닮은꼴 함수
1. 개요
함수들 중에 그래프#s-2[1]의 개형이 비슷한 함수들을 기술한다. 여기서 비슷하다는 것은 함수의 그래프만 봐서는 다른 함수와 구별하기 어려운 것들을 말한다. 특히 다루는 함수가 적은[2] 중등교육과정에서 이런 함수들의 존재를 접하고 다항함수 추론에서 혼돈의 카오스를 일으키기도 한다. 이론물리학자의 경우 이론 전개에 닮은꼴 함수를 이용하기도 한다.[3]
닮은꼴 유명인, 닮은꼴 캐릭터, 닮은꼴 문자, 닮은꼴 한자 등의 선례를 들어 표제어를 '닮은꼴 함수'로 한다.
2. 목록
2.1. sin ∽ cos
가장 대표적인 사례로, 한쪽 함수를 $$x$$축으로 $$\pi/2$$만큼 이동하면 완전히 겹치기까지 한다.[4]
2.2. x² ∽ cosh
삼각함수 짝꿍과 더불어 유명한 혼동 사례. 구별법은 이차함수는 상대적으로 뾰족하고, 쌍곡선 코사인 함수는 상대적으로 둥글다. 그래프의 모양을 이르는 말도 다른데 전자는 포물선, 후자는 현수선이다.
2.3. tanh ∽ erf
[image]
아예 이걸 주제로 한 논문까지 나와 있을 정도로 닮은 함수이다.
2.4. ⌊x⌋ ∽ ⌈x⌉
서로가 서로를 점대칭으로 유도 가능한 관계[5]이기 때문에 닮은 함수라고 볼 수 있다.
2.5. sgn ∽ 𝑢
[5] $$\lfloor x \rfloor = -\lceil -x \rceil \Leftrightarrow \lceil x \rceil = -\lfloor -x \rfloor$$
헤비사이드 계단 함수가 부호 함수를 절반으로 줄여놓고 $$x$$축 위로 올려놓은 듯한 형태이며, 실제로도 이렇게 유도할 수 있다.
2.6. x³와 친구들(?)
어찌보면 '닮은꼴 함수' 중에서 가장 큰 지분을 갖고 있는 함수로, 몇가지 예만 보더라도 [math(\tan x)], [math(\sinh x)], [math({\rm artanh}\, x)], [math({\rm erfi}(x))], [math({\rm igd}(x))], [math({\rm Shi}(x))] 등이 있다. 이는 일변수함수 전체의 시각으로 보았을 때 가장 흔한 개형이라는 이야기이기도 하다.
3. 구별법
개형만으로는 구별하기 힘든 함수를 확실히 구별하는 쉬운 방법은 없다고 봐야 한다. 곧, 해석학의 도구를 사용해야 함을 의미한다.
- 증감표 이용: 사실 대부분의 경우에는 별로 도움이 되지 않는다. 닮은꼴 함수답게 증감표 역시 비슷하게 나오기 때문.
- 테일러 급수, 푸리에 급수 이용: 어느 정도 통할 수도 있는 방법이지만, 개형이 닮았다 보니 시행착오#s-3를 겪는 경우가 많다. 보통은 아래 방법과 병행해서 사용한다. 해석함수가 아닐 경우 쓸 수 없는 방법이다.
- 도함수, 역도함수 계산: 가장 확실한 방법으로, 닮은꼴 함수가 그 도함수 및 역도함수까지 닮았다고 보장할 수는 없기 때문이다.[6] 다만 미분이 불가능하거나, 독특한 성질을 갖는 함수에는 쓸 수 없다는 단점이 있다.
[6] 대표적으로 부호 함수와 헤비사이드 계단함수의 역도함수는 각각 ]와 $$x/2 + |x|/2 + {\sf const.}$$으로, $$x < 0$$ 영역에서 큰 차이가 난다.