수학(2007)
1. 개요
고등학교 교과 과정중 수학교과의 일부. 여기서는 2009년에 고등학교에 입학한 학생부터 2013년에 입학한 학생까지 적용되는 7차 2007년 개정 교육과정에서의 고등수학을 기준으로 한다. 과목의 정식 명칭은 그냥 '''수학'''이다. 고등수학이나 뭐니 하는 것들은 편의상 구별한 것. 이것은 국민공통교육과정상, 10학년 즉 고등학교 1학년이 필수로 지정된 과목은 이거 하나 뿐이기에 따로 구별할 이유가 없었던 것. 수학 I이나 수학 II이니 하는 것들은 선택 과목들이기에 학년 구별이 아니라 그런 이름이 붙여진 것일 뿐이다. 선택 과목이기에 (굳이 그렇게 편성할 이유는 없지만) 고1 수학만 배우면 바로 수학 II나 미적분과 통계 기본으로 넘어가도 상관없게 구성되어 있다.
고등학교 1학년생이라면 누구나 배우는 수학 교육과정으로 5차 교육과정에서는 일반수학, 6차 교육과정에서는 공통수학이라는 이름이었으며, 7차 교육과정에서는 수학 10-가/나의 두 권으로 분리되어 있었다가 7차 개정 교과과정에서 다시 한권으로 합쳐졌다.
2. 학습내용
주로 중학교 과정 + 고등학교 심화 수학과목 과정을 거치기위한 발돋움판.
2.1. 집합과 명제
중학교 과정과 별로 다를게 없다. 새로운 용어들이 많이 나오기는 한다.
집합의 연산 부분을 벤 다이어그램으로 풀면 직관적으로 이해할 수 있다.그러나 벤 다이어그램만 그려서는 더 헷갈려지는 수도 있으므로, 연산법칙으로 전개하는 방법도 익혀 둬야 한다. 2014년부터 중학교 1, 2학년 과정[1]과 통합된다.
2.2. 실수와 복소수
수 체계에 대하여 배우게 된다. 여기서부터 허수와 복소수가 나온다.
허수단위 i의 주기성에 대해 주의하자. 그리고 서술형으로 집합을 조건제시법으로 던져주고(예:{2n+3│n은 정수})이가 사칙연산에 대해 닫혀 있음을 증명하라는 문제가 나올 수 있다.
이중 허수는 나중에 대학 가면 은근히 골때리는 문제가 되지만 예비고3이 겨울방학 때 간단하게 고등수학을 정리한다고 할 때는 이 부분은 복습해봤자 시간낭비만 하는 꼴이 될 수 있으니 쿨하게 스킵해야 한다. 2014년부터 복소수는 이차방정식과 연계해서 다루며 수 체계는 없어진다.
여담으로, 한국 수학 교육과정 중 집합과 명제 단원과 더불어 가장 수학과식 진짜 수학에 가까운 단원이다. 특히 수학의 정석에서는 실수의 연산에 대한 성질을 이용하여 중학교 과정까지 자명하게 받아들였던 여러 성질들을 증명한다(...).[2] 애초에 이는 '''추상대수학'''의 과정이 포함되어 있기 때문이다.
2.3. 식의 계산
인수분해, 항등식, 나머지정리, 인수정리, 약수와 배수 부분이 주로 출제된다.
주로 출제되는 범위가 넓다는 것은 '''이 단원 자체가 중요하다는 것.''' 고1 1차 중간고사의 최종보스급 단원이다.
이때 배우는 조립제법이 인수분해할 때와 고차방정식, 수학 Ⅱ 가면 나오는 분수/무리/고차 방정식과 부등식을 풀 때 나오므로 잘 익혀 두자.
유리식과 무리식 부분은 어렵게 나와야 번분수식과 이중근호이므로 선생님들이 점수 주기용으로 쉽게 내주는 경우가 많다.
특히 나머지정리에서 다항식 f(x)를 (x+α)로 나누었더니 나머지가 a이고, f(x)를 (x+β)²로 나누었더니 나머지가 bx+c일 때,f(x)를 (x+α)(x+β)²로 나누었을 때의 나머지 R(x)를 구하라는 문제가 어렵게 나온다. 이럴 때는 나머지가 나누는 식의 차수-1을 최고차항으로 가져야 하는데, 몫을 (x+α)Q(x)나 (x+β)²Q(x)라고 보면 이 나머지가 덜 나누어진 것이 되므로, (x+α)와 (x+β)²으로 한두번 나눠주고 검산식으로 식을 두 개 다시 써주면 다항식 R(x)의 미정계수의 사칙연산이 어떤 값을 갖는지 나오는데,이 둘을 연립하여 풀면 R(x)를 구할 수 있다.
여기서 인수분해의 기본기를 잘 익혀두면[3] 나중에 x→a일때 f(x)의 극한값(0/0꼴로 나타내어지는 f(x))을 구하라는 문제를 풀 때 쏠쏠히 써먹을 수 있다. 물론 여기서 설렁설렁 넘어간다고 해도 그때 가서 "f(x)=(x²+ax+b)/(x-1)에서 x가 1로 수렴할 때의 극한값이 4라고 할때 a²+b²=?" 같은 문제를 풀때 크게 불편을 겪진 않지만, 여기서 조금만 고생해두면 나중에 고3 올라가서 남들 수학 Ⅰ나 전국연합학력평가나 대학수학능력시험/모의평가 등의 풀이 시간에서 2,3점으로 출제되는 문제들의 풀이 시간을 20~30초는 아낄 수 있다.[4] 약수와 배수는 2014년부터 삭제된다.
2.4. 방정식과 부등식
중학교에서 배운 방정식과는 별 다를 게 없다. 삼차방정식과 사차방정식, 대칭 사차방정식과 대칭 오차방정식이 새로 나온다. 또한 절댓값 기호가 포함된 일차방정식, 미지수가 3개인 연립일차방정식 (삼원일차연립방정식)과 연립이차방정식, 부정방정식도 나온다. 판별식 D=b²-4ac가 양수인지, 0인지, 음수인지 잘 보고 풀어야 한다. 이 부분은 나중에 그래프의 평행이동 같은 개념을 배우면 x의 계수가 상수라는 전제 하에 판별식을 일일이 구할 필요 없이 (x-1)(x-3)(x²+ax+b)=0에서 b값이 (a/2)²보다 작냐 같냐 크냐를 머릿속으로 뚝딱 해치워서 x²+ax+b의 부호를 판별할 수 있게 된다. 이 방법을 익혀두면 고3때 모의고사에서 수십초 가량을 아낄 수 있다.
부등식 부분에서는 코시-슈바르츠 부등식과 산술-기하-조화평균이 새로 나온다.
경우에 따라서는 등호성립조건이 다를 수 있으니 함부로 쓰지 말고 잘 따져보고 사용하자.
무작정 외워서 쓰면 안된다.
산술평균과 기하평균의 관계는 나중에 수능형 문제 중 a²+b²의 최솟값을 구하라고 하는 스타일의 문제에서 가끔가다 쏠쏠하게 쓰일 수 있다.
산술평균과 기하평균,절대부등식은 2014년부터 집합과 명제에서 다룬다.
2.5. 도형의 방정식
앞으로 배울 함수 파트의 기초를 배운다. 처음에는 평면좌표를 중심으로 두 점 사이의 거리, 선분의 내분점과 외분점의 좌표, 삼각형의 무게중심의 좌표 등이 나온다. 물론 이때 나오는 공식들은 모두 외워야 한다. 알고 보면 별거 없다.
직선의 방정식은 중학교 2학년 수학의 일차함수와 비슷하면서도 미묘하게 다르다. 직선의 방정식을 구하는 법에 대해서는 그냥 중학교때 썼던 방법으로 구해도 무방하지만, 이 단원에서 새로 등장하는 '''점과 직선 사이의 거리''' 공식은 반드시 외워야 한다.[5]
원의 방정식은 간단하다. 그냥 중심이 (a,b), 반지름이 r인 원의 방정식은 (x-a)²+(y-b)²=r², 앞에서 배웠던 두 점 사이의 거리 공식만 제대로 알고 있으면 된다. 하지만 원과 직선의 위치 관계를 다룰 때 점과 직선 사이의 거리 공식을 제대로 알지 못하면 힘들다. 원의 중심과 한 직선 사이의 거리로 원과 직선의 교점이 몇 개인가를 알아야 하기 때문.
원의 방정식이 끝나고 나면 도형의 이동에 대하여 배우는데, x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 b만큼 평행이동을 할때 점의 이동과 도형의 이동에서 +, - 부호를 헷갈리지 않도록 하자. 점은 x->x+a, y->y+b이고, 도형은 x->x-a, y->y-b이다. 대칭이동은 x축 대칭, y축 대칭, 원점 대칭, y=x 대칭이 나오는데, 좌표축 대칭이동 시에는 대칭이동하는 축과 반대되는 좌표[6]의 부호가 바뀐다는 점을 명심할 것.
마지막으로 부등식의 영역이 나온다. 직선의 경우는 y=f(x)꼴이면 >로 연결되었을때 위쪽, <로 연결되었을때 아래쪽이 구하는 영역이 된다. 원 또한 부등호가 >방향이면 원의 외부, <방향이면 원의 내부이다.[7] 부등호에 등호가 포함되느냐 제외되느냐에 따라 경계의 포함, 제외 여부도 따져야 한다. 또한 f(x,y)g(x,y)>0 꼴은 부호를 두가지로 나눠서 할때 헷갈리지 않도록 주의. 부등식의 영역으로 주어진 식의 최대, 최소를 구할 때는 십중팔구 곡선에 접하는 점이나, 두 곡선(혹은 직선)의 교점이 구하는 최소점 혹은 최대점이 된다.
2.6. 함수
보기에는 중학교 1학년 때 함수를 처음 다루면서 나온 내용과 비슷해 보이나, 여기서는 중학교 내용을 바탕으로 합성함수, 역함수 등이 새로 나온다. 합성함수는 합성의 순서에 주의할 것. 역함수는 일대일 대응인 함수만이 가질 수 있음을 기억하고, 역함수를 구할 때는 x와 y를 먼저 바꾸든 먼저 식을 x에 대해 풀고서 x와 y를 바꾸든 상관없으니 편한 대로 하자.
이차함수의 활용 단원은 중학교 3학년 과정과 비슷하지만, 여기서는 제한변역이 있을 때 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제가 추가된다. 이차함수 그래프의 꼭지점이 제한변역 안에 있는지 밖에 있는지 꼭 확인할 것. 이차방정식의 근의 분리도 심심찮게 나오기 때문에 잘 알아두자. 여기서는 그래프를 그려서 생각하는 것이 가장 편하다.
유리함수와 무리함수는 그렇게 어려운 단원은 아니지만, 분수식이나 무리식 같은 계산 때문에 계산이 더럽다. 유리함수는 중학교 1학년 때 배운 반비례 그래프의 연장선이라고 보면 된다. 무리함수는 역함수와 엮인 문제로 나오는 것이 다반사인데, 무리함수의 정의역을 잘 살펴서 역함수를 구해야 한다. 반대로 정의역이 주어진 이차함수의 역함수를 구할 때도 마찬가지이다.
이차함수의 활용은 2014년부터 방정식과 부등식에서 다루게 되고 유리함수와 무리함수는 유리식과 무리식의 계산이 삭제되어 용어만 짚고 넘어가는 것으로 바뀌었으며 중학교과정에 있던 정의역,공역,치역을 이 단원에서 다루게 되었다.
2.7. 삼각함수
모든 학생들이 피타고라스를 저주하게 되는 이유. 중학교 3학년때 배운 삼각비를 각이 임의의 실수일 때로 확장한 것이 삼각함수이다. 이때 호도법을 처음 배우는데, πrad=180º를 기준으로 특수각의 라디안 값은 기억해 두는 것이 좋다. 또한 (nπ/2)±θ의 삼각함수 변형 공식은 일일히 외우기보다는 바꾸는 요령을 익히자. 삼각함수의 그래프는 삼각방정식과 삼각부등식을 풀 때 유용하게 쓰이므로 필히 개형을 기억해야 한다. 마지막으로 삼각함수를 삼각형에 적용하여 사인법칙, 코사인법칙 등 다양한 공식이 나온다. 모두 외울 것. 하지만 외우는 것만으로는 안 되고 적용이 되도록 다양한 문제를 접해야 한다. 삼각함수 단원 중에서도 '''최종보스급.''' 이과 지망생이라면 수학 Ⅱ에서 삼각함수를 또 봐야 하므로 이 부분을 잊어버리면 곤란하다.
'''사인법칙, 코사인법칙은 언제 갑자기 물어볼지 모른다는 생각을 항상 해야 한다.''' 이거 몰라서 손도 못 대는 경우 많다.
2014년부터는 미적분2로 올라가며 이때 사인,코사인법칙,삼각형의 넓이를 다루지 않게되었다. 하지만 2015 개정 교육과정에서는 다시 다룬다.
2.8. 순열과 조합
개정전 수학Ⅰ에서 내려온 단원으로, 고등학교 1학년 2학기 기말고사에서 삼각함수와 함께 양대 산맥을 이룬다.[8] 분량은 삼각함수의 절반 정도이지만, 순열과 조합 특유의 더러운 계산 및 모든 경우를 따져 보아야 하는 번거로움 때문에 어렵게 내면 진짜 어렵다. 참고로 교과서에서도 익힘책 문제로 다루며 시중 문제집에서도 거의 100% 포함된 이른바 '분할/분배'문제는 원래 '''교육과정에 없다.''' 다만 가우스 기호가 정식 교육과정에 포함되지 않았음에도 불구하고 "\[x\]는 x보다 크지 않은 최대의 정수"니 하는 설명을 덧붙여주면서 자주 등장하는 것처럼 이것도 단골로 나오는 듯하다. 단순히 몇 조로 나누는 것과 몇 조로 나누어서 그것을 몇 사람에게 분배하는 것의 차이를 구별할 수 있어야 한다.
나중에 이과 한정으로 적분과 통계에 가면 이것보다 더 골 때리는 순열과 조합을 배우게 된다. 그때 이걸 모르면 좀 힘들 수 있다. 하지만 nPr로 나타내어지는 순열은 간단히 말해 '''n부터 시작하여 r개째까지 곱한 것'''이고 nCr로 나타내어지는 조합은 '''nPr를 r!로 나눈 것'''이라는 기본적인 개념만 숙지해두면 완전 수포자가 아닌 이상 고3때 순열 조합 몰라서 1학년 교과서를 다시 찾을 필요는 없다. 2014부터는 확률과 통계로 올라가며 이때 문과도 원순열, 중복순열, 같은 것이 있는 순열, 이항정리가 추가되어 더욱 어려워진다.
3. 대학수학능력시험/수학 영역과의 연계성
'''간접'''출제범위에 포함된다. 예를 들어 삼각함수+(수열, 미적분, 지수) 등의 형태로 출제할 수 있다. 애초에 지수함수와 로그함수는 서로 역함수 관계라는 점도 있고. 그래서 일부 교사들과 일부 사교육 강사들은 고등수학을 따로 배워야만 한다고 강조하고 있으나 실상을 보면 딱히 고등수학의 개념을 정확히 몰라도 고교 2학년 때 배운 발상만으로 풀 수 있는 경우가 대부분이다. '''물론 알면 훨씬 쉽다.''' 대표적으로 09 수능 문제 21번 문항을 '가비의 리'를 알아야'''만''' 풀 수 있다고 일부 선생들은 말하지만 시간을 좀 들여서 계산하면 그걸 몰라도 충분히 풀 수 있다. 즉, 고등수학 내용을 처음부터 끝까지 공부하는 것이 아니라 그냥 훑어보는 것만으로도 중상위권이 되는 데는 지장이 없다.
단, 호의 길이를 구하는 공식인 l=rθ를 알아야만 했던 경우, 외접원과 연계된 sin공식을 이해하고 있어야 했던 경우(09수능 가형 30번), 내접원이 나온 경우 반지름 구하는 법(09수능 가형 30번 외), 역함수 개념 이해(09수능 27번 외), 평행 개념 및 원주에 대한 중3 도형 이해(11수능 가형 22번) 등 특히 도형에서 매우 다양하게 중3~고1 개념이 출제되고 있으므로(다만 도형을 배우지 않는 문과는 상관없다.) '''만점'''을 목표로 한다면 중학교 수학에서 고등학교 1학년까지 배우는 개념에 대해 정리해두어야 한다. 물론 출제 빈도는 기껏해야 한 해당 한 문제 나오거나 말거나 한 정도다. 11학년도 수리 가형처럼 만점이 35명밖에 안 나오는 흉악한 난이도의 시험에서는 만점 포기하고 아는 거라도 다 맞추는 게 낫다(만점이 35명이면 이과의 최정점인 '''서울대학교 의과대학 합격자 중에도 만점은 소수'''라는 이야기이다). 이 경우에조차도 수능을 만점 맞아야겠다고 고등수학 내용을 처음부터 끝까지 공부한답시고 고등학교 1학년 문제집 붙잡고 푸는 건 완전한 삽질이다. 고1때 평균 수준의 수학 성적을 받았다면 고등수학 복습은 따로 참고서 사거나 인강을 수강할 필요조차 없이 300일이 넘는 수험 기간 중에 하루만 날 잡고 교과서 읽어나가면서 하면 된다. 제대로 가르치는 교사/강사의 강의를 수강한다면 그것조차도 필요없이 그냥 자기 수업 때마다 필요한 개념 체크해두면 된다. 평균 이하의 수포자였으니 참고서를 사서 봐야 한다고? 그렇게 산 1학년 문제집 풀어제끼느라 허비하는 시간은 다시 돌아오지 않는다. 차라리 그렇게 고1 문제집 살 돈 만원으로 짜장면을 사먹어라! 아무리 자기가 수포자라고 해도 길게 잡아봤자 교과서와 익힘책으로만 열흘이면 된다. 그리고 6월 모평 이후에는 이렇게 날 잡고 하는 간단한 복습조차 시간낭비일 수 있으므로 그냥 문제 풀고 질문해가면서 자기가 몰랐지만 꼭 필요한 것만 정리하면 된다. 그 꼭 필요한 개념들을 다 정리한다고 해도 A₄용지 앞뒤로 1장이면 충분하다.
[1] 집합은 중1, 명제는 중2.[2] 이 부분은 학부 2학년 해석학 첫 단원에서 실수체를 구성하는 공리(순서/체/완비성 공리)들을 언급하면서 같이 나온다. 정석에서 다루는 부분은 순서 공리와 체 공리.[3] 사실 이것도 기본기 중의 기본기를 말하는 것으로, 중학교 수준의 인수분해와 간단한 조립제법만 능수능란하게 할 수 있으면 노가다성의 인수분해까지 익혀둘 필요는 없다.[4] 여기서 인수분해를 익혔다면 f(x)의 분자를 (x-1)(x-b)로 인수분해된 식으로 놓은 다음 1-b=4라고 놓고 b=-3이라 구한 뒤 인수분해식 전개하여 a=2를 구할 수 있다. 그러나 여기서 완벽히 기본기를 다지지 못한 학생은 그 문제가 나오면 x=1을 분자에 대입해서 1+a+b=0이라고 생각한 뒤 b=-a-1을 대입한 뒤에나 인수분해를 하게 되어 시간을 잡아먹는 불상사를 맞게 될 수 있다. 어차피 그게 그거 아니냐고 대수롭지 않게 여길 수도 있고, 실제로 대수롭지 않기도 하지만(...) 수능 수학 풀이에 있어 시간은 소중한 것이다.[5] 이것은 기하와 벡터 마지막 단원에 나오는 '''점과 평면 사이의 거리'''와도 연결된다.[6] x축 대칭이면 y좌표, y축 대칭이면 x좌표[7] 물론 x²+y²=r²처럼 양변이 양수일 때를 말한다. 만약 원의 방정식이 -x²-y²=-r²로 되었을때 이것을 써먹으면 여지없이 틀린다. 먼저 x²+y²=r² 또는 (x-a)²+(y-b)²=r²꼴로 고칠 것.[8] 학교에 따라서 삼각함수까지만 들어가는 학교도 있고, 순열과 조합을 넣는 학교도 있다. 만약 시험범위가 삼각함수와 순열조합뿐일 경우 선생님들은 쉽게 내도 평균이 바닥인 경우가 생긴다.