대수 기하학

 



1. 개요
2. 상세
3. 학습 시 특징
4. 내용
4.1. 대수다양체
5. 관련 문서


1. 개요

algebraic Geometry · 代數 幾何學
곡선이나 곡면 등의 기하학적 대상을 다항식 등의 대수적 성질을 이용해 다루는 분야이다.

2. 상세

대수기하학의 주된 연구대상인 대수다양체(algebraic variety)는 간단히 말하면 다항식에 대한 방정식의 해로 나타나는 도형들이다. 고교 교과과정에 있던 기하와 벡터 영역의 '도형의 방정식' 부분, 즉 직선이나 원의 방정식, 이차곡선, 공간도형의 방정식 등에 나오는 모든 도형들이 다 대수다양체인 것이다. 즉 쉽게 말하자면 해석기하학의 확장판이라고 볼 수도 있지만, 현대 대수기하학의 범위는 여러 영역에 걸쳐 상당히 포괄적이므로 이렇게 단정짓기에는 무리가 있다.
데카르트가 좌표를 정립하여 많은 도형을 다항식으로 나타낼 수 있게 된 이후, 사람들은 역으로 다항식의 성질을 탐구해 도형의 성질을 밝혀내게 되었다. 고교과정에서의 예시를 들면 방정식을 표준형, 일반형 등으로 변형하는 것이 도형의 이동이나 변환과 관련이 있다는 것이다. 여기서 좀더 나아가, $$f(x,y)=0$$ 위의 좌표 $$(x_0,y_0)$$에서 접선의 방정식을 $$\partial_x f \cdot (x-x_0) + \partial_y f \cdot (y-y_0) = 0$$ 처럼 미분을 이용해서 구할 수 있다는 것도 한 예시가 된다.
본격적인 출발은 3대 작도 불능 문제를 대수학적으로 접근한 것으로 본다. 이를 증명한 이탈리아 학파를 중심으로 한 19세기 중엽의 고전적 대수기하학의 발전 시기에는 사영기하학(projective geometry; projective variety)이 대수기하학에 완전히 흡수되었다. 또, 파스칼의 정리 같은 논증 기하학의 정리들도 이 대수기하학으로 설명할 수 있는 등 많은 발전이 이루어졌다.
20세기 전후를 기점으로 하여 대수기하학은 몇 가지 극적인 변화를 겪게 된다. 그 중 하나는 복소해석학, 특히 리만 곡면(Riemann surface) 이론의 발전이다. 수학자들이 복소함수의 형태를 묘사하는(즉, 분기(branch)와 관련이 있는) 복소평면과 국소적으로 닮은 대상을 연구하고 보니, 이들이 대수기하학의 곡선의 성질을 따른다는 사실을 알게 된 것이다. 이로 인해 적게는 대수기하학에 주기 적분(period integral)이나 야코비안(Jacobian) 등이 들어오게 되었고, 많게는 복소다양체의 연구인 복소기하학 자체가 대수기하학과 많은 부분이 통합되는 것으로 이어졌다. 또 하나는 힐베르트 등이 필두가 되어 주도한 추상대수학의 발전이었다. 정확히는 대수기하학을 통해 가환대수(commutative algebra)가 이때 정립된 것에 가깝다. 물론 가장 급진적인 변화는 대수기하학을 처음부터 다시 썼다고 볼 수 있는 알렉산더 그로텐디크의 스킴(대수기하학)(scheme) 이론의 등장이다. 스킴이 가져온 패러다임 전환은 대수기하학이 정말 수학의 대부분의 분야 -광범위한 대수학과 기하학은 물론이요 정수론(특히 대수적 정수론), 심지어 이산수학이나 논리학까지에도- 에 영향을 미치는 거대한 분야로 발전하게 되는 계기가 되었다. 이후 대수기하학 연구자들이 필즈상을 가장 많이 수상했다.
대수기하를 배우면 다음과 같은 질문들에 답할 수 있다.
복소수체 위에서 변수 세 개인 세 d차 동차다항식[1] $$F_1,F_2,F_3$$이 있다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 연립방정식
$$ \begin{cases} F_1\left(x_1,x_2,x_3\right)=x_1 \\ F_2\left(x_1,x_2,x_3\right)=x_2 \\ F_3\left(x_1,x_2,x_3\right)=x_3 \end{cases}$$
의 해는 (0 빼고)총 몇 개일까??
이는 교차 이론(intersection theory)을 이용하면 쉽게 답할 수 있으며 정답은 $$ d^2+d+1$$개다. 이렇게 쉽게 계산할 수 있는 이유는 사영공간의 저우 환(Chow ring)이 용이하게 계산되기 때문이다.
평면 위 차수 d의 곡선의 특이점은 최대 몇 개가 나올까?
곡선의 종수(genus) 공식을 이용하면 d개의 직선이 서로 교차하는 경우에 최대값 $$d(d-1)/2$$가 나옴을 증명할 수 있다.
평면의 3차식 곡선 위에 점 아홉 개 $$E_{ij}$$($$1 \le i,j \le 3$$)가 있을 때, $$E_{11},E_{12},E_{13}$$/$$E_{21},E_{22},E_{23}$$/$$E_{31},E_{32},E_{33}$$/$$E_{11},E_{21},E_{31}$$/$$E_{12},E_{22},E_{32}$$ 이렇게가 일직선 위에 있다고 하자. 그러면 $$E_{13},E_{23},E_{33}$$ 이 세 점도 일직선 위에 있다는 것을 증명하라.
사실 이건 타원곡선의 곱셈이 결합법칙을 만족함을 보이는 것과 동치인 문제이다. 베주의 정리 혹은 이와 동치인 막스 뇌터(Max Noether)의 AF+BG 정리를 이용해 증명할 수 있는 문제로, 여기 세 문제 중에선 가장 고전적인 내용이라 할 수 있다.

3. 학습 시 특징

주관적인 내용이므로 주의바람.
  • 통상적인 기하학과는 다른 종류의 체계가 있다.
대수기하학에서도 기하학에서 나오는 위상, 다발(bundle), 함수들의 층(sheaf), 접평면, 차원, 미분형식, 호몰로지 등의 개념이 있긴 하지만, 그 정의는 통상적인 기하학과는 전혀 다르다.[2] 우선 대수다양체에는 보통 생각하는 유클리드 공간의 위상이 아니라 자리스키 위상(Zariski topology)[3]이라는 특수한 위상이 적용되는데, 이것 하나 때문에 위상수학에서 생각하는 대부분의 방법들이 같은 형태로 적용되지 못한다. 콤팩트성도 저 그대로는 무용지물이어서 고유 사상(proper morphism)의 개념으로 갈음된다. 호몰로지, 코호몰로지의 개념도 정의 자체는 상당히 딴판이다. 하지만 무서운 점은 이 완전히 다른 체계도 나름대로 잘 맞아 돌아가고, 기존 체계와 비슷하기까지 하다는 것이다.
  • 대수학적인 접근이 많지만 목적은 기하학에 더 가깝다.
대수기하학에서의 개념들을 정의하는 데에는 초반에 위상공간과 층을 다루는 것을 제외하면 대수학이 주로 사용된다. 대수기하학이 주로 다루는 공간인 스킴(scheme) 자체가 환의 스펙트럼 $$\mathrm{Spec} R$$들을 붙여 놓은 공간이므로, 이 공간의 성질을 묘사하려면 일단은 환 또는 그 사이의 준동형사상의 성질로 이야기를 하는 수밖에 없다. 나중에 익숙해진 후에는 이런 국소적인 논의를 건너뛰고 범주론적으로 보편 성질(universal property) 등을 이용해 정의하기도 하는데, 이것도 기하학적 접근과는 거리가 멀다. 어떠한 방식을 택하든 학습 초반에는 증명을 진행하면 결국에는 환 위에서 대수학 증명을 하게 되므로 대수과목이라는 인상을 강하게 주는 편이다.
하지만 좀 더 나아가면 차수니 교차점이니 기하학적인 대상들이 등장하고, 가면 갈수록 순수한 가환대수와는 차별화된 부분들을 만나게 된다. 순수 대수학이라 생각되었던 부분도 나중에 가면 기하학을 끌어와 설명하기 위해 필요했던 도구라는 것이 밝혀지고, 이러한 과정에서 가환대수학이 새로운 '기하학적' 의미를 얻기도 한다. [4] 결국에 대수기하학이 궁극적으로 답하고자 하는 것은 공간의 성질이지 단순히 개별 환의 성질은 아닌 만큼, 대수기하학에서의 대수학은 목적이 아니라 수단으로 보는 것이 더욱 알맞을 것이다. 다만 배우는 입장에서 이게 와닿을려면 고생을 오래 해야 되는 게 문제...
  • 함수들의 모임이 곧 도형이다.
공간의 요소들이 그 위에 정의된 함수와 상호작용을 한다는 사고방식은 미적분학의 미분형식과 스토크스 정리, 여기서 더욱 나아간 드람 코호몰로지, 일반적 호몰로지와 코호몰로지, 푸앵카레 쌍대성(Poincare duality) 등등의 아이디어들에서 이어져 왔다. 더 나아가선 공간의 정의부터가 그 위에 정의된 함수 구조와 뗄레야 뗄 수 없는 관계임이 정착되었다.[5]
대수기하학은 아예 한발짝 더 나아가서, 공간 위에서 함수가 정의되는 게 아니라 함수가 공간을 정의하고 결정짓는 주객전도의 모습을 보여준다. 기본적인 스킴의 정의부터가 이를 보여주고, 여기서 많은 사람들이 가장 근본적인 대상으로 생각되었던 점(point)의 개념부터 바뀌는 데에서 충격을 받는다. 나중 가면 그로텐디크 위상(Grothendieck)에서 위상 공간의 정의 자체를 바꿔버리는 등등 이 사고방식은 갈수록 심해진다. 흥미릅게도 대수기하학이 아닌 다른 기하학 분야를 깊게 들어가도 이 현상이 나타나는데, 위상수학에서 처음에 호몰로지의 쌍대공간 정도로 생각되었던 코호몰로지가 나중 가면 더욱 근본적으로 느껴지는 등등의 예시가 있다. 어쨌든 대수기하를 처음 접할 때 직관을 벗어나는 뒤통수를 때리는 첫 부분 중 하나이므로 마음의 준비를 하고 가면 좋다.
뻘말이라 취소선을 긋긴 했지만, 모든 수학 분야가 그렇듯이 아주 틀린 말은 아니다. 보통 수학과 커리큘럼에서 대수기하학은 고전적 내용의 개론이라도 학부 끝자락에 편성되어 있고, 제대로 학습하기 위해서는 가환대수학과 호몰로지 대수를 먼저 배워야 한다. 기하학 및 위상에 대한 경험도 일정 부분 필요하다. 하지만 이러한 배경을 갖추고 공부한 사람들도 어렵다는 이야기가 많은데, 초반에 직관성에 어긋나는 부분을 끊임없이 던져주며 별도의 독특한 사고방식에 익숙해지기를 강요하기 때문이다. 게다가 대수기하학은 온갖 분야에 영향을 미치다 보니 비전공자들이 공부해야 하는 경우도 적지 않다.

4. 내용

대학원 대수기하학 첫 과정에는 공통적으로 배경지식인 범주론과 위상 공간 위의 층(sheaf)이론, 스킴(scheme)과 그 위의 사상(morphism), 아핀/사영 대수다양체, 기하학적 대상(차원, 매끄러움, 미분형식), 코호몰로지 등등이 소개된다. 고전적 관점인 대수다양체를 먼저 소개하고 스킴을 나중에 등장시키는지, 스킴을 먼저 소개 후 이들의 특수한 경우로 대수다양체를 생각하냐 이 두 가지 방식의 차이가 있다. 교과서나 커리큘럼에 따라서 곡선이나 곡면 등의 간단한 분류 예시, 다양한 코호몰로지 이론, 유도 범주(derived category) 등의 범주론 심화과정, 아래 주제들의 소개 등등이 추가될 수도 있다. 학부 과정에서 대수기하가 소개된다면 그로텐디크 이전의 대수다양체 이론이 나오는 것이 대부분이다.
이후에 등장하는 대수기하학의 주제 또는 사고방식들 중 일부로 다음 등등이 있다.
  • 대수다양체의 분류: 어떤 기하학이든 공간들을 분류하는 것이 주요 주제이니만큼 근본적으로는 이게 대수기하학의 주된 질문이라고 볼 수 있다. 대수적으로 닫힌 체(복소수 등) 위의 대수다양체들이 특정 사상을 기준으로[6] 어떤 것이 있는지를 분류하는데, 우선 차원을 기준으로 곡선, 곡면 등을 나누고, 각각의 경우에 대해 위상수학처럼 다양한 종류의 불변량들을 생각한다. 대수구조 때문에 위상수학보다는 분류가 훨씬 복잡해지는데, 예로 위상수학의 실수곡면에 대해서 종수(genus)와 비가향성으로 분류가 끝났던 것과는 다르게 복소수 위의 리만 곡면(Riemann surface)의 분류는 현재 진행중이다. 경우에 따라서는 '도형들을 분류하는 공간'인 모듈라이 공간(moduli space)을 생각하는데, 간단히 말하면 모듈라이 공간의 한 원소가 도형 하나에 대응되는 식이다.
  • 교차 이론(intersection theory): 공간에서 도형의 교점의 개수 등을 코호몰로지나 특성류(characteristic class) 등을 계산해 대수적으로 구한다. 초등적인 예로는 사영평면 위에서 차수가 $$m,n$$인 방정식이 만나면 $$mn$$개의 교점이 생긴다는 베주의 정리(Bezout's theorem) 등등이 있다. 하위분야로서 지칭될 때는 'enumerative geometry'라는 표현이 많이 쓰인다.
  • 특이점 이론(singularity theory): 도형이 매끄럽지 않은 점을 특이점이라 한다. 대수다양체의 특이점을 다루는 여기서의 특이점 이론은 대수적 변형에 동형인 기준을 삼아서 특이점들을 분류하거나, 특이점을 매끄러운 식으로 나타내 해소(resolution)하거나 등등의 내용이 포함되어 있다. 물리학의 블랙홀이라던지 등 편미분방정식에서 나오는 특이점들도 대수기하에서의 특이점으로 설명할 수 있기 때문에 타 분야에서도 주목을 받게 되었다.
  • 복소기하(complex geometry)와의 연관성: 복소다양체(complex manifold)는 복소해석학에서 다루는 다양체의 복소해석적 버전인데, 대수다양체의 성질과 정리들 중 이 복소다양체의 연구에서 기원한 것이 많다. 장-피에르 세르(Jean-Pierre Serre)의 GAGA(Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique) 논문으로 복소다양체와 대수다양체가 거의 동일한 개체로 간주될 수 있음을 정립한 이후에는 복소기하에 대수기하적 방법을 도입하는 것이 보통이 되었다. 교과서 중에는 간혹 복소기하를 통해 대수기하를 접하게 하는 것들도 있다.
  • 계산 대수기하(computational algebraic geometry): 사실 대수다양체가 방정식을 만족하는 도형의 집합이므로 어쨌든 현실(?)에서의 연립방정식과도 밀접한 관련은 있다. 다항 연립방정식의 해를 실제로 컴퓨터를 이용해 존재성을 판정하고 계산하는 알고리즘을 주로 다루는 분야로, 어찌 보면 해석학과 수치해석 사이의 관계로도 볼 수 있다. 다만 실수 위에서의 대수기하인 실수 대수기하(real algebraic geometry)의 특성이 보통 대수기하에서와는 판이하게 다르기 때문에, 알고리즘 이외에도 고려해야 될 요소들이 늘어난다는 차이점이 있다.
  • 산술 기하(arithmetic geometry): 디오판토스 방정식, 즉 정수 혹은 유리수 위에서의 방정식에 대수기하학의 방법을 도입하여 연구하는 것이다. 어떻게 보면 유리수 연립방정식의 해는 대수다양체 위에서 좌표가 유리수인 점을 찾는 것으로 생각될 수 있다. 예로 곡선, 즉 $$f(x,y)=0$$ 꼴의 식에서 유리점의 개수는 기하학에 지대한 영향을 받는다는 사실이 밝혀졌고[7] 이 내용은 그 이상의 차원에 대해서도 일반화되었다. 대수기하학 정립 이전에 스리슬쩍 대수적 정수론의 전반에 자리잡았던 대수적 개념들이 대수기하가 들어오면서 새로운 기하학적 해석을 얻는 등, 이제는 방정식을 떠나고 보아서도 대수기하학은 정수론과 뗄레야 뗄 수 없는 관계가 되었다.
  • 기타 이산수학, 논리학 등에서 엉뚱해 보이는 분야들에도 대수기하가 튀어나오는 경우도 많다.

4.1. 대수다양체

자세한 내용은 대수 다양체 문서 참조
대수적인 방정식으로 정의되는 다양체이며 대수 기하학의 가장 중심적인 연구 대상 중 하나이다.

5. 관련 문서


[1] 다항식을 이루는 모든 단항식들이 같은 차수 $$d$$를 가지고 있는 다항식. 사영공간을 생각할 때 쓰는 사영 대수다양체(projective variety)는 이들 동차다항식의 근으로 이루어진 집합을 생각하고, 이들은 보통 기존 아핀 다양체의 '완전판'으로 생각된다. 즉 방정식의 해를 볼 때는 이들 동차다항식을 생각하는 것이 '전부' 볼 수 있는 것.[2] 예를 들어, 미분형식의 경우 켈러 미분(Kähler differential)이라는 일종의 대수적으로 정의된 미분을 사용하는데 이게 일반적으로 생각하는 미분과 달리, 미분을 정의하는 대상이 애초에 함수가 아니어도 된다! 거기다가 쓰임새 또한 일반적인 미분과는 다르다.[3] 쉽게 말해서 다항식의 집합 V에 대해서 V(S)=0이 되는 원소들의 집합을 닫힌집합으로 정의한 위상이다. 다만 이건 고전적인 정의이고 현대에는 환 R의 아이디얼 a에 대해서 a를 포함하는 소 아이디얼들의 집합을 닫힌집합으로 정의한다. 전혀 다른 정의 같지만 두 정의는 동치라는 내용이 학습을 하다보면 나온다.[4] 전문적인 예시를 들자면 대수학에서는 단순히 텐서곱의 유도함자(derived functor)가 사라지는 것으로만 보였던 평탄성(flatness)이, 대수기하학에서는 연속적인 매개변수에 따라 변하는 조건을 묘사하는 필수적인 조건으로 해석된다. 매끄러움을 묘사하는 데에 접평면 이외에도 필수적인 선결조건이 될 뿐만이 아니라, 평탄 사상(flat morphism)의 자체적인 범주만으로도 새로운 불변량을 만들어내는 의미가 있다.[5] 공간과 위상이 같아도 미분다양체의 부드러운 구조(smooth structure)가 다를 수 있다던지 등등의 사례가 있다.[6] 동형(isomorphic)이나 쌍유리형(birational) 등등[7] 곡선의 종수(genus)가 2 이상이면 유리점이 유한하다는 사실이 게르트 팔팅스(Gerd Faltings)에 의해 증명되었다. 종수 0은 이차곡선, 종수 1은 타원곡선에 대응된다. 이차곡선이 초등적으로 풀리는 이상 타원곡선이 주목을 받고 있는 다른 이유이기도 하다.

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