(-p\mathbf{u})}{dx} = \dfrac{dP}{dt} = 0$$으로 아주 간단하게 나눠 떨어진다. 일반적으로 관련 학부 2~3학년 과정에서 다룬다.
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이렇게만 보자면 정말 어려워 보이지만 물리학적 관점으로 이해를 시도하면 단순히 유체에 작용하는 모든 운동량 전달을 나열해놓은 것으로 그렇게 어렵지 않다. 유체에 전달되는 운동량은 유체의 흐름에 의한 대류 전달, 유체 또는 관 벽면의 입자 간 전달(전단 응력)(shear stress), 압력에 의한 전달, 중력에 의한 전달(유체의 무게)로 이루어져 있고 각 항의 벡터식을 좌표계에 맞게 쪼갠 것뿐이다. 뉴턴의 법칙으로부터 이 비압축성 방정식의 유도를 보고 싶다면 오일러 방정식#s-3.2의 3.2항목으로.
2.2.1. 비점성 (inviscid)
이때는 식이 더 간단해진다.
위 incompressible과 비교해보면, 비점성인 경우에는 μ=0이기 때문에 3번째 항이 사라졌다.
이 식은 오일러 방정식이라고도 한다. 참고로 공대가 아니더라도 1학년 때 만나 볼 수 있는데, 공돌이 타입 교수나 조교들이 다변수 미적분 파트에서 연습문제나 시험으로 종종 낼 때도 있다.
2.3. 압축성
대표적으로 기체가 있으며 같은 기체라도 유속이 빠를수록 압축성에 의한 효과가 크게 나타난다. 비압축성에 비해 항이 좀 더 많아졌다. 스칼라식 풀이도 존재하나 여백이 부족하여 여기에는 적지 않는다.
이것까지 학부에서 해결하기엔 시간이 부족해서 3학년 2학기나 4학년 초에 실용적인 거 열몇 가지 정도만 강제로 주입시키고[8] 졸업장 줘서 내보낸다, 사실 일반적인 공학 입장에서는 저 열몇 가지면 대체로 실용면에선 끝이라 봐도 무방하고, [9] 이거랑 일반항을 본격적으로 파는 건 이제 대학원 가서 하게 된다.
3. 설명
유체역학의 가장 기본이 되는 '''지배방정식 (governing equation)'''. 물과 공기를 비롯해 점성을 가진 대부분의 기체와 액체의 운동을 나타내는 비선형 편미분 방정식이다.[10][11] 프랑스 물리학자 클로드 루이 나비에와 영국 수학자 조지 스토크스의 이름을 따왔다.
나비에-스토크스 방정식은 뉴턴의 제2법칙인 F=ma를 유체역학에서 사용하기 편하게 그 형태를 바꾼 것이다. 유체는 고체와 달리 정해진 형태가 없기 때문에 우리가 흔히 역학 하면 생각하는 '고정된 좌표계'에서의 분석이 불가능하다. 따라서 유체에 뉴턴역학을 적용하기 위해서는 다른 방식이 필요하고, 이 방식에 따라 운동량 보존 법칙을 재정리한 것이 이 방정식이다. 따라서 이 방정식은 운동량 보존법칙이라고 불리기도 한다. 물리학에서 대표적으로 보존되는 물리량 중에서 유체역학에서 중요시하는 물리량은 질량, 운동량, 에너지로, 이 세 물리량의 보존법칙[12]이 유체역학의 지배방정식이 되고, 그중 가장 복잡하고 중요한 방정식이 이 나비에-스토크스 방정식이다. 때때로 질량 보존 법칙[13]까지 합쳐서 나비에-스토크스 방정식이라고 부를 때도 있다.
기계공학, 항공우주공학 전공 대학생이라면 2~3학년 때 처음 이 방정식을 접하게 된다. 물론 토목공학, 화학공학 등의 유체를 다루게 되는 학과에서도 배울 수 있다. 물리학에서는 주로 플라즈마 물리 전공자들이 다룬다.
비행기가 공중에 뜰 수 있는 것도, 기상청에서 아직 오지도 않은 며칠 후의 날씨를 예측할 수 있는 것도 이 방정식과 관련이 있다. 쉽게 압축하자면 만약 이 방정식의 일반해를 구하는 방법이 증명된다면 기상예측 정확도가 엄청나게 높아진다는 이야기이다.
문제는... 이 방정식이 지금까지 알려진 것 중에 (해석적인) 해를 구하기 가장 어려운 편미분방정식 중 하나라는 것이다. 이 방정식을 풀기 어렵게 만드는 범인은 위의 방정식의 좌변 두 번째 항( $$ \boldsymbol{\nabla} \cdot \left( \rho \mathbf{u} \otimes \mathbf{u} + p \mathbf{I} \right) $$ )으로, 이 항(advective term)[14]이 비선형[15]이기 때문에 해를 구하기가 어렵게 된다. 게다가 압축성의 경우에는 우변 맨 마지막의 점성항도 비선형( $$ \mu \nabla^2 \mathbf{u} \rightarrow \nu \nabla^2 \mathbf{u} + {1 \over 3} \nu \boldsymbol{\nabla} \left(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{u}\right) $$ )으로 변한다. 몇몇 특수한 경우의 풀이법[16]은 알려져 있지만 일반적인 풀이법은 알려져 있지 않다. 심지어는 일반해가 있는지 없는지조차 아직 모른다... 이 방정식의 일반해 (정확히는 전역적이고 매끄러운 일반해)의 존재성을 보이거나 반증하는 것은 Navier–Stokes existence and smoothness라는 이름으로 밀레니엄 문제로 선정되었으며, 현재 100만 달러의 상금이 걸려 있다.
어쨌든 일반해의 존재성이 보장되느냐와 별개로 유체의 움직임을 예측하기 위해 컴퓨터를 동원해 수치적으로 구하는 것이 유일한 방법으로 해를 구해 쓰고 있다. 이를 전산유체역학(Computational Fluid Dynamics, 줄여서 CFD)이라고 부른다. 더 자세한 내용은 전산유체역학 참조.
2014년 1월 11일에 카자흐스탄 교수인 무흐타르바이 외텔바예프(Мұхтарбай Өтелбаев)가 이 방정식의 전역적(global)이고 연속적인 해가 존재함을 증명했다고 http://bnews.kz/en/news/post/180213/발표했으나 결국 검증 끝에 해당 증명은 틀렸다고 판명되었다 #
4. 유도
4.1. 비압축성
나비에-스톡스 방정식은 오일러 방정식에다가 점성을 고려한것이다. 해당 문서에도 점성에 대한 설명이 조금 나오지만, 이 항목에선 점성항을 조금 더 엄밀하게 다루고자 한다.
일단 먼저 "변형률 속도 (strain rate)"를 알아보자. 점성이 있는 유체라면 주위 유체에서부터 응력을 받으면, 이 응력 (stress) 때문에 "변형률 (strain)"이 생긴다. 이 변형률이 시간에 따라 변화하는 속도가 변형률 속도이며, 3x3 행렬 텐서인 $$\displaystyle \nabla \textbf{u}$$ 로 정의된다. 대략 유체 "모양"이 변화하는 속도로 생각하면 된다.
이 텐서는 두 텐서로 분해가 가능한데, 하나는 유체가 얼마나 "회전"하는 정도를 나타내는 텐서이며, 다른 하나는 회전 없이 정말 모양이 변화하는 속도를 나타내는 텐서다. 후자를 $$\displaystyle \underline{\underline \varepsilon}$$라 칭하며[17], $$\displaystyle \underline{\underline \varepsilon}=\frac{1}{2}(\nabla \textbf{u}+\nabla \textbf{u}^\text{T})$$로 정의된다.
뉴턴의 점성법칙에 의하면 응력은 이 변형률 속도에 비례한다. 즉, $$\displaystyle \underline{\underline \tau} \propto \underline{\underline \varepsilon}$$.[18] 이 법칙을 따르는 유체를 뉴턴 유체라고 한다. 아쉽게도 이 법칙은 우주의 기본적인 법칙은 아니고, 문제를 쉽게 만들기 위한 편의상의 법칙이다. 옴의 법칙이나 훅의 법칙 처럼.
이제 우린 나비에-스톡스를 유도할 준비가 되었다. 일단 오일러 방정식에서 부터 시작하자.
좌변이 $$\displaystyle F=ma$$의 $$\displaystyle ma$$고, 우변이 $$\displaystyle F$$다. 단, 우변은 힘이 아니고 힘 밀도 (force density)라는 물리량이다. 좌변의 항도 질량 대신 (질량)밀도. 그렇다면 여태까지 이야기한 점성응력에 의한 힘 밀도는 무엇일까? 답은 $$\displaystyle \nabla \cdot \underline{\underline \tau}$$ 이다. 어째서일까?
먼저 응력 텐서가 어떻게 생겼는지 한번 보자.[19]
$$\displaystyle \begin{bmatrix} \tau_{xx} \quad \tau_{xy} \quad \tau_{xz} \\ \tau_{yx} \quad \tau_{yy} \quad \tau_{yz} \\ \tau_{zx} \quad \tau_{zy} \quad \tau_{zz} \end{bmatrix}$$
[image]
위의 그림을 참고해서 $$\displaystyle F_x$$ 를 구해보자. y와z방향으로도 똑같은 방법으로 구할 수 있다.
$$\displaystyle \text{d}F_x=\Delta \tau_{xx} \, \text{d}y \text{d}z+\Delta \tau_{yx} \, \text{d}x \text{d}z+\Delta \tau_{zx} \, \text{d}x \text{d}y=(\frac{\partial \tau_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z})\,\text{d}x\text{d}y\text{d}z$$
$$\displaystyle \frac{\text{d}F_x}{\text{d}V}=\frac{\partial \tau_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z}$$
우변은 $$\displaystyle (\nabla \cdot \underline{\underline \tau})_x$$ 이므로, y와 z 방향으로도 똑같은 계산을 하면,
$$\displaystyle \frac{\text{d} \textbf{F}}{\text{d}V}=\nabla \cdot \underline{\underline \tau}$$ 인걸 알 수 있다.
그렇다면 이제 이 항을 오일러 방정식의 우변에 더해주자.
이제 $$\displaystyle \underline{\underline \tau}$$ 와 속도장인 $$\displaystyle \textbf{u}$$ 의 연관성을 찾아야한다. 여기에 필요한게 바로 $$\displaystyle \underline{\underline \varepsilon}$$다. 뉴턴의 점성법칙을 적용하자.
이렇게 비례상수를 $$\displaystyle 2 \mu$$로 정한다. 그렇다면,
또한 성립한다. 또한, 조금만 계산을 해보면 $$\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \textbf{u}+\nabla \textbf{u}^\text{T})=\nabla^2 \textbf{u}$$ 인걸 알 수 있다. 따라서 $$\displaystyle \nabla \cdot \underline{\underline \tau}=\mu \nabla^2 \textbf{u}$$ 이며, 이걸 위의 식에 대입하면...
양변을 밀도로 나누고 $$\displaystyle \nu=\frac{\mu}{\rho}$$와 $$\displaystyle \nabla w=\frac{\nabla p}{\rho}$$를 적용하면 익숙한 비압축성 나비에 스톡스 방정식 완성.
4.2. 압축성
유체가 압축성이란 말은 $$\displaystyle \nabla \cdot \textbf{u} \neq 0$$ 와 동치다. 이 압축성 때문에, 방금전에 구했던 응력 텐서를 조금 바꿔줘야 한다.
여기서 $$\displaystyle \lambda$$는 비례상수이며, $$\displaystyle I$$는 3 x 3 단위행렬이다. 예상대로 다이버젼스가 클수록 (유체가 더 많이 팽창 할 수록) 응력이 커진다. $$\displaystyle \zeta=\lambda +\frac{2}{3} \mu$$ 를 정의하고 이 텐서를 분해하면
양쪽에 $$\displaystyle \nabla \cdot $$ 연산자를 취해주면 나우는 우변 결과를 오일러 방정식 우변에 대입하자. $$\displaystyle \bar p=p-\zeta \nabla \cdot \textbf{u}$$ 도 대입하고 양변을 밀도로 나누면 윗쪽 항목에 쓰여져있는 압축성 나비에-스토크스 방정식이 나온다. 참고로 $$\displaystyle \nabla \cdot \nabla \textbf{u}=\nabla^2 \textbf{u}$$이며, $$\displaystyle \nabla \cdot \nabla \textbf{u}^\text{T}=\nabla(\nabla \cdot \textbf{u})$$이다.
당연한 얘기지만, $$\displaystyle \nabla \cdot \textbf{u} = 0$$ 를 가정하면 비압축성 형태로 단순화된다.
5. 창작물에서의 등장
만화 바텐더에서 잠시 언급되는데, 사사쿠라 류의 단골 중 하나인 수학자가 이 나비에-스토크스 방정식의 증명에 상당히 도달했다는 식의 설정으로 등장하며 책까지 쓴 것으로 나온다. 다만 말 그대로 이름만 언급하고 넘어가는 것으로 보아 증명은 실패한 듯. 애초에 '수학자 = 괴짜'라는 이미지를 표현하기 위한 조연이다.
히가시노 게이고의 소설 라플라스의 마녀에서도 핵심 주제로 등장한다. 특정한 뇌 수술을 받은 사람이 무의식적으로 이 문제를 해결했다는 설정. 며칠 후의 날씨를 정확히 예측하고, 3층 높이에서 종이를 떨어트려서 정확한 곳에 안착시키는 기행을 보여준다.
크리스 에반스가 주연으로 출연한 영화 어메이징 메리에서도 매우 중요한 요소로 등장한다. 자세한 내용은 스포일러이므로...
웹툰 삼국지톡에서는 어린 제갈량이 이 문제를 풀고 있는 모습으로 등장해[20] 제갈량의 비범한 천재성을 강조하는 소재로 활용되었다.
웹툰 수학 잘하는 법에서 두 주인공이 해결하고자 하는 문제로 나온다.
웹툰 놓지마 정신줄에서는 853화에 정신이가 썬더피에게 나비에-스토크스 방정식을 풀어보라 시키고, 그 다음으로는 호지 추측까지 풀어보라 시킨다. 중간중간의 대사를 보면 정신이는 모든 밀레니엄 문제를 풀은 것으로 보인다...
우리는 공부를 못해에서 오가타 리즈가, 나리유키를 공항에 갈 수 있도록 선생님들의 주의를 끌기 위해 이 방정식에 대한 질문을 한다. 선생님은 물론 멘탈이 나가고...
6. 관련 문서
[1] 줄여서 N.S Equation이라고도 한다.[2] 이는 다시 말하면 유체가 점탄성을 갖는 경우에는 어찌되었건 이 방정식이 성립하지 않는다는 것을 의미한다! 혈액이나 우유 같은 경우가 대표적.[3] 그리스 문자 rho(로우)[4] 그리스 문자 mu(뮤)[5] 그리스 문자 nu(뉴)[6] 흔히 동점성kinetic viscosity라고 부른다.[7] 가끔 $$\nabla^{2}$$ 대신 $$\Delta$$로 표현하곤 하는데, 같은 뜻이다. 역삼각형은 델, 똑바로 된 삼각형은 라플라시안.[8] 예를 하나 들면 관속을 흐르는 유동체의 기체와 액체[9] 화공을 예를 들면 졸업 후 필드에 나가거나 대학원에서 플랜트에 가보면 알겠지만, 도면도 그렇고 정말 완벽하게 이걸 쓰기 편하게 맞춰서 설계가 기본적으로 되어 있다.[10] 페인트나 우유처럼 나비에-스토크스 방정식으로 설명할 수 없는 유체도 존재한다. 이는 방정식 자체가 Newtonian Fluid에만 적용이 가능하기 때문이며, 이런 Non-newtonian fluid들은 나비에-스토크스 방정식으로는 설명할 수 없는 점탄성(viscoelasticity) 등의 성질을 갖고 있다.[11] 유체역학은 연속체역학의 부분집합인 만큼, 연속체로 가정할 수 없는 경우(희박기체, 아주 작은 스케일 등)에는 적용되지 않을 수 있다.[12] 비압축성의 경우 에너지 보존 법칙은 제외하고 풀기도 한다.[13] 연속방정식이라고 불리기도 한다[14] 유체 이동에 의한 속도장의 변화를 나타냄[15] 1차 연립방정식으로 변형할 수 없는 꼴[16] 대표적인 것으로는 속도가 다른 두 평판 사이의 유동(Couette; 예를 들어 비 올 때 도로와 타이어 사이의 빗물의 유동)이나 가늘고 긴 관 속을 흐르는 유동(Poiseuille)이 있다. 이 이외에도 몇 가지의 해석해가 존재하지만, 대부분 매우 느린 유동에 해당한다. 이는 사실상 공돌이들이 배우는 유체역학이 복잡해지는 이유 중 하나로, 여러 경우에 대해 각각 다른 공식을 적용해야 하기 때문이다.[17] 두줄 그은건 이게 스칼라나 벡터가 아닌 행렬 텐서라는걸 강조하기 위한것이다.[18] 응력은 소문자 타우( $$\displaystyle \underline{\underline \tau}$$ )로 나타낼때도 있고, 소문자 시그마( $$\displaystyle \underline{\underline \sigma}$$ )로 나타낼때도 있다. 주로 전단 응력에는 타우를 쓰고 압축 응력에는 시그마를 쓰지만, 편의를 위해서 이 항목에서는 전부 타우로 통일했다.[19] 이 텐서의 정확한 의미는 응력문서 참조.[20] 작중 시점 나이가 13세인데 거기서 중학교 월반까지 한 상태다.