미분방정식/풀이
미분방정식은 일변수함수에 대응하는 상미분방정식과, 다변수함수에 대응하는 편미분방정식으로 나뉜다.
1. 상미분방정식
常微分方程式 / Ordinary Differential Equation, ODE
1변수 함수에 대한 미분방정식을 가리키는 말이다. 여기서 상미분이라는 표현은 직역하자면 평범한 미분이란 뜻이지만 그보다는 "편미분"과 대비시켜 다변수 함수가 아닌 함수의 미분방정식을 가리키려 쓰는 조어라고 볼 수 있다.
우선 이 절에 쓰이는 표기법을 정리하자.
- 미지의 함수 $$y$$는 $$x$$를 변수로 갖는다.
- 도함수는 $$y'$$, $$y''$$, ... 또는 $$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, \dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}$$, ... 등으로 나타내자. $$C$$, $$C_{1}$$ 등은 임의의 상수.[2]
- 편도함수는 편미분 기호 $$\partial$$[3]를 사용하거나($$\displaystyle {\partial y \over \partial x}$$ 등), 변수의 아래 첨자($$y_x$$ 등)로 나타내자. $$\displaystyle\int$$는 적분기호.
- $$e$$는 자연로그의 밑이며, $$\exp(x) = e^x$$로 약속한다. 일변수 함수 $$f$$, $$g$$의 적분은 암묵적으로 $$F$$, $$G$$ 등의 대문자로 표기하자. 복소수가 나올 때 $$i=$$[math(\sqrt{-1})].[4]
- $$\mathrm{d}^{2} = \mathrm{d} \circ \mathrm{d}$$, $$\partial^{2} = \partial \circ \partial $$로 정의한다. 여기서 $$\circ$$는 뒤 함수의 결과값을 앞 함수의 입력값으로 받는다는 의미의 함수 합성 기호.
1.1. 일계 미분방정식
일계 미분방정식은 도함수 $$y'$$가 $$y$$와 $$x$$의 식으로 주어져 있는 형태이다. 일계 선형 미분방정식의 경우 함수의 초기값이 주어지면, 국소적으로[5] 해가 항상 유일하게 존재한다는 사실이 알려져 있다. 일반적으로 $$n$$계 선형 상미분방정식은 $$y(0), y'(0), ..., y^{n-1} (0) $$의 $$n$$개 초기값이 모두 주어져야 이를 만족하는 해가 유일하게 존재한다.
간혹 $$\dfrac{\mathrm d y}{\mathrm d x}$$를 분수처럼 조작하여 $$\mathrm{d}x$$나 $$\mathrm{d}y$$라는 단독표현을 사용하는데, 이를 엄밀히 이해하려면 미분형식이라는 이론을 동원해야 한다. 수학 전공자가 아니면 '직관적으로 이해하거나' '형식적인 표기일 뿐이라 납득하고' 넘어가자.
1.2. 선형 미분방정식
선형미분방정식이란 차수에 해당하는 미분가능 함수공간에 대해 $$Lf=g$$의 선형변환의 값으로 표현되는 미분방정식을 의미한다.
우선 $$Lf=g$$의 해는 선형 사상의 핵(kernel)로 구성한 잉여류(coset) 중 하나로 표현할 수 있고 그것은
$$\displaystyle h+\mathrm{ker}\,L $$
[1] regularity, 정칙성이라고도 번역한다. 간단히 말해 미분방정식의 해가 얼마나 '매끄러운지'를 살펴보는 것이다.[2] 단, 초깃값 문제 등에선 값이 정해진다고 생각하자.[3] 이는 $$\mathrm{d}$$를 둥글게 변형한 것으로, '파셜', '라운드', '라운드 디' 등으로 읽는다.[4] 전자공학 등에서는 $$i$$가 전류의 기호로 쓰일 수 있어 헷갈리기 때문에 허수단위 기호로 $$j$$를 사용한다. 예를 들면 $$f(t) = \exp(-j\omega t)$$ $$i$$가 $$j$$로 쓰이는 것 빼고 쓰임새는 같다. 이 글을 보면 사원수/분할 복소수($$j^{2}= 1$$, $$j\ne1$$)를 쓰면 물음이 생길 수 있는데, 각자 교수에게 물어보도록 하자. 적어도 $$j$$를 쓰는 과의 학부 과정에서는 사원수와 분할 복소수가 안 나온다.[5] 즉, 실직선 전체에서 방정식을 만족하는 해의 존재가 보장되는 것이 아니다.$$ y(0) = 0, y' = (1+y^2) $$의 해인 $$ y = \tan(x) $$는 구간$$ (-\pi/2, \pi/2)$$에서만 정의된다.
에 해당하고 이것은 특수해 중 하나이다. 한편,
는 동차해를 이루는 부분공간 해당한다. 동차해에 해당하는 집합은 참고로
로 표현된 해집합은 동치류를 이루므로 $$h$$의 선택에 무관하므로 해집합을 잘 결정할 수 있다. 특히 동차의 경우
로 주어진 식을
형태로 이해하여 고유치 문제로 풀 수도 있다. 물론 주어진 $$c_0 = 0$$인 경우는 고유값이 [math(0)]인 경우이다.
또한 공대생들의 멘탈을 붕괴시키는 주범중 하나인 푸리에 해석 또한 이 선형 편미분방정식을 풀기 위한 이론이다. 선형 편미분방정식도 결국 다변수 함수에 대해 $$Lu=g$$로 표현되는 미분방정식이므로 위 이론을 그대로 적용할 수 있다.
선형미분방정식에서 일반해를 구할 때 동차해에 특수해를 더해주는 이유가 바로 이것이다. 더 자세한 내용은 선형 변환 항목 참조.
하지만 이것은 어디까지나 이론상 그렇다는 것이고 실제로는 선형 미분방정식이라도 풀이를 위해서는 상당히 많은 수단이 동원된다. 사실 아래의 적분변환과 멱급수법도 이 선형미분방정식을 풀기 위한 방법들이다. 또한 위의 이론은 선형연립미분방정식에도 그대로 적용된다.
이제 선형미분방정식의 예시를 하나 들어보자. 상수 $$c_{i}$$들에 대해
의 형태이다. 여기에 대응하는 다항식
를 특성다항식(characteristic polynomial)이라고 한다. 이 특성다항식이
$$\displaystyle \chi(T) = (T - \alpha_1) ^{n_1} (T - \alpha_2) ^{n_2} \cdots (T - \alpha_k)^{n_k} $$
$$\displaystyle \exp(\alpha_i x), x \exp(\alpha_i x), \cdots ,x^{n_i -1} \exp(\alpha_i x) $$
로 처리하고, 일차결합에서 복소수 계수를 허용한다.
예를 들어 위에 소개했던 단진자의 운동방정식
의 특성다항식은 $$mT^2 + k = 0$$이고, $$w = \sqrt{k/m}$$으로 정의하면 특성다항식은 허수해 $$iw$$, $$-iw$$를 갖는다. 따라서 모든 해는
[math(\displaystyle \begin{aligned} \exp(iwx) &= \cos(wx) + i \sin(wx) \\
\exp(-iwx) &= \cos(wx) - i \sin(wx) \end{aligned} )]
로 멋들어지게 나타낼 수도 있다.
선형미분방정식에 상수항이 있는 경우, 즉
꼴의 경우, 이러한 방정식의 해는 (특수해)+(동차해) 꼴로 나타나진다. 여기서 (특수해)란 위 방정식을 만족시키는 특정 해 아무거나, (동차해)란 상수항이 없는 경우, 즉 $$y^{(n)}+ c_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + c_1 y' + c_0 y= 0$$의 해.
1.2.1. 심화
꼴의 경우, $$y$$항과 $$y'$$ 항을 단서로 좌변에 적절하게 미지의 식을 곱하면 좌변을 원함수에서 곱의 미분이 일어난 형태로 간주할 수 있다. 이 때의 미지의 식을 적분인자 $$h(x)$$라고 부르자. 즉, $$h(x)$$를 방정식에 곱한 식
의 좌변이
가 되는 $$h(x)$$를 찾으면
의 양변을 적분해서 해를 구할 수 있지 않겠냐는 것. 전개를 하면
가 되므로
이고, 곧
임을 알 수 있다. 이로써 적분을 통해 $$h(x)$$를 다음 식과 같이 구할 수 있다.
이제 원래의 미분방정식의 양변에 적분인자 $$h(x) = e^{\int\!g(x)\mathrm{d}x}$$를 곱해보자. 그러면
가 되는데, 이 때
를 적분해 $$y$$에 대해 풀면 일반해
를 얻게 된다.
1.3. 변수분리형(Separation of Variables)
꼴의 경우
의 형태로 바꾼 다음 양변을 적분해
꼴로 바꾼다. 안 된다면 적절한 치환을 통해[6]로 놓고 $$u$$와 $$x$$에 대한 미분방정식으로 만든 뒤 해보면 된다.
1.4. 완전형(Exact ODE)
을
의 꼴로 썼을 때
이면 이를 완전형이라 한다. 이 때는
이고
인 $$f$$를 찾아낸다. ($$M$$을 $$x$$에 대해 적분하고, $$y$$에 대한 상수항을 더해주면 쉽다.) 그 다음에는 $$f$$를 전미분했을 때
이라고 쓸 수 있기 때문에 $$f(x,y) = C$$의 형태가 해라고 할 수 있다.
미분방정식이 완전형이 아니어도(non-exact) 역시 양변에 적분인자를 곱해 완전형 미분방정식을 만들 수 있다. 다음 두 경우에 대해
미분방정식이 완전형이 아니어도(non-exact) 역시 양변에 적분인자를 곱해 완전형 미분방정식을 만들 수 있다. 다음 두 경우에 대해
- $$\dfrac{M_y-N_x}{N}$$이 $$x$$에만 의존할 경우: $$ h(x,\,y) = \exp\left(\displaystyle\int\frac{M_y-N_x}{N}\,\mathrm{d}x\right)$$
- $$\dfrac{N_x - M_y}{M}$$이 $$y$$에만 의존할 경우: $$h(x,\,y) = \exp\left(\displaystyle\int\frac{N_x - M_y}{M}\,\mathrm{d}y\right)$$
로 잡으면 $$h$$가 적분인자가 된다. 위 두 경우에 해당하지 않는다면, 적분인자를 구하는 것이 미분방정식을 푸는 것보다 어려운 경우이다.[7] 이걸 반대로 말하면, 아무 $$f(x,\,y) = C$$를 $$x$$에 대해 미분해 버린 후, $$x$$, $$x$$y)]가 모두 들어있는 임의의 함수로 나누거나 곱해버리면 손으로 못 푸는 1계 상미분방정식을 만들 수 있다는 말.
1.5. 멱급수법
미분방정식의 해 $$y$$가 멱급수 $$\displaystyle y=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots $$의 꼴로 나타낸다고 가정하고, 미분방정식에 대입한 다음에 계수비교법을 적용해 $$a_{i}$$를 계산하는 방법이다. 계수를 계산하기 쉬운 선형미분방정식에 많이 쓰인다. 여기서 한 단계 더 나아가서 프로베니우스 방법(Frobenius method)과 같은 것은 베셀 함수(Bessel function)를 구하는 과정의 필수요소라 할 수 있다.[8]
1.6. 라플라스 변환, 푸리에 변환 등의 적분변환
적분변환은 선형 미분연산자를 변환된 공간에서 단순한 계수로 바꿔버리는 강력한 도구이다. 하지만 세상에 공짜는 없는 것이, 어떤 함수의 적분변환이 존재하는 조건이 항상 존재하기 마련이다. 또한 두 함수의 곱을 적분변환하면 상당히 지저분한 꼴이 되며, 마찬가지로 두 적분변환의 곱을 역변환할 시 지저분한 꼴로 표현된다. 이러한 합성함수의 적분변환에 대한 규칙을 보통 convolution이라 표현한다.
라플라스 변환은 다음과 같은 성질이 있다.
증명$$\mathcal L\{f'(t)\} = sF(s)-f(0)$$ ($$\mathcal L\{f(x)\}$$는 $$f(x)$$의 라플라스 변환, $$F(s)$$는 그 결과 나온 함수)
$$\mathcal L\{f''(t)\} = s^2 F(s)-sf(0)-f'(0)$$
i. 좌변 = $$\displaystyle \int_{0}^{\infty}e^{-st}f'(t)\,\mathrm{d}t = \left[e^{-st}f(t)\right]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty}se^{-st}f(t)\,\mathrm{d}t = sF(s) - f(0)$$ (부분적분)
- $$\mathcal L\{f''(t)\} = s\mathcal L\{f'(t)\} - f'(0) = s(sF(s)-f(0))-f'(0) = s^2F(s)-sf(0)-f'(0)$$
예를 들어 위에 소개된 스프링 방정식의 경우를 들어 설명한다.
$$y''-ky=0$$의 양변을 라플라스 변환하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} s^2 Y(s) - kY(s) &= sf(0)+f'(0) \\
Y(s) &= (sf(0)+f'(0))/(s^2 - k)
\end{aligned} )]
[7] 정확히 말하자면 해당 상미분방정식을 푸는 것보다도 어려운 경우이다. 저 적분 인자를 구하기 위해서는 편미분 방정식을 풀어야 한다. 앞에서 말했듯이 편미분방정식은 상미분방정식 보다도 훨씬 어려운데 여기서 풀어야 하는 편미분방정식은 편미분 방정식들 중에서도 어려운 축에 속하는 편미분방정식이다. 배보다 배꼽이 훨씬 더 큰 셈.[8] 프로베니우스 방법에 대한 자세한 설명은 프로베니우스 방법, 영어주의, 참고링크1, 참고링크2 등 참조.
참고로 라플라스 역변환은 공식이나 복소적분을 이용하면 쉽게 구할 수 있다.[9]
이 방법의 단점은 $$f$$의 라플라스 변환이 존재하지 않을 경우 무용지물이 된다는 것이다. 라플라스 변환이 존재하기 위한 엄밀한 조건은 다음과 같다.
라플라스 변환 외의 다른 적분변환으로 푸리에 변환이 있는데, 라플라스 변환과 매우 닮은 꼴이다. $$f$$가 $$x → ±∞$$이면 $$f(x) → 0$$이고 경계가 반무한(semi-infinite) 또는 양쪽 다 무한한 선형 편미분방정식(PDE)을 풀 때 쓰인다.$$f$$가 (조각적) 연속이고, $$|f(t)| \leq Me^{ct} \quad(\forall t)$$를 만족시키는 $$c$$, $$M$$이 존재하면 $$s>c$$일 때 라플라스 변환의 존재가 보장된다.
1.7. 비선형 미분방정식
비선형 미분방정식은 1계 미분방정식만 풀이 방법이 정립되어 있고, 2계 이상부터는 특수한 경우가 아니면 해가 알려져 있지 않다. 여담으로 이 특수한 경우에 속하는 미분방정식중 대표적인 것이 베르누이 미분방정식이다.
예를 들어 다음과 같은 진자의 방정식은 모양은 간단하지만 비선형 미분방정식이다.
$$\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2 \theta}{\mathrm{d}t^2} + \frac{g}{l} \sin\theta = 0 $$[10]
($$g$$는 중력가속도, $$l$$은 진자의 길이)
이 식은 연구가 상당히 많이 진척되어 있어 $$\theta$$의 해집합이 정확하게 알려져 있다. 자세한 내용은 단진자 문서를 참고할 것. 하지만 '''이런 경우는 극히 드물다'''고 보면 된다.우리가 중/고등학교에서 배우는 진자는 위 방정식의 정확한 해가 아니라 근사해이다. 정확한 해는 타원적분으로 표현되기 때문에 초등함수로 나타낼 수 없다. 그래서 대학교 물리에서는 $$\theta$$를 [math(0)]에 근사시켰을 경우라고 전제를 주고 있다. 이 경우는 최저점을 벗어난 진자가 중력과 실의 장력에 의해서 약간 속도가 느려지면서 처지는 것도 직선이라고 근사시킬 수 있기 때문에 원운동의 일부로 취급할 수 있어져서 계산이 편해지기 때문이다. 단진자의 주기 공식은 $$\theta$$를 [math(0)]에 근사시켰을 경우에 유도되는 공식이다.
2. 편미분방정식
偏微分方程式 / Partial Differential Equation, PDE
PDE에서는 해의 존재성조차 밝혀내기 어려운 방정식들이 한가득이다.(괜히 나비에-스톡스 방정식이 밀레니엄 문제에 포함된 것이 아니다) 해석적인 방법으로 해를 구할 수 있는 방정식은 정말 극소수 중의 극소수이다.[11] 이렇다보니 편미분방정식에 대한 연구는 대체로 해 그 자체를 구하는 것보다는(수치해석은 핀트가 약간 다르니 논외로 한다.) 해의 존재성 및 유일성을 보이거나 혹은 해의 성질들(예를 들어 연속성 등)을 탐구하는 쪽에 초점이 맞춰져 있다.
표기와 주의사항은 위와 비슷. 단, 미지함수는 $$u$$, 변수는 $$x$$, $$y$$, $$z$$, $$t$$, ...로 쓰자.
최악의 문제 유형은 '''편미분방정식+고차방정식+연립방정식'''[12]인 경우.... 이 경우는 말 그대로 충공깽.
2.1. 미분작용소
기초 ODE에서는 그냥 넘어갔던 미분작용소(differential operator)의 개념이 PDE에서는 매우 중요해진다. 미분작용소의 정의는 미지함수와 편도함수로 이루어진 식이고, 이 식이 편도함수의 선형결합[13]일 경우 미분작용소를 선형이라고 한다. 모든 PDE는 미분작용소 $$D$$에 대해 $$Lu = 0$$ 의 꼴로 쓸 수 있고, 유명한 것으로 라플라스 작용소
$$\displaystyle \Delta u = \nabla^{2} u = \nabla \cdot \nabla u = {\sum_{n = 1}^{m}} {\partial^{2}u \over \partial {x_{n}}^{2}} $$[14]
이 미분작용소가 선형일 경우가 아주 중요한데, 미분작용소를 선형대수학에서 나오는 선형사상으로 간주할 수 있기 때문이다.[15] 다만 선형 PDE의 해집합은 대부분의 경우 무한 차원 벡터공간이 되므로, 무한 차원 벡터공간을 연구하는 함수해석학의 이론이 필요하다.
2.2. 존재성과 정규성[16]
상미분방정식의 경우 국소적 해는 항상 존재했지만, 편미분방정식의 경우는 다르다. 국소적 해마저 존재하지 않는 PDE가 있다는 것을 증명할 수 있을 정도. 코시-코발레프스키 정리(Cauchy-Kowalevski theorem)를 이용하면 일계상미방과 비슷한 조건하에서 존재성이 증명되는 경우도 있지만, 일관적 접근은 힘들다. 정규성의 경우 보통 함수의 $$L^p$$ 크기( 간단히 말하면 $$|u|^p$$의 적분값) 등 여러 가지 노름(norm)을 제한시키는 방식으로 증명한다. 여기서 수없이 많은 적분부등식이 등장하는 것은 덤.[17] 해가 충분히 좋은 경우[18] 함수의 진폭을 살펴보아 '조금 더 좋은'(횔더 혹은 립쉬츠) 연속성을 보일 수 있다.
다만, 선형인 경우, 위 두 가지는 어느 정도 보장이 된다.
2.3. 대수적 풀이법
편미분방정식에서 먹히는 대수적 풀이법은 그렇게 많지 않다. 유명한 것은 미지함수 $$u(x,\,y,\,z)$$를 $$p(x)q(y)r(z)$$꼴의 한 변수에만 의존하는 함수들의 곱으로 두는 변수분리법. 방정식이 선형이라면 이렇게 구한 미지함수들의 무한합으로 모든 해를 구할 수 있는 경우도 있다. 대표적인 예로 일차원 열 방정식(heat equation, 열의 확산에서 나옴)
$$\displaystyle u_t = u_{xx} $$
특성곡선(characteristic curve)법은 일계 유사선형 편미방
등에서 써먹을 수 있는데($$a$$, $$b$$, $$c$$는 $$u$$, $$x$$, $$y$$에 대한 함수), $$\mathrm{d}F(u,\,x,\,y) = 0$$이 되는 $$F$$를 어떻게든 찾아주면 된다.
비슷한 형태인 $$u_{xx} + u_{yy} = 0$$ 라플라스 방정식(Laplace Equation)[19] 또한 푸리에 급수를 이용하여 일반해를 구할 수 있고 특정 영역에서의 경계값문제의 정확한 해를 구할 수 있다. 또한, 해당 함수는 조화함수로 복소함수의 해석함수(Holomorphic function)을 이용하여 구하는 방법도 있다.
2.4. 선형편미분방정식의 기본해(fundamental solution)
PDE에서도 적분변환, 특히 푸리에 변환은 매우 큰 위력을 발휘한다. 다만, 푸리에 변환은 빠르게 감소하는 함수가 아니면 적용하기 힘든 난점이 있다. 함수공간의 범위를 더욱 넓힌 분포함수(distribution)는[20] 디랙 델타함수 같은 대상을 모조리 포함해 버리는 아주 큰 공간이고, 여기서 푸리에 변환을 생각하면 임의의 함수의 푸리에 변환을 생각할 수 있다.
작용소의 계수가 상수일 경우에는, 마치 라플라스 변환을 풀듯이, 푸리에 변환의 위력은 여전히 미분방정식을 산술방정식으로(!) 바꾸어 버릴 수 있다. 이 산술방정식을 풀고 역변환하면, 기본해(fundamental solution)라 불리는 $$LF = \delta(x)$$ 을 만족하는 분포 $$F$$를 찾을 수 있는데, ($$\delta$$는 디랙델타) 그러면 $$Lu = g$$의 해를 단순히 $$u = g \ast F$$ (컨볼루션)로 쓸 수 있다. 물론 어려운 것은 이렇게 구한 해가 과연 (분포함수가 아닌) 진짜 함수인가 하는 것이다.
그리고 계수가 상수일 때만 적용되는 기법이긴 하다. 일반적인 선형에서는 당연히 불가능한 내용.[21]
그나마도 비선형의 경우는 쉽지 않다. 대표적인 비선형 편미방인 나비에-스톡스 방정식은 '''아직까지도 일반해가 안 나오고 있다.'''
2.5. 타원형 편미분방정식(Eliptic PDE) 스펙트럼 이론(spectral theory)
선형대수학을 공부한 위키러라면 임의의 에르미트 행렬(Hermitian matrix)은 실수 고유값을 갖고, 고유벡터들이 정규직교기저가 된다는 스펙트럼 정리(spectral theorem)를 알고 있을 것이다. 선형 미분작용소 중 계수들이 특정 성질을 만족하는 elliptic operator들은 대칭행렬과 비슷하게 볼 수 있고, 스펙트럼 이론을 거의 그대로 적용시킬 수 있다. 어찌 보면 푸리에 해석도 이의 한 예.
가장 간단하면서도 대표적인 타원형 방정식으로는 라플라스 방정식이 있다.[22]
2.6. 물리학에서 다루는 편미분방정식
[image]
위는 2차원 파동 방정식인 $${c^2}(u_{xx}+u_{yy}) - u_{tt} = 0$$의 해이다.
이 문단에서는 물리학에서 다루는 편미분방정식에 대하여 알아볼 것이다. 여기서는 주로 단순 풀이에 대해서 논하지만 실제로는 다음 3가지를 자주 논한다.
- 존재성(existence) 이 편미분방정식의 해가 항상 존재하는가?
- 유일성(uniqueness) 만약 그렇다면 해는 유일한가?
- 안정성(stability) 이 해는 안정적인가?[23][24]
- 경계 조건(Boundary condition) 편미분방정식을 특정 공간에 한정하였을때 경계에서의 해에 대한 조건을 준다.
- 초기 조건(Initial condition) 편미분방정식의 해에 대해 시간 $$t = 0$$일 때의 조건을 준다.
2.6.1. 확산 방정식
1차원 확산 방정식은 다음과 같다.
여기 추가 조건 $$u(x,0) = \phi$$을 주면 해는
$$\displaystyle u(x) = {{1} \over {4{\pi}kt}}{\int_{-\infty}^{\infty}}e^{{-(x-y)^2}/4kt}\phi(y)dy$$
[19] 해당 형태를 만족하는 함수를 조화함수(harmonic function)라고도 부른다.[20] 간단히 말하면 함수공간의 쌍대공간으로 정의한다. 보통 함수 $$f$$는 $$g \longmapsto \int f g$$ 의 함수, 디랙델타는 $$g \longmapsto g(0)$$ 의 함수 이런 식. 통계학에서 등장하는 확률분포와는 직접적인 관련은 없다.[21] 선형 PDE에서 distribution sense로 해가 없는 예는 Hans Lewy가 1957년에 구했다. http://www.jstor.org/stable/1970121[22] 여기에 시간에 대한 일차미분항이 붙는 경우 열방정식이, 이차미분항이 붙는 경우 파동방정식이 된다. 열방정식과 파동방정식은 각각 포물형(parabolic)과 쌍곡형(hyperbolic) 편미분방정식의 대표적인 예시이다. 편미분방정식을 공부할 때 가장 처음 접하게 되는 것들이며, 이 방정식들에 대해서는 이미 많은 사실들이 알려져 있다.[23] 이 조건은 명확한 기준은 없는 논의 대상이다.[24] 안정성도 매우 중요하다. 조건이 약간 바뀌었는데 함수가 너무 많이 변한다면 현실에서 실험 설계가 어렵다.[25] $$\phi(x)$$는 어떤 함수이다.