이산수학(교과)
1. 개요
‘이산수학’은 10단계의 수학에 도달 여부에 관계없이 학생들이 선택할 수 있는 과목으로서 수학의 기본 개념, 원리, 법칙을 활용하여 실생활에서 일어나는 유한이나 불연속의 이산 상황의 문제를 해결하는 능력과 태도를 기르게 한다. 이 과목은 수학에서 이산적인 내용의 학습을 경험하고자 하는 모든 학생이 이수하기에 알맞은 과목이다. 이산수학의 내용은 이산적인 상황에 맞는 사고의 적용을 강조하여 선택과 배열, 그래프, 알고리즘, 의사결정과 최적화 등의 4개 영역으로 하고, 수학의 이산적인 상황의 문제를 쉽고 흥미롭게 지도할 수 있도록 다양한 실생활을 소재로 하여 구성한다. 이산수학의 학습에서는 수학 학습에서 습득된 지식과 기능을 활용하여 실생활의 여러 가지 이산적인 상황을 수학적으로 간결히 표현하고 처리할 수 있도록 하는 데 중점을 둔다. 또, 전 영역에 걸쳐서 복잡한 계산이나 문제해결을 위하여 계산기나 컴퓨터를 적극적으로 활용한다.
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2. 단원 목차
2.1. Ⅰ. 선택과 배열
- 학습요소: 합의 법칙, 곱의 법칙, 순열, 조합, 비둘기집의 원리, 포함배제의 원리, 수의 분할[f], 집합의 분할, $$_{n}\rm P \it _{r}$$, $$n!$$, $$_{n}\rm C \it _{r}$$
- 1. 순열과 조합
- 합의 법칙과 곱의 법칙
- 순열과 조합
- 나열하지 않고 주어진 조건을 만족하는 순열이나 조합의 수
① 합의 법칙, 곱의 법칙을 이해하고, 이를 활용하여 여러 가지 경우의 수를 구할 수 있다.
② 순열과 조합의 뜻을 알고, 어떤 주어진 조건을 만족하는 순열이나 조합을 모두 나열할 수 있다.③ 일일이 나열하지 않고도 어떤 주어진 조건을 만족하는 순열이나 조합의 수를 구할 수 있다. ||
① 비둘기집의 원리를 이용하여 배열의 존재성에 관련된 실생활의 문제를 해결할 수 있다.
② 포함 배제의 원리를 이용하고 이를 활용할 수 있다.③ 유한집합을 서로소인 몇 개의 집합의 합집합으로 나타낼 수 있는 방법의 수를 구할 수 있다.
④ 어떤 자연수를 몇 개의 자연수의 합으로 나타낼 수 있는 방법의 수를 구할 수 있다.
⑤ 주어진 조건에 맞는 여러 가지 분배의 수를 구할 수 있다. ||
2.2. Ⅱ. 그래프
- 학습요소: 그래프, 꼭지점, 변, 꼭지점의 차수, 경로, 회로, 수형도, 생성수형도, 오일러회로, 해밀턴회로, 인접행렬
- (1) 그래프
- 그래프의 뜻
- 그래프에서의 꼭지점의 차수와 변의 수
- 여러 가지 그래프
① 그래프의 뜻을 알고, 여러 가지 용어를 안다.
② 임의의 그래프에서 곡지점의 차수와 변의 수 사이의 관계를 이해한다.③ 여러 가지 그래프를 이해한다. ||
- (2) 수형도
- 여러 가지 수형도
- 생성 수형도
① 수형도에서 꼭지점의 수와 변의 수 사이의 관계를 이해한다.
② 주어진 그래프의 생성수형도를 찾을 수 있다. ||- (3) 여러 가지 회로
- 오일러 회로
- 해밀턴 회로
- 오일러 회로와 그래프 회로가 존재하기 위한 필요조건
① 오일러 회로와 해밀턴 회로의 뜻을 알고, 간단한 그래프에서 오일러 회로와 해밀턴 회로를 찾을 수 있다.
② 그래프에서 오일러 회로가 존재하기 위한 필요충분조건을 이해한다.③ 간단한 그래프에서 해밀턴 회로가 존재하기 위한 필요조건을 이해한다. ||
- (4) 그래프의 활용
- 행렬의 뜻
- 행렬 계산
- 그래프와 행렬
- 색칠문제
① 행렬의 뜻을 알고, 행렬의 덧셈, 뺄셈, 곱셈을 할 수 있다.
② 그래프를 행렬로 나타내고, 그 성질을 알 수 있다.③ 색칠 문제 등의 실생활 문제를 그래프를 이용하여 해결할 수 있다. ||
2.3. Ⅲ. 알고리즘
- 학습 요소: 알고리즘, 순서도, 점화관계, 일반항, 부분합, $$a_{n}$$, $$S_{n}$$
- (1) 수와 알고리즘
- 수와 관련된 규칙 문제
- 이진법 판정 알고리즘
- 소수 판정 알고리즘
- 최대공약수와 최소공배수를 구하는 알고리즘
① 수와 관련된 여러 가지 규칙성의 문제를 해결할 수 있다.
② 자연수를 이진법으로 나타내는 알고리즘을 이해한다.③ 소수를 판정하는 알고리즘을 이해한다.
④ 최대공약수와 최소공배수를 구하는 알고리즘을 이해한다. ||
- (2) 점화 관계
- 두 항 사이의 관계식
- 세 항 사이의 관계식
① 두 항 사이의 관계식을 이해한다.
② 세 항 사이의 관계식을 이해한다. ||2.4. Ⅳ. 의사결정의 최적화
- 학습 요소: 최적의 경로
- (1) 의사결정과정
- 2×2 게임
- 선거와 정당성
① 결정적인 2×2게임에서 의사 결정 과정의 변화를 안다.
② 여러 가지 선거 방법의 수학적 의미와 그 정당성을 이해한다. ||- (2) 최적화와 알고리즘
- 계획세우기
- 최적의 경로 구하기
① 실생활에 나타나는 계획 세우기의 최적화 문제를 해결할 수 있다.
② 도로망에서 최적의 경로를 구할 수 있다. ||3. 차기 교육과정과 비교
- 2007 개정 교육과정 이래로 '비둘기 집의 원리', '포함·배제의 원리'는 대학교 과정에서만 배울 수 있게 되었다.
- '자연수의 분할', '집합의 분할'은 본래 고등학교 이산수학 내에 있었던 내용인데, 항간에선 대학 과정에서 넘어왔다고(심지어 인기 인터넷 강사까지) 하는 사람들이 많았으나 이는 오해였다. 2007 개정 교육과정에서 빠졌다가 2009 개정 교육과정 확률과 통계에 다시 '자연수의 분할', '집합의 분할'이 되돌아 온 것이다. 그러나 2015 개정 교육과정부터는 진짜로 정규(일반) 고등학교 과정에서 배울 수 없는 내용이 되었다.
- 'Ⅱ. 그래프' 단원은 아주 일부만 2007 개정 교육과정 수학Ⅰ으로 편입되었으나 2009 개정 교육과정부터는 통째로 고급 수학Ⅰ으로 올라갔다. 고급 수학은 주로 과학고 학생들이 배웠던 심화 교과라 일반고 학생들은 배울 일이 드물었으며, 교과 편성이 된다고쳐도 입시 수업을 나가기 바빴다. 2015 개정 교육과정 역시 고급 수학Ⅰ에 여전히 잔류하고 있다.
- 순열과 조합 중 이 교과에만 있던 중복조합은 각각 적분과 통계와 미적분과 통계 기본으로 계승되었다. 대신 기존 수학Ⅰ에 있던 원순열, 중복순열 등은 적분과 통계에서만 계승되었다.
- 이진법, 십진법 관련 내용은 당시 교육과정에서 중학교 1학년 수학에서도 비중있게 다뤘던 내용이고, 이 교과서에서도 비중있게 다루었다. 그러나 시대의 흐름을 고려한다는 연유로, 2007 개정 교육과정부터는 아예 고등학교 정규 교육과정에서마저 쫓겨났다.
- 소수 판정법이 빠지면서, 이후 '소수' 관련 내용은 중학교 1학년 수학 내에서만 배우게 되었다.
- 이후로 최대공약수, 최소공배수도 자연수 내에서만 다루며(중1 수학), 다항식 간에 배수약수 관계는 중고등학교 과정에서 완벽하게 제외되었다. 참고로 본래 이 내용은 7차 수학 10-가/10-나, 2007 개정 고1 수학에서까지 다루었던 내용이다.
- 'Ⅳ. 의사결정의 최적화' 단원은 아예 덜어냈다. 비중은 그다지 크지 않았지만 한붓그리기 관련 내용이 그래프 단원으로 흡수되어 2009 개정 교육과정에 부활시킨 뒤 고급 수학Ⅰ으로 올라갔다.
4. 대학수학능력시험 수리 영역
7차 교육과정 초기 시절 수리 영역 2005~2011학년도 수능 '가형' 선택과목이었다. 그러나 공부를 전혀 안 하고서 눈치껏 풀어도 한두 문제쯤 맞출 수 있는 기이함을 보인다. 당시 이산수학 최저 정답률을 기록한 문제의 수준이 쎈 B단계 '상' 수준이었으니 말 다했다. 하지만 수포자들에게는 수학Ⅰ보다 더 괴악한 과목이기도 했다. 이런 면에서는 PSAT 상황판단 영역의 퀴즈문제와 비슷한듯. 그러나 선택률은 최저.[1]
이는 대학에서의 유용성을 고려해서 과목을 선택했기 때문이다. 7차 교육과정 초기 당시 미분과 적분 과목은 대학 미적분을 이해하기 위한 알파와 오메가와도 같은 과목이기 때문에 선택률이 99%에 달했다. 일부 대학은 미분과 적분 선택자만 지원할 수 있게 막아 놨으니(...) 사실상 강제 표준화가 된 거나 다름없다.
당시 수리 가형의 마지막 선택과목이었던 확률과 통계[2]는 실제로 책이 발매되기도 했고[3] 현재 교육과정에서는 수능에서 중요한 비중을 차지하기까지 하지만 결국 이산수학은 떡밥만 남긴 채 7차 교육과정이 끝날 때까지 발매가 되지 않았다. 비교적 최근에 추가된 이산수학에 대한 내용이 당시 일본 참고서 원본에 제대로 나오지 않았기 때문이다. 그래서인지 개정 교육과정에서는 빠졌다.(하지만 몇몇 개념들은 유지시켰다. 행렬의 그래프라든가)[4]
7차 당시 서울대학교 공과대학에서는 이 과목을 선택하면 지원하지 못했다. (미분과 적분 선택자만 지원 가능)
5. 여담
- 문과/컴퓨터공학과에게 있어서는 굉장히 뼈가 되고 살이 되는 내용들임에도 불구하고, 입시의 이과 '미분과 적분', '확률과 통계'와 함께 3중 1택이라는 취사선택에 밀려 상당수의 일반 고등학교에선 수업조차 개설하지 않는 과목이었다.
- 'Ⅲ. 알고리즘' 단원은 엄밀히 말하자면 유한수열 단원이다. 일반항, 부분합, 알고리즘과 순서도, 점화식 등 당시 수학Ⅰ의 '수열' 단원과 상당히 겹치나 당시엔 10단계(수학 10-가/10-나)만 배우고서도 선택하는 과정이었기 때문에 수학Ⅰ이 선이수 과목의 개념은 아니었다.
- 교과서가 분리되어있다고는 하나 사실 이 때도 고1수학, 수학Ⅰ 등에서는 이산수학적인 내용이 다수 있었다.
- 수학 10-가
- 집합
- 항등원과 역원
- 산포도와 표준편차
- 수학 10-나
- 함수
- 수학Ⅰ
- 경우의 수
- 순열과 조합
- 확률
- 이산확률분포, 확률질량함수
- 수학Ⅱ - 없음
- 미분과 적분 - 없음
- 확률과 통계 (확률밀도함수 부분 제외)
- 이산수학
- 수학 10-가
- 워낙 마이너해서 서점 검색대에 '이산수학'을 검색하면 몇만원짜리 컴퓨터공학 관련 책들만 잔뜩 나온다. 심지어 수학의 정석으로 유명한 홍성대조차 버린 과목. 고교 과정에서 7차 교육과정이 처음 적용되었던 해는 2002년이므로, 당시 고등학교 개정 교육과정 문제집은 학생들이 고1이었던 2002년부터 나오기 시작했다. 2002년~2004년 정도까지 출시되었던 7차 교육과정 초기 판본에는 정석 시리즈 소개에서 '이산수학(발매예정)'이라는 문구가 들어가 있었다. 이산수학 교과서도 국정교과서였고, 이산수학 교재를 발간한 회사는 천재교육과 신사고 정도 뿐이었다.
[f] 이후 2009 개정 교육과정 확률과 통계에서는 '자연수의 분할'로 다루었다.[1] 100명도 되지 않았다. [2] 신교육과정 확률과 통계에 중학교 통계 내용을 합하면 바로 이 과목이 됐다. 다만 수학1의 확률-통계 부분과 별 차이 없는 잉여과목이었다.(...)[3] 통계 문제 풀 때 시뮬레이션을 실제로 해 보라고 프로그램을 넣은 CD까지 같이 묶어서 팔았다![4] 이마저도 2009 개정 교육과정에선 빠진다. 다만, 2009 개정 교육과정의 확률과 통계에 2007 개정 교육과정일 때 빠져 있었던 '''분할'''이 들어갔다. 그러나 '''2015 개정 교육과정에서 빠지면서 확률과 통계 내용인 경우의 수와 중복조합, 확률(이산확률)을 제외한 모든 이산수학 고유의 내용이 일반고교 과정에서 완전히 삭제되었다.'''