AP 미적분학

 

AP Calculus AB/BC.
1. 개요
2. 내용
3. AB
4. BC
5. AP 전문 교사
6. 난이도


1. 개요

미국 칼리지 보드에서 주관하는 AP 과목 겸 시험. 일변수 함수의 심화된 미적분을 다루며, 한국의 교육과정 수준으론 미적분1, 미적분2, 고급수학2 정도가 해당된다.
미국에서 '동양계 학생들이 많이 이수'한다고 한다.

2. 내용

AB와 BC 두개의 레벨로 나뉘어져 있으며, BC 시험을 통과하면 보통 AB도 합격한 것으로 간주한다. 둘 다 극한 개념에서 시작해 AB는 보통 적분법과 극좌표계까지 다루고, BC는 미적분2 후반부+로피탈의 정리+테일러 급수+미분방정식+공학계산기+자연로그의 밑 [math(e)]의 성질 그리고 영어스킬 등을 하면 된다. 불가능한 수준은 '''전혀''' 아니므로 수학에 자신 있는 학생은 도전해볼 것.
AB의 경우는 그렇게 어렵지는 않다, 수학의 정석 미적분1을 할 줄 알고, 그걸 영문으로 이해 가능하다면 문과생들에게도 5점은 그다지 어렵지 않다.[1] 실제로 많은 미국 상위권 인문계 진학학생들은 AP Calculus 5점을 따고 상위권 대학에 입학한다.
'''하지만 문제는 BC.''' 많은 학생들/교사들/학원들이 잘 모르고 수학의 정석 미적분2를 마스터하면 BC 5점은 껌으로 아는데, 전혀 아니다. 물론 이것은 어디까지나 BC 문제를 전부 맞추고 싶은 학생들에게 해당되는 부분으로, 고난이도 주관식 문제는 그 중 뒷부분의 1~2개 정도다. 자신의 학교에서 AP를 가르치지 않는데 AP 미적분학을 볼 예정이라면 문제 스타일도 익힐 겸 칼리지보드에서 배포하는 주관식 문제를 풀어보자. 착실하게 미적분2를 공부한 이과생의 경우 고난이도 문제를 제외하면 유형 정도만 알면 된다.
AB는 고교 과정인 반면, BC는 대학 과정이기 때문에 난도가 만만치는 않다. 고교과정을 초월하기 때문에 한국 고등학교에서도 공식적으로 가르치지 않는 로피탈의 정리를 AP 미적분 BC에서는 버젓이 '''잘 사용하거라''' 하면서 가르쳐준다.[2] 증명 과정은 그냥 수박 겉핥기로 나와있을 뿐.[3] 함수에 대한 폭넓은 이해가 필수적이기 때문에 Precalculus나 삼각함수 등 이전과정을 제대로 못 이수하고 올라온 학생들은 상당히 어려움을 겪는다. 그나마 단순한 미분법은 외우면 되지만 응용과정으로 들어가면 망했어요가 절로 나오게 된다.

3. AB


4. BC

BC의 시험범위는 기본적으로 AB의 범위를 포함하며, 아래의 내용이 추가된다. 즉, AB는 BC의 부분집합이다.

5. AP 전문 교사

미적분이란게 함수와 식의 계산과는 다른 방식의 사고를 요하기 때문에 이걸 제대로 미국 수준의(...) 고등학생에게 이해시킬 수 있는 교사가 필요하고[4], 때문에 AP 미적분 교사들은 단순 교사 과정과 AP 인증 이외에도 석,박사학위등 수학 관련으로 특수 인증을 받은 사람들인 경우가 많다. 근데 같은 수학 교사 가운데서도 따돌림 당하는 경우가 있다고 한다.(...)[5]

6. 난이도

시험 난이도는 AP 과목 기준으로 양호한 편이고, 일단 착실히 가르치는 것 따라가면 5점 만점도 어렵지 않다. 특히 BC의 경우 5점이 전체의 40% 이상을 차지한다고.(2015년에는 44%)[6] 다만, AB는 2015년 기준 24.1%로 그 절반에 불과하다는 게 뭔가 신기한 점. 이에 보충설명을 하자면 AB과목은 문과생, 이과생 들중 pre-calculus를 끝낸 학생들이 대거 선택하기 때문에 pre-calculus 과목을 마스터 하지 못한 학생들이 점수를 낮게 받게되는 것이고, BC과목은 비교적 AB 과목보다는 수학에 흥미가 있고, 수학을 더 잘하는 학생들로 구성되어 있기 때문에 과목 난이도가 AB 보다 어렵더라도 좋은 결과를 내는 것이다. 가끔씩 6문항으로 이루어진 주관식 부분에 괴랄한 난이도의 문제가 등장하는 경우가 있지만, 이럴 땐 칼리지보드가 새로운 유형의 문제를 시험하고 있다는 뜻이니 너무 당황하지는 말자. 다른 학생들도 못 푼다(...). (사실 괴랄한 난이도의 문제는 등장하지 않는다.) 시험을 잘 보기 위해서는 물론 개념에 충실하고 연습문제를 많이 풀어봐야 하지만, 계산기를 잘 다뤄야 한다. 문제를 풀다보면 가끔씩 복잡한 계산기사용법을 요구하는 문제들이 나오기도 한다.
시험의 구성은 객관식 Part A 30문항 60분, Part B 15문항 45분, 주관식 Part A 2문항 30분, Part B 4문항 60분으로 이루어져 있으며 객관식 Part B와 주관식 Part A에서만 계산기 사용이 가능하다. 단, 주관식 Part B 시간에 계산기 없이 주관식 Part A 문제를 푸는 것은 가능하다. 이유는 불명. 하지만 계산기를 쓰지않고서는 주관식 part A 문제를 풀기에 제약이 크다. FRQ part B section 을 가만 살펴보면 역대 기출문제들의 유형이 몇가지로 추려진다. 시험보기전 FRQ 기출을 꼼꼼히 플어보고 문제풀이를 이해한다면 만점을 받을수 있다. 급할때는 이해가 되지않는 문제들의 풀이를 외우는것도 성적 향상에 도움이 될 수 있다.
Calculus BC를 보면 Calculus AB 점수도 'sub-score' 로 나온다. 이 sub-score 은 AB를 보았을 때의 예상점수를 알려주는 것으로, 이것도 대학에 낼 수 있다. 예를 들어 BC 4점, AB sub-score 5점이 나왔을 경우, 본인이 원하면 AB 5점을 대학에 낼 수도 있다. 3점 이상이므로 학점은 둘 다 얻을 수 있지만서도.[7][8]
2008년도 BC급 시험 주관식 6번은 특히 악명이 높다. 언젠가부터 BC 시험 FRQ 6번은 무조건 테일러 급수 문제가 나온다.

6. dy/dt = y/8 (6-y)는 로지스틱 미분방정식이다. y = f(t)가 이 방정식의 특수해라 가정할 때, f(0) = 8이다.
a) 이 방정식의 기울기장(slope field)이 아래에 주어져 있다. (3,2)와 (0,8)을 지나는 가능한 해의 곡선을 스케치하시오.
b) 오일러 방법을 이용하여 f(1)을 추정하시오. t=0을 초기값으로 하고 2개의 동일한 크기의 간격을 사용할 것.
c) t=0 주변 f의 2차 테일러 다항식을 구하시오. 또한 다항식을 이용하여 f(1)을 추정하시오.
d) t>0일 때 f의 공역을 말하시오.
보다시피 한 문제를 푸는 데 로지스틱 방정식의 적분과 오일러 방법, 테일러 급수까지 아주 고루 사용해야 한다.(...) 보통 로지스틱과 오일러는 한 문제에 같이 출제되지만 테일러는 따로 나오는데 이뭐;;; 그나마 다행으로, 이 해에는 극좌표계 주관식 문제가 출제되지 않았다.
2010년 5월 5일 시행된 2010년도 BC급 시험에서도 6번 문제가 수많은 학생들의 발목을 잡았다.[9](편의상 문체를 약간 요약함과 동시에, 대괄호와 정적분 등 제대로 나타낼 수 없는 기호는 따로 표기하였다.)

$$f(x)$$는 미분 가능한 함수이며 $$x=0$$일 때 $$f(x) = -1/2, x=0$$이아닐 때 $$f(x) = \frac{\cos x - 1}{x^{2}}$$로 정의되어 있다. $$g$$를 $$g(x) = 1 + \displaystyle \int_{0}^{x}f(t) \mathrm{d}t$$로 정의하자.
a) $$x=0$$ 주변 $$\cos x$$의 테일러 급수 중 처음 3개의 항과 일반항을 구하시오. 또한 이 급수를 이용하여 $$x=0$$ 주변 $$f$$의 테일러 급수 중 처음 3개의 항과 일반항을 구하시오.
b) 위에서 구한 $$f$$의 테일러 급수를 이용하여 $$x=0$$에서 $$f$$가 극대값 또는 극소값을 갖는지 혹은 둘 다 갖지 않는지의 여부를 구하시오.
c) $$x=0$$ 주변 $$g$$의 '''5차''' 테일러 다항식을 구하시오.
d) $$x=0$$ 주변 $$g$$의 테일러 급수에 $$x=1$$을 대입하면 각 항의 0에 대한 절대값이 감소하는 교대급수가 된다. $$x=0$$ 주변 $$g$$의 3차 테일러 다항식를을 이용하여 $$g(1)$$의 값을 추정하시오. 또한 왜 이 추정값이 $$g(1)$$의 실제 값과 $$\frac{1}{6!}$$이하의 차이를 갖는지 설명하시오.

이 문제가 출제된 날, 안 그래도 전국적으로 AP 장난 기간이던 미 고교생들은 2010년 테마인 "카니예 웨스트 사건"에 맞춰 "Yo Calculus BC testers, I'm real happy for you and Imma let you finish, except I'm really not because FRQ #6 is hard as f*ck"등의 드립을 신나게 쳐댔다.(...)[10]
5월 5일에 치뤄진 2016 International BC FRQ는 역대급으로 쉬운 난이도를 자랑하였다. 앞서 서술된 문제들과 다르게 2016년 문제들은 대체로 복합적으로 풀 필요가 없었으며 개념별로 각개격파가 가능하였다. 때문에 5점 비율은 48.4%다.
2017년 AP 시험역시 난이도가 매우 쉬웠다. 복합적으로 풀 필요가 없는 것은 물론이고 숫자도 더럽지 않고 깔끔했다.
[1] 단, 미적분1에 없는 것도 있으니 주의.(치환적분, 부분적분, 초월함수의 극한과 미적분 등) 물론 일찍이 이민이나 유학을 왔다면 예외. 객관식은 그나마 쉽지만, 주관식(FRQ)은 상당히 어렵다.[2] 사실 이건 AB과정에서도 배운다.증명 과정은 배우지 않지만 상당히 쓸모있다.[3] 원래 미적분학 수준에서 로피탈은 겉핥기 수준의 증명밖에 할 수 없다. 엄밀한 증명이 궁금하다면 수학과 전공과목인 해석개론 혹은 해석학을 보도록 하자.[4] 이쪽 나라는 미적분을 암산으로 계산하면 수학의 신 취급을 받는(...) 나라라는 것을 생각하자. 근데 솔직히 AP Calculus BC에 도전할 정도면 한국 고등학생과 수준차이 그렇게 크게 나진 않는다. 정작 암산하면 직접 푼 증거가 없다고 점수를 안준다. 한국의 고등학생들과 선생들은 조금만 연습하면 미분 암산 정도는 어렵지 않게 할 수 있다. 부분적분이 문제긴 한데, 가끔 가다가 부분적분마저 암산하는 굇수가 있다.[5] 한국을 예로 들자면 자신은 허접한 수능준비 수업에다 미적분 가르칠때도 몇개 틀려먹고 전공내용은 임용때 그저 무식하게 암기로 때려박아 다 까먹었는데 쟤네(AP)는 수업 때 고급내용 언급은 기본이요, 토론수업이나 지오지브라같은 별 휘황찬란한 걸 준비해놔서 그걸로 수업하고 심지어 전공으로 석, 박사까지 따니 그저 질투나고 하는게 모조리 허세로 보이는 것이다. 즉, 자기보다 잘났다는게 따돌림 시키는 이유다.(...) 그냥 답이 없다... 단, 영재학교, 과학고 교사들은 예외. 여기는 해당 과목 교사들이 돌아가면서 하는 경우가 대부분이다.(이미 다수의 교사들이 석사 이상의 학위를 가지고 있으므로 누가 가르치든 문제가 없다.)[6] 단, 모든 문제를 다 맞추겠다고 하면 이야기는 달라지는데, Calculus BC는 평균적으로 가장 적은 학생들이 100%를 맞는 과목으로, 전 세계에서 5명 이내가 그 점수를 획득한다는걸 볼 때 먼치킨 난이도임을 대충 짐작 가능할 것이다.[7] 다만, 학점을 얻더라도 대학 입학을 하면 그냥 다시 배워라 하는 경우가 많아서 썩 도움은 안 될 지도 모른다.[8] 학점인정을 위해선 보통 추가의 시험을 응시해야하는 경우가 대부분이다.[9] 선다형 문제들이 칼리지보드 규정상 영구적으로 발설 금지되어있는 것과 달리(선다형 문제를 구하고 싶다면 돈을 주고 사야 한다.) 주관식은 48시간 이후에는 문제가 없고, 문제 자체도 3~4일만에 문제를 공개한다. 출제 48시간 이후 주관식 문제를 공개하는 것은 문제가 없다.[10] Calculus BC에서 문제를 꼬아서 내는 편인데, 이 문제는 특히 적분의 성질을 가지고 수많은 고등학생들을 상큼하게 엿먹였다.


분류