계산자
計算尺(계산척)
slide rule
다만 일반적으로 덧셈이나 뺄셈은 하지 못한다. 당연히 일반 자처럼 길이를 재거나 직선을 긋는데도 쓰기 부적절하다.
어디서 많이 본 공구와 비슷하게 생겼다고 생각하는 사람도 있을 텐데, 실제로 버니어 캘리퍼스와 비슷한 구조이다.
1970년대 이전에는 고등학교에서 계산자의 원리에 대해 배웠다.
1614년 수학자 존 네이피어가 로그를 창안한 이후, 1620년 영국의 에드먼드 건터가 로그 눈금자를 이용한 기초적인 건터자를 만들었다. 1630년에는 영국의 수학자 윌리엄 오트레드(William Oughtred)[2]가 처음으로 슬라이드가 있는 계산자를 발명했다. 이후 개량을 거듭하다가, 프랑스의 포병 장교이자 에콜 폴리테크니크의 교수였던 아메데 마넴(Amédée Mannheim)이 1859년경 처음으로 현대적인 형태의 계산자를 만들어 자국의 포병부대에 보급[3]하였다.
이후에도 여러 개량을 거치면서 20세기 중반까지 잘 쓰였다. 파버카스텔, 스테들러 등 문구 업체에서도 계산자를 생산했다. 당시 공대생들에겐 재산목록 1호이자 현재의 공학용 계산기의 위치에 있었다.[4] 오래전 공학 교재의 솔루션을 보면 계산기로 푼 것과 값이 조금 다른 경우가 있는데, 계산자를 써서 반올림 오차가 생긴 경우다. 당시에도 사칙연산이 가능한 기계식 계산기가 있었음에도 계산자가 사용되었던 이유는 값이 적당하고 휴대가 가능하면서 아주 큰 수 및 작은수의 계산도 가능하고 삼각함수 및 지수, 로그함수 계산이 모두 가능한 도구가 계산자밖에 없었기 때문이다.
아폴로 계획에서도 당연하지만 계산자가 사용되었다. 우주선 설계는 당연하고, 계획의 진행에서도 사용되었다. 영화 아폴로 13에서, 사고로 인해 사령선에서 달착륙선으로 위치 데이터값을 옮기는데, 두 우주선은 제작사도 다르고 형태가 다른 관계로 위치기준값을 변환시켜줘야 하는 상황이 생긴다. 우주선에서는 이걸 사람 머리로 계산하고[5] 지상에서 우주인이 계산한 결과값을 전달 받은 후, 지상 연구원 3명이 재계산을 해서 값의 정확도를 체크하였다. 이때 계산자가 등장한다.
1972년에 휴렛팩커드에서 최초의 휴대형 공학용 계산기 HP-35를 출시하자 급격하게 도태되었다. 1976년에는 TI에서 당시 25달러로 일부 고급 계산자보다도 싼 TI-30을 출시한다. 결국 1976년 7월 11일 K&E에서 마지막 계산자를 생산한 것을 끝으로 계산자는 단종되었다.#[6] 오늘날 계산자는 eBay 같은 중고상점에서나 구할 수 있으며, 수집가의 수요 정도만 남아있다. EMP 아포칼립스 수준의 재난이 아니면 계산자가 다시 전면에 나설 일은 없을 것이다.
크게 직선형과 원형, 실린더형이 있는데, 대개 계산자라고 하면 직선형으로 된 것을 가리킨다.
직선형은 이 문서 맨 위의 사진에 나오다시피 몸체가 되는 어미자(Body)와 움직이는 아들자(Slide)로 이루어져 있고 이를 감싸며 움직이는 투명한 커서가 있다. 커서에는 얇은 헤어라인이 그어져 있다.
다양한 눈금이 있어서 용도에 맞게 사용된다. 다양한 눈금이 곧 다양한 계산을 할 수 있는 것이기 때문에 고급형은 양면 빼곡하게 눈금들로 가득 차 있다.
원형 계산자엔 크게 싱글라인, 동심원형, 나선형이 있다. 직선형보다 더 컴펙트하면서 동등하거나 그 이상의 정밀도를 제공할 수 있는 장점이 있다. 다만 2차원으로 찾아야 되기 때문에 값을 찾기가 힘들고 동심원 안쪽으로 갈수록 읽기가 힘들어지는 것이 단점이다. 직선형 자는 70년대에 모두 단종되었지만 원형 계산자는 아직까지 일본의 Concise사에서 생산되고 있다.(좌측 사진) 필요하다면 아마존 재팬에서 직구할 수 있다.로그-로그 모델
원형 계산자의 심화발전형. 긴 눈금을 실린더에 나선형(Helical)으로 말아놓은 것이다. 이쪽은 눈금을 찾는데 3차원으로 돌려봐야된다. 사진의 풀러 모델의 눈금은 총 '''12.6m''' 길이로, 4.7에서 5자리의 유효숫자를 제공한다.
로그 스케일의 특성상 앞쪽 부분은 널널하고 뒷쪽으로 갈수록 빽빽해지기 때문에 구간별로 눈금의 간격이 다르다. 표준적인 10인치 계산자(눈금 길이 25cm)는 아래의 규칙을 따른다.
계산자의 정밀도는 보통 유효숫자 3자리 수준이다. 예를 들어 1232은 15129지만 계산자에서는 '약 15100'으로 읽을 수밖에 없다. 부족하다면 부족해보지만 이는 오차 0.19% 수준으로 실제 20세기 중후반까지는 공학에 적용하기에도 무리가 없는 수준이다. 이 정도 계산으로도 인간을 달에 보냈다![13]
특정 상황에선 보간법, 추정, 눈대중 등으로 더 아랫자리까지 측정할 순 있다. 일반적인 경우엔 자가 길수록 더 정밀하게 측정할 수 있다. 길이별 유효숫자 계산치(영어) 더 길고 촘촘한 눈금을 위해 일반적인 10인치 대신 20인치 이상인 대형자를 사용하거나, 파버 카스텔 2/83N처럼 C, D 눈금보다 길이가 2배가 되는 W1, W2눈금을 채용하기도 했다. 더 나아가면 Hemmi 200처럼 C와 D 눈금을 6줄에 걸쳐서 쓰기도 했다. 하지만 유효숫자를 확실하게 늘리기 위해선 자가 정말로 길어져야 한다. 유효숫자 한 자리 더 늘리려면 길이를 '''10배'''로 늘리고 눈금을 10배로 박아넣는 수밖에 없다. 직선형 계산자를 이정도로 늘리는 것은 무리였기 때문에 이를 위해 원형 계산자, 실린더형 계산자가 등장했다. 눈금의 길이와 정밀도에 대한 페이지(영어)
오늘날 눈금이 가장 긴 계산자는 2012년에 개인이 만든 Eximius Diu 6로, '''175 m'''짜리 눈금을 30인치 원형자에 감아놓았다. 모든 구역에서 유효숫자 6자리까지 제공한다. 여기에서 모양을 확인하고 설계도를 다운받을 수 있다.
곱셈에는 C와 D 눈금을 사용한다. C/D 눈금은 전체를 1부터 10까지 10개의 구간으로 나눈 눈금이다.
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계산을 수행하다 보면 읽고 싶은 값이 눈금 범위 밖에 있는 경우(Off the scale)가 있다. 예를 들어 위 그림에서 '''2×7'''을 읽고 싶다고 하자. 하지만 C의 7이 가리키는 값은 D 눈금의 범위 밖에 있어 읽을 수가 없다. 이 경우에 사용할 수 있는 몇 가지 방법이 있다.
나눗셈도 C와 D 눈금을 사용한다.
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A와 D 또는 B와 C 눈금을 사용한다. A/B 눈금은 일반 로그눈금(C,D)를 반으로 줄인 뒤 두 개를 붙여놓은 것이다.
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C/D와 K 눈금을 사용한다. K눈금은 일반 로그눈금을 1/3로 줄인 뒤 세개를 붙여놓은 눈금이다.
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눈금에 I가 붙은 눈금은 좌우가 반대로 되어 있는 눈금으로 원래 눈금의 역수 관계이다. $$\log(\frac{1}{x}) = \log(x^{-1}) = -\log(x)$$이기 때문이다.
'''2의 역수'''를 구한다고 하면,
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S, T, ST 눈금을 사용한다.
결과의 자릿수에 따라 sin(5.7°[17]) = 0.1부터 sin(90°) = 1까지는 S와 T눈금, sin(0.57°) = 0.01부터 0.1까지는 ST눈금을 사용한다.
각도가 아주 작을 땐 rad ≒ sin(°) ≒ tan(°)이므로 하나의 눈금자만 사용해서 사인과 탄젠트를 모두 구할 수 있다. ST눈금은 0.6° ~ 5.7° 범위의 탄젠트 겸 사인 값이 표시되어 있으므로 이 눈금에 커서를 맞춘 뒤 C눈금의 값을 읽는다.
0.6° 보다 더 작은 각도는 그냥 라디안으로 변환시켜주면 된다. 아래의 변환법 참고.
S눈금을 사용한다.
탄젠트(와 코탄젠트)는 T눈금을 사용하는데, 탄젠트의 범위가 큰 관계로 45°를 기준으로 T1과 T2 두 개의 눈금으로 나뉘어져 있다. 각도에 따라 적절한 눈금에 커서를 맞추고 D의 값을 읽는다.
코탄젠트는 cot (x) = tan(90° - x)라는 성질로 구할 수 있다. 정의대로 탄젠트의 역수를 구해도 된다.
일부 계산자는 탄젠트 눈금이 T 하나만 있다. 이 경우 45° 이상의 탄젠트 값은 tan(x) = 1/tan(90° - x) 공식을 통해서 구할 수 있다. T에서 90° - x 를 맞춘 뒤 DI 눈금을 읽는다.
84°보다 큰 값은 너무 빠르게 발산하기 때문에 T 눈금의 커버 범위를 벗어난다. 이론적으로 T3를 만든다면 84°에서부터 arctan(100)≒89.4°까지 커버할 순 있다. 하지만 ST 눈금에 위의 공식을 적용해서 구할 수 있기 때문에(예: tan(89°)는 ST에서 tan(1°)를 구하고 역수를 취한다.) 실제로 쓰이진 않았다.
실용적인 이유로 계산자의 각도 단위는 도(°)를 사용한다. 이를 라디안으로 변환하기 위해선 $$\frac{\pi}{180} \approx 0.0175$$를 곱해주면 된다. 다행히도(?) 몇몇 계산자는 이 값이 따로 눈금에 표시되어 있으니 바로 사용하면 된다. (1.7~1.8 사이에 있다. 100배 된 값이니 마지막에 1/100을 해줘야한다.)
반대로 라디안 → 도 변환은 $$\frac{180}{\pi} \approx 57.3$$을 곱해준다. 위에 표시된 눈금의 역수를 구하면 되므로 따로 외울 필요는 없다.
작은 각도(보통 ST 눈금이 커버하는 0.6° ~ 5.7°)는 rad ≒ sin(°) ≒ tan(°)이므로 ST 눈금을 바로 읽어도 된다. 이 때문에 ST를 SRT라고 쓰는 계산자도 있다.
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D와 L눈금을 사용해 계산한다. L 눈금은 눈금 간격이 일정한 선형 눈금자로, 로그 눈금인 D를 통해 선형눈금 L을 읽으면 (상용)로그를 구하는 효과가 있게 된다. 학문적으로는 자연로그를 더 많이 쓰지만 실용적인 이유로 계산자는 상용로그가 메인이다.
어떤 계산자는자연로그를 구할 수 있는 Ln눈금이 따로 존재하는 경우도 있다. 하지만 LL 눈금이 있는 경우 이를 통해 바로 자연로그를 구할 수 있기 때문에 흔하지는 않다. L과 Ln을 둘 다 제공하는 모델을 Dual base라고 한다.
임의의 밑수를 가진 로그는 $$\log_{a}{b} = \frac{\log b}{\log a}$$임을 이용해 구하거나 LL눈금을 사용해 거듭제곱의 역연산을 통해 구한다.
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로그-로그 눈금은 로그의 로그값을 표시한 눈금이다. 값의 범위에 따라서 다양한 눈금들이 있다.
보다시피 다 넣으면 자가 매우 두꺼워지기 때문에 보통 양면(duplex) 모델 같은 고급형에나 들어가거나 일부 눈금이 생략되기도 한다. LL0과 D 눈금을 통합시킨 모델도 있다. 숫자 앞에 1.00이 붙어있는 것으로 간주하고 읽는다.[19] LL0x눈금들이 통째로 생략되는 경우도 있는데, LLx의 역수관계임을 이용해 값을 구할 수 있다.
LL 눈금에 대한 이론은 1815년에 발명되었다. 지수를 계산할 때 사용하지만, 제곱근은 지수의 역수이고, 로그는 지수의 역연산인 특성상 굉장히 다양한 연산에 사용될 수 있다.
스케일에 영향을 받지 않는[20] 다른 눈금들과는 다르게 LL눈금들은 쓰여진 값만을 나타낸다. 대부분의 모델에서 LL 눈금의 밑수는 e이지만 Pickett N4 같은 경우 10을 밑수로 한다. 최대 e10≒22000까지 계산할 수 있는 다른 모델에 비해 최대 1010까지 계산할 수 있다. 물론 유효숫자 1~2자리 수준으로 정밀도는 기대할 수 없다.
별도의 눈금이 제공되는 2, 3제곱을 포함한 임의의 n제곱과 제곱근을 구할 수 있다. n이 정수 뿐 아니라 소수일 경우에도 가능하다는 것에 유의.
ex를 역으로 계산하면 자연로그 ln(x)를 구할 수 있다.
커서는 자의 바디에서 움직이며 눈금을 정확히 읽는 것을 도와주는 역할을 한다. 커서에는 얇은 직선이 그어져 있는데 이를 헤어라인(Hairline)이라고 하고 여기에 눈금을 맞춘다. 그런데 어떤 모델은 Cursor Marks라는 보조 헤어라인들이 그어져 있는 경우가 있다. 특정 계산을 더 간편하게 하기 위한 용도로 쓰인다. 참고 이하의 예시는 상단 그림에 있는 파버카스텔 모델의 커서를 기준으로 한다.
지름(diameter)이 x인 원의 넓이를 구하기 위해서는 C/D에서 x를 찾아 d에 맞추고 왼쪽 위의 s 라인에 있는 A/B의 값을 읽으면 된다.
두 라인의 거리차는 C 눈금을 기준으로 $$\displaystyle \sqrt{\frac{\pi}{4}}$$가 되는데, 지름에 대한 원의 넓이의 공식은 $$\displaystyle \frac{\pi}{4}d^2 = (\sqrt{\frac{\pi}{4}}d)^2$$가 되어 지름에 $$\displaystyle \sqrt{\frac{\pi}{4}}$$를 곱한 값을 제곱하면 원의 넓이가 나오기 때문이다.
kW눈금과 HP/PS 눈금 중 한 곳에 값을 맞추고 다른쪽 눈금을 읽으면 마력-와트 간의 변환이 가능하다. 두 눈금의 차가 변환상수 크기이기 때문이다.
야드파운드법의 마력(HP)인지, 미터법의 마력(PS)인지에 따라 값이 다르기 때문에 미국과 유럽의 자는 이 부분이 너비가 다르다. 오늘날에야 마력이 엔진 출력 같은 제한된 용도로만 사용되지만, 계산자가 쓰였던 당시만해도 마력이 자주 쓰였기 때문에 필요했던 기능이다.
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비례식 a:b = c:?를 구하고 싶을 땐 C와 D에 a와 b를 맞추고 c를 찾으면 된다. 예를들어 '''2:4 = 3:x'''를 풀고 싶을 땐 CD를 2와 4에 맞추고 C에서 3을 찾아 D에서 해당하는 값을 읽는다.(='''6''')
이 방식으로 인치-센티미터 등 단위 변환이 가능하다. 두 단위의 비례관계를 알고 있다면(1inch = 2.54cm) 위의 방식으로 원하는 값을 변환할 수 있다. 이를 위해 부록으로 단위변환 카드가 들어있거나 뒷면에 쓰여있는 경우가 많다.
여러 연산이 엮인 계산의 경우, 슬라이드를 여러번 옮겨 계산할 경우 시간이 오래 걸려 비효율적이고, 실수 또는 오차가 누적될 수 있다. 따라서 슬라이드를 최대한 적게 움직이는 계산법이 유용하다.
$$\displaystyle \frac{2 \times 6}{4}$$처럼 곱셈과 나눗셈이 같이 있는 계산을 일반적인 순서대로 풀어보자.
나눗셈 없이 곱셈만 연속되어 있는 경우: 곱셈 문단에서 CI와 D 눈금을 사용해서 나눗셈을 하는 방식으로 곱셈을 하는 방법을 소개했는데, 이 방법을 이용한다.
기타 곱셈, 나눗셈, 2, 3제곱 및 제곱근, 역수 등이 엮여 있는 계산들도 A B C D K xI xF 눈금들을 조합해서 간단하게 풀 수 있다. 눈금 종류가 많은 계산자일수록 이런 복잡한 계산을 빠르게 끝낼 수 있다. 예를들어 $$\displaystyle \frac{1}{x^2}$$ 꼴의 경우, 커서를 CI 눈금의 x에 맞추고 A를 읽으면 슬라이드 이동 없이 바로 구할 수 있다. 더 다양한 모양의 식들과, 이때 어떤 눈금들을 이용해야되는지는 이곳을 참고.
2차 방정식 x2+bx+c=0의 근을 구할 수 있다. 출처.
먼저 식의 두 근을 u, v라고 할 때,
임을 알 수 있다. 따라서 u+v = -b, uv = c가 된다. 이 성질을 이용해서 구한다.
예를 들어, '''x2+10x+15=0'''의 해를 구해보자.
그 외에 x3-px+q=0, x4-px+q=0, x4-px3+q=0 꼴의 방정식도 풀 수 있다. 출처
직교형식 $$a+bi$$의 복소수 표기를 극형식 $$r\cos(\theta)+ri\sin(\theta)$$ 또는 지수형식 $$re^{i\theta}$$으로 변환할 수 있도록 r과 θ를 구할 수 있다.
'''7.2+4.5i'''를 지수형식으로 변환해보자. $$\tan(\theta) = \frac{b}{a}$$임을 이용한다.
일반적으로 계산자는 덧셈과 뺄셈은 계산할 수 없지만 수학적인 트릭을 통해 덧뺄셈을 곱셈과 나눗셈으로 변환해서 계산할 수'''는''' 있다.
더하기 빼기 1은 암산으로 한다고 쳐도 나눗셈, 곱셈을 각각 한 번씩 해야 하기 때문에 어지간하면 '''그냥 손으로 계산'''하는게 더 정확하고 효율적이다.
Pickett Microline 115처럼 덧셈과 뺄셈을 할 수 있도록 특수한 눈금을 넣은 모델도 있었으나, 흔한 것은 아니다.
어떤 계산자는 뒷면에 Addiator(덧뺄셈을 할 수 있는 서양식 주판) 또는 '''전자계산기(!?)'''를 부착하기도 했다.파버카스텔 67/54 RB와 파버카스텔 TR 시리즈
slide rule
1. 개요
"Dad says that anyone who can't use a slide rule is a cultural illiterate and should not be allowed to vote. Mine is a beauty - a K&E 20-inch Log-log Duplex Decitrig."
아버지는 계산자를 쓰지 못하는 사람은 문맹이므로 투표권을 줘서는 안된다고 하셨어. 내껀 K&E 20인치 Log-log Duplex Decitrig[1]
, 끝내주는 모델이지.
로버트 하인라인, 우주복 있음 - 출장 가능(1958) 중
'''아날로그 시대의 공학용 계산기'''. 아날로그식 계산기의 일종으로 로그의 원리를 이용하여 곱셈과 나눗셈, 제곱근, 로그, 삼각함수 등의 근사값을 계산할 수 있는 도구이다."많은 어려운 계산을 수행해야 하는 계산수는 보통 계산자를 가지고 있습니다."
Pickett사 계산자의 메뉴얼 중
다만 일반적으로 덧셈이나 뺄셈은 하지 못한다. 당연히 일반 자처럼 길이를 재거나 직선을 긋는데도 쓰기 부적절하다.
어디서 많이 본 공구와 비슷하게 생겼다고 생각하는 사람도 있을 텐데, 실제로 버니어 캘리퍼스와 비슷한 구조이다.
1970년대 이전에는 고등학교에서 계산자의 원리에 대해 배웠다.
2. 역사
1614년 수학자 존 네이피어가 로그를 창안한 이후, 1620년 영국의 에드먼드 건터가 로그 눈금자를 이용한 기초적인 건터자를 만들었다. 1630년에는 영국의 수학자 윌리엄 오트레드(William Oughtred)[2]가 처음으로 슬라이드가 있는 계산자를 발명했다. 이후 개량을 거듭하다가, 프랑스의 포병 장교이자 에콜 폴리테크니크의 교수였던 아메데 마넴(Amédée Mannheim)이 1859년경 처음으로 현대적인 형태의 계산자를 만들어 자국의 포병부대에 보급[3]하였다.
이후에도 여러 개량을 거치면서 20세기 중반까지 잘 쓰였다. 파버카스텔, 스테들러 등 문구 업체에서도 계산자를 생산했다. 당시 공대생들에겐 재산목록 1호이자 현재의 공학용 계산기의 위치에 있었다.[4] 오래전 공학 교재의 솔루션을 보면 계산기로 푼 것과 값이 조금 다른 경우가 있는데, 계산자를 써서 반올림 오차가 생긴 경우다. 당시에도 사칙연산이 가능한 기계식 계산기가 있었음에도 계산자가 사용되었던 이유는 값이 적당하고 휴대가 가능하면서 아주 큰 수 및 작은수의 계산도 가능하고 삼각함수 및 지수, 로그함수 계산이 모두 가능한 도구가 계산자밖에 없었기 때문이다.
아폴로 계획에서도 당연하지만 계산자가 사용되었다. 우주선 설계는 당연하고, 계획의 진행에서도 사용되었다. 영화 아폴로 13에서, 사고로 인해 사령선에서 달착륙선으로 위치 데이터값을 옮기는데, 두 우주선은 제작사도 다르고 형태가 다른 관계로 위치기준값을 변환시켜줘야 하는 상황이 생긴다. 우주선에서는 이걸 사람 머리로 계산하고[5] 지상에서 우주인이 계산한 결과값을 전달 받은 후, 지상 연구원 3명이 재계산을 해서 값의 정확도를 체크하였다. 이때 계산자가 등장한다.
1972년에 휴렛팩커드에서 최초의 휴대형 공학용 계산기 HP-35를 출시하자 급격하게 도태되었다. 1976년에는 TI에서 당시 25달러로 일부 고급 계산자보다도 싼 TI-30을 출시한다. 결국 1976년 7월 11일 K&E에서 마지막 계산자를 생산한 것을 끝으로 계산자는 단종되었다.#[6] 오늘날 계산자는 eBay 같은 중고상점에서나 구할 수 있으며, 수집가의 수요 정도만 남아있다. EMP 아포칼립스 수준의 재난이 아니면 계산자가 다시 전면에 나설 일은 없을 것이다.
3. 형태
크게 직선형과 원형, 실린더형이 있는데, 대개 계산자라고 하면 직선형으로 된 것을 가리킨다.
3.1. 직선형
직선형은 이 문서 맨 위의 사진에 나오다시피 몸체가 되는 어미자(Body)와 움직이는 아들자(Slide)로 이루어져 있고 이를 감싸며 움직이는 투명한 커서가 있다. 커서에는 얇은 헤어라인이 그어져 있다.
다양한 눈금이 있어서 용도에 맞게 사용된다. 다양한 눈금이 곧 다양한 계산을 할 수 있는 것이기 때문에 고급형은 양면 빼곡하게 눈금들로 가득 차 있다.
- 특화된 기능에 따라 특수한 눈금들이 있는 경우도 있다. 화학용 같은 경우엔 섭씨-화씨 변환 눈금과 원소들의 원자량 눈금이 있고, 전기공학용의 경우 전압강하를 계산하는 눈금이 있는 식이다.
3.2. 원형
원형 계산자엔 크게 싱글라인, 동심원형, 나선형이 있다. 직선형보다 더 컴펙트하면서 동등하거나 그 이상의 정밀도를 제공할 수 있는 장점이 있다. 다만 2차원으로 찾아야 되기 때문에 값을 찾기가 힘들고 동심원 안쪽으로 갈수록 읽기가 힘들어지는 것이 단점이다. 직선형 자는 70년대에 모두 단종되었지만 원형 계산자는 아직까지 일본의 Concise사에서 생산되고 있다.(좌측 사진) 필요하다면 아마존 재팬에서 직구할 수 있다.로그-로그 모델
- 싱글 턴(Single turn): 원 하나가 한 종류의 눈금. 직선형을 한바퀴 감은 것이라고 생각하면 된다.
- 동심원(Concentric)/나선형(Spiral): 하나의 눈금이 여러 줄에 걸쳐서 있다. 계산의 유효숫자를 늘리기 위해 계산의 편의를 위한 다양한 눈금들을 모두 제거하고 하나의 긴 눈금만 남겨놓은 형태이다. 아래의 정밀도 문단을 보면 유효숫자를 늘리기 위해선 결국 눈금자가 길어지는 수 밖에 없다고 되어 있는데, 그걸 직선으로 놓을 수는 없으니 원형으로 둘둘 말아놓은 것. 계산은 계산자 발명 이전에 쓰였던 건터자[10]처럼 한다. 두 개의 커서가 디바이더의 역할을 한다. 우측사진의 Gilson Atlas는 50피트(15.2m) 눈금을 말아놓았다.
3.3. 실린더형
원형 계산자의 심화발전형. 긴 눈금을 실린더에 나선형(Helical)으로 말아놓은 것이다. 이쪽은 눈금을 찾는데 3차원으로 돌려봐야된다. 사진의 풀러 모델의 눈금은 총 '''12.6m''' 길이로, 4.7에서 5자리의 유효숫자를 제공한다.
4. 사용법
4.1. 눈금 읽는 법
로그 스케일의 특성상 앞쪽 부분은 널널하고 뒷쪽으로 갈수록 빽빽해지기 때문에 구간별로 눈금의 간격이 다르다. 표준적인 10인치 계산자(눈금 길이 25cm)는 아래의 규칙을 따른다.
- 1과 2 사이의 눈금은 한칸이 0.01이다. 0.05마다 중간 눈금, 0.1 마다 큰 눈금+숫자로 표시되어 있다.
- 2부터 4까지의 눈금은 한 칸이 0.02이다. 0.1, 0.5마다 각각 중간 눈금, 큰 눈금으로 표시되어 있다.
- 4부터 10까지의 눈금은 0.05단위이다. 0.1, 0.5마다 각각 중간 눈금, 큰 눈금으로 표시되어 있다.
4.1.1. 계산자의 정밀도
계산자의 정밀도는 보통 유효숫자 3자리 수준이다. 예를 들어 1232은 15129지만 계산자에서는 '약 15100'으로 읽을 수밖에 없다. 부족하다면 부족해보지만 이는 오차 0.19% 수준으로 실제 20세기 중후반까지는 공학에 적용하기에도 무리가 없는 수준이다. 이 정도 계산으로도 인간을 달에 보냈다![13]
특정 상황에선 보간법, 추정, 눈대중 등으로 더 아랫자리까지 측정할 순 있다. 일반적인 경우엔 자가 길수록 더 정밀하게 측정할 수 있다. 길이별 유효숫자 계산치(영어) 더 길고 촘촘한 눈금을 위해 일반적인 10인치 대신 20인치 이상인 대형자를 사용하거나, 파버 카스텔 2/83N처럼 C, D 눈금보다 길이가 2배가 되는 W1, W2눈금을 채용하기도 했다. 더 나아가면 Hemmi 200처럼 C와 D 눈금을 6줄에 걸쳐서 쓰기도 했다. 하지만 유효숫자를 확실하게 늘리기 위해선 자가 정말로 길어져야 한다. 유효숫자 한 자리 더 늘리려면 길이를 '''10배'''로 늘리고 눈금을 10배로 박아넣는 수밖에 없다. 직선형 계산자를 이정도로 늘리는 것은 무리였기 때문에 이를 위해 원형 계산자, 실린더형 계산자가 등장했다. 눈금의 길이와 정밀도에 대한 페이지(영어)
오늘날 눈금이 가장 긴 계산자는 2012년에 개인이 만든 Eximius Diu 6로, '''175 m'''짜리 눈금을 30인치 원형자에 감아놓았다. 모든 구역에서 유효숫자 6자리까지 제공한다. 여기에서 모양을 확인하고 설계도를 다운받을 수 있다.
4.2. 곱셈
곱셈에는 C와 D 눈금을 사용한다. C/D 눈금은 전체를 1부터 10까지 10개의 구간으로 나눈 눈금이다.
[image]
- 2 × 3을 계산해보자.
- D 눈금의 2와 C 눈금의 1을 일치시킨다.
- C 눈금의 3이 가리키는 D 눈금의 값(6)을 읽는다.
- 두자릿수 이상의 계산
- ex) 2 × 150를 계산하기 위해선 150을 100으로 나눠 1.5로 만든 뒤 계산한다. 위의 그림에서 1.5가 가리키는 값은 3이다. 처음에 100으로 나누었으니 다시 100을 곱해서 자릿수를 맞추면 답은 300이 된다.
- ex2) 0.002 × 155: 역시 적당히 곱하고 나눠 2 × 1.55를 만들어 계산하면 된다. 위의 그림에서 1.55가 가리키는 값은 3.1이다. 1000을 곱하고 100을 나눴으니 결과는 0.31이 된다.
- CI 눈금을 사용하는 방법
- D에서 x, CI에서 y를 서로 맞춘다.
- CI눈금의 1(또는 10)이 가리키는 D의 값이 원하는 답 x×y이다.
4.2.1. 오프 더 스케일 문제
계산을 수행하다 보면 읽고 싶은 값이 눈금 범위 밖에 있는 경우(Off the scale)가 있다. 예를 들어 위 그림에서 '''2×7'''을 읽고 싶다고 하자. 하지만 C의 7이 가리키는 값은 D 눈금의 범위 밖에 있어 읽을 수가 없다. 이 경우에 사용할 수 있는 몇 가지 방법이 있다.
- 원형 계산자를 사용한다: 맞는 말이지만 쓸모있는 조언은 아니다.
- A, B 눈금 사용: CD의 2배의 범위를 커버하는 AB 눈금을 사용한다. 간단하지만 정확도에 한계가 있어 추천되지는 않는다.
- Wrap-Around 방법: 슬라이드를 평행이동했다고 가정해서 C 눈금 반대편 끝의 10을 D의 2와 맞춘 뒤 C눈금의 7이 가리키는 D값을 읽는다. 이것은 (2/10) × 7을 계산한것과 같다.[14]
이 눈금을 읽으면 1.4이다. 이것은 원래 값의 1/10인 값을 계산한 것이므로 구하고자 하는 답은 14이다.
가장 정석적인 방법이지만 값을 읽는데 실패하면 반대쪽 끝까지 슬라이드를 옮겨야돼서 번거롭다는 단점이 있다.
가장 정석적인 방법이지만 값을 읽는데 실패하면 반대쪽 끝까지 슬라이드를 옮겨야돼서 번거롭다는 단점이 있다.
- Folded-Scale 사용: CF, DF 눈금을 사용한다. CF, DF눈금은 C D 눈금을 pi만큼 평행이동 시킨 것이라 1이 대충 가운데에 위치한다. 따라서 CF의 인덱스(1)를 DF에 맞추게 되면 최악의 경우에도 슬라이드가 몸체를 절반 이상 벗어나지 않으므로 원하는 값을 CF, C 중 하나를 통해 반드시 읽을 수 있는 것이 보장된다. 2×7의 예를 들면, DF눈금의 2와 CF눈금의 1을 일치시키고, CF (또는 C)에서 7을 찾은 뒤 이것이 가리키는 DF (또는 D)의 값 1.4(=14)를 읽는다.
4.3. 나눗셈
나눗셈도 C와 D 눈금을 사용한다.
[image]
- 1.5 ÷ 3을 계산해보자.
- D 눈금에 1.5와 C 눈금에 3을 맞춘다.
- C 눈금의 1이 가리키는 값을 읽는다.
- 그림처럼 C 눈금이 범위를 벗어날 경우엔 C 눈금의 10이 가리키는 값을 읽은 뒤(5), 1/10을 해준다. (0.5)
- 과정을 보면 알 수 있듯이 곱셈하는 과정을 거꾸로 한 것이다.
- $$\displaystyle x \div y = x \times \frac{1}{y}$$라는 성질을 이용해서 역수눈금인 CI 눈금을 사용해서 구할 수도 있다.
4.4. 제곱/제곱근
A와 D 또는 B와 C 눈금을 사용한다. A/B 눈금은 일반 로그눈금(C,D)를 반으로 줄인 뒤 두 개를 붙여놓은 것이다.
[image]
- 제곱근은 A 눈금에서 원하는 값을 찾은 뒤 D 눈금의 값을 읽는다. 단, A 눈금은 동일한 값이 A, B 두군데 존재한다. 이 중 어느 값을 읽어야 하는지는 값의 자릿수에 따라 다르다.
4.5. 세제곱/세제곱근
C/D와 K 눈금을 사용한다. K눈금은 일반 로그눈금을 1/3로 줄인 뒤 세개를 붙여놓은 눈금이다.
- 세제곱을 구하는 것은 제곱과 동일한 방법으로 한다.
- 세제곱근을 구하기 위해선 (역시 제곱에서처럼) 자릿수에 따라 K의 어느 부분을 읽어야 하는지 결정된다.
- 자릿수가 1, 4, 7, ...자리인 경우엔 첫번째 구간에서 찾는다.
- 자릿수가 2, 5, 8, ...자리인 경우엔 두번째 구간에서 찾는다.
- 자릿수가 3, 6, 9, ...자리인 경우엔 세번째 구간에서 찾는다.
4.6. 역수
[image]
눈금에 I가 붙은 눈금은 좌우가 반대로 되어 있는 눈금으로 원래 눈금의 역수 관계이다. $$\log(\frac{1}{x}) = \log(x^{-1}) = -\log(x)$$이기 때문이다.
'''2의 역수'''를 구한다고 하면,
- C 눈금에 2를 맞춘다.
- CI 눈금을 읽는다. 자릿수를 맞춘다. (5 = 0.5)
4.7. 삼각함수
[image]
S, T, ST 눈금을 사용한다.
결과의 자릿수에 따라 sin(5.7°[17]) = 0.1부터 sin(90°) = 1까지는 S와 T눈금, sin(0.57°) = 0.01부터 0.1까지는 ST눈금을 사용한다.
4.7.1. 작은 각도(< 5.7°)의 삼각함수
각도가 아주 작을 땐 rad ≒ sin(°) ≒ tan(°)이므로 하나의 눈금자만 사용해서 사인과 탄젠트를 모두 구할 수 있다. ST눈금은 0.6° ~ 5.7° 범위의 탄젠트 겸 사인 값이 표시되어 있으므로 이 눈금에 커서를 맞춘 뒤 C눈금의 값을 읽는다.
0.6° 보다 더 작은 각도는 그냥 라디안으로 변환시켜주면 된다. 아래의 변환법 참고.
4.7.2. 5.7°~90°의 sin, cos
S눈금을 사용한다.
- 사인: 찾고자하는 각도를 S 눈금에 커서를 맞추고 D 눈금을 읽는다.
- 코사인: cos(x) = sin(90°-x)임을 이용해 계산한다.
- 코시컨트, 시컨트: 사인, 코사인과 역수관계이므로 찾고자하는 각도를 S 눈금에 커서를 맞추고 DI 눈금을 읽는다.
- arcsin, arccos: 역함수 관계이므로 역으로 D 눈금에서 원하는 값을 찾은 뒤 S에서 각도를 읽는다.
- P(피타고리안) 눈금[18]이 있는 모델의 경우엔, D 눈금과 P 눈금으로 sin과 cos를 상호변환 가능하다. sin(x)가 0.5라면 D에 0.5를 맞추고 P를 읽으면 cos(x)=0.866이 나온다.
- P 눈금의 또 다른 용도로, sin과 cos 값이 1에 가까울 때 그 값을 더 정확히 읽을 수 있다. S 눈금을 보면 눈금이 뒤로 갈수록 점점 빽빽해져서 40°가 넘어가면 한 눈금이 1° 단위가 되고 80° 이상에선 아예 5° 단위로 되어 있어 정밀한 값을 읽기가 어려워진다. 이때 D 눈금 대신 P눈금을 읽으면 된다. 예를들어 cos(5.5°)를 찾기 위해선, S에서 5.5°를 찾은 뒤 P의 값을 읽는다.(0.9954) 이 값은 sin(84.5°)와 같다.
4.7.3. 5.7°~84°의 tan
탄젠트(와 코탄젠트)는 T눈금을 사용하는데, 탄젠트의 범위가 큰 관계로 45°를 기준으로 T1과 T2 두 개의 눈금으로 나뉘어져 있다. 각도에 따라 적절한 눈금에 커서를 맞추고 D의 값을 읽는다.
코탄젠트는 cot (x) = tan(90° - x)라는 성질로 구할 수 있다. 정의대로 탄젠트의 역수를 구해도 된다.
일부 계산자는 탄젠트 눈금이 T 하나만 있다. 이 경우 45° 이상의 탄젠트 값은 tan(x) = 1/tan(90° - x) 공식을 통해서 구할 수 있다. T에서 90° - x 를 맞춘 뒤 DI 눈금을 읽는다.
84°보다 큰 값은 너무 빠르게 발산하기 때문에 T 눈금의 커버 범위를 벗어난다. 이론적으로 T3를 만든다면 84°에서부터 arctan(100)≒89.4°까지 커버할 순 있다. 하지만 ST 눈금에 위의 공식을 적용해서 구할 수 있기 때문에(예: tan(89°)는 ST에서 tan(1°)를 구하고 역수를 취한다.) 실제로 쓰이진 않았다.
4.7.4. 라디안-육십분법 변환
실용적인 이유로 계산자의 각도 단위는 도(°)를 사용한다. 이를 라디안으로 변환하기 위해선 $$\frac{\pi}{180} \approx 0.0175$$를 곱해주면 된다. 다행히도(?) 몇몇 계산자는 이 값이 따로 눈금에 표시되어 있으니 바로 사용하면 된다. (1.7~1.8 사이에 있다. 100배 된 값이니 마지막에 1/100을 해줘야한다.)
반대로 라디안 → 도 변환은 $$\frac{180}{\pi} \approx 57.3$$을 곱해준다. 위에 표시된 눈금의 역수를 구하면 되므로 따로 외울 필요는 없다.
작은 각도(보통 ST 눈금이 커버하는 0.6° ~ 5.7°)는 rad ≒ sin(°) ≒ tan(°)이므로 ST 눈금을 바로 읽어도 된다. 이 때문에 ST를 SRT라고 쓰는 계산자도 있다.
4.8. 상용로그
[image]
D와 L눈금을 사용해 계산한다. L 눈금은 눈금 간격이 일정한 선형 눈금자로, 로그 눈금인 D를 통해 선형눈금 L을 읽으면 (상용)로그를 구하는 효과가 있게 된다. 학문적으로는 자연로그를 더 많이 쓰지만 실용적인 이유로 계산자는 상용로그가 메인이다.
어떤 계산자는자연로그를 구할 수 있는 Ln눈금이 따로 존재하는 경우도 있다. 하지만 LL 눈금이 있는 경우 이를 통해 바로 자연로그를 구할 수 있기 때문에 흔하지는 않다. L과 Ln을 둘 다 제공하는 모델을 Dual base라고 한다.
임의의 밑수를 가진 로그는 $$\log_{a}{b} = \frac{\log b}{\log a}$$임을 이용해 구하거나 LL눈금을 사용해 거듭제곱의 역연산을 통해 구한다.
4.9. LL 눈금을 사용한 계산
[image]
로그-로그 눈금은 로그의 로그값을 표시한 눈금이다. 값의 범위에 따라서 다양한 눈금들이 있다.
보다시피 다 넣으면 자가 매우 두꺼워지기 때문에 보통 양면(duplex) 모델 같은 고급형에나 들어가거나 일부 눈금이 생략되기도 한다. LL0과 D 눈금을 통합시킨 모델도 있다. 숫자 앞에 1.00이 붙어있는 것으로 간주하고 읽는다.[19] LL0x눈금들이 통째로 생략되는 경우도 있는데, LLx의 역수관계임을 이용해 값을 구할 수 있다.
LL 눈금에 대한 이론은 1815년에 발명되었다. 지수를 계산할 때 사용하지만, 제곱근은 지수의 역수이고, 로그는 지수의 역연산인 특성상 굉장히 다양한 연산에 사용될 수 있다.
스케일에 영향을 받지 않는[20] 다른 눈금들과는 다르게 LL눈금들은 쓰여진 값만을 나타낸다. 대부분의 모델에서 LL 눈금의 밑수는 e이지만 Pickett N4 같은 경우 10을 밑수로 한다. 최대 e10≒22000까지 계산할 수 있는 다른 모델에 비해 최대 1010까지 계산할 수 있다. 물론 유효숫자 1~2자리 수준으로 정밀도는 기대할 수 없다.
4.9.1. 거듭제곱/거듭제곱근
별도의 눈금이 제공되는 2, 3제곱을 포함한 임의의 n제곱과 제곱근을 구할 수 있다. n이 정수 뿐 아니라 소수일 경우에도 가능하다는 것에 유의.
- ex의 꼴: LL 자체가 밑수가 e인 눈금이므로 D 눈금에서 x를 찾은 뒤 적당한 LL 눈금에서 값을 바로 읽으면 된다. 지수가 1보다 큰 경우엔 LLx에서, 0~1인 경우엔 LL0x에서 찾는다.
- 임의의 거듭제곱 xy의 꼴: 로그의 성질 중 $$\log{x^y} = y \times \log{x}$$를 이용[21]한다. 눈금의 한계로 인해 2만 언저리까지만 계산 가능하다.
- LL 눈금에서 x를 찾는다.
- 여기에 C눈금의 1을 맞춘 뒤 C에서 y가 가리키는 값을 LL에서 읽는다.
- 같은 커서에서 LL을 한 단계 큰 눈금으로 이동하는 것은 10제곱을 나타낸다.(예. LL2의 1.2에서 그대로 한 칸 내리면 LL3의 6.19가 됨) 반대로 한 단계 낮은 눈금으로 옮기는 것은 10제곱근을 나타낸다. 1근처의 숫자를 여러번 제곱하는 것은 복리, 반감기 계산 등에서 자주 사용된다.
- 임의의 제곱근 $$\sqrt[y]{x}$$의 꼴: $$x^{\frac{1}{y}}$$이므로 위의 xy를 구하는 것에서 역수를 구하면 된다.
- LL 눈금에서 x를 찾는다.
- 여기에 CI눈금의 1을 맞춘 뒤 CI에서 y가 가리키는 값을 LL에서 읽는다.
4.9.2. 자연로그
ex를 역으로 계산하면 자연로그 ln(x)를 구할 수 있다.
- LL 눈금에서 x를 찾는다.
- D 눈금에서 값을 읽는다. 자릿수를 맞춘다.
4.9.3. 임의의 밑수를 가진 로그
- 임의의 밑수를 가진 로그 logax의 꼴. 역시 a가 정수일 필요는 없다.
- LL 눈금에서 밑수 a를 찾는다.
- 여기에 C 눈금의 1(또는 10)을 맞춘다.
- LL 눈금에서 x를 찾은 뒤 이 값이 가리키는 값을 C 눈금에서 읽는다.
4.10. 멀티라인 커서
커서는 자의 바디에서 움직이며 눈금을 정확히 읽는 것을 도와주는 역할을 한다. 커서에는 얇은 직선이 그어져 있는데 이를 헤어라인(Hairline)이라고 하고 여기에 눈금을 맞춘다. 그런데 어떤 모델은 Cursor Marks라는 보조 헤어라인들이 그어져 있는 경우가 있다. 특정 계산을 더 간편하게 하기 위한 용도로 쓰인다. 참고 이하의 예시는 상단 그림에 있는 파버카스텔 모델의 커서를 기준으로 한다.
4.10.1. 원의 넓이
지름(diameter)이 x인 원의 넓이를 구하기 위해서는 C/D에서 x를 찾아 d에 맞추고 왼쪽 위의 s 라인에 있는 A/B의 값을 읽으면 된다.
두 라인의 거리차는 C 눈금을 기준으로 $$\displaystyle \sqrt{\frac{\pi}{4}}$$가 되는데, 지름에 대한 원의 넓이의 공식은 $$\displaystyle \frac{\pi}{4}d^2 = (\sqrt{\frac{\pi}{4}}d)^2$$가 되어 지름에 $$\displaystyle \sqrt{\frac{\pi}{4}}$$를 곱한 값을 제곱하면 원의 넓이가 나오기 때문이다.
4.10.2. 마력-와트 변환
kW눈금과 HP/PS 눈금 중 한 곳에 값을 맞추고 다른쪽 눈금을 읽으면 마력-와트 간의 변환이 가능하다. 두 눈금의 차가 변환상수 크기이기 때문이다.
야드파운드법의 마력(HP)인지, 미터법의 마력(PS)인지에 따라 값이 다르기 때문에 미국과 유럽의 자는 이 부분이 너비가 다르다. 오늘날에야 마력이 엔진 출력 같은 제한된 용도로만 사용되지만, 계산자가 쓰였던 당시만해도 마력이 자주 쓰였기 때문에 필요했던 기능이다.
4.11. 응용계산
4.11.1. 비례식 계산
[image]
비례식 a:b = c:?를 구하고 싶을 땐 C와 D에 a와 b를 맞추고 c를 찾으면 된다. 예를들어 '''2:4 = 3:x'''를 풀고 싶을 땐 CD를 2와 4에 맞추고 C에서 3을 찾아 D에서 해당하는 값을 읽는다.(='''6''')
이 방식으로 인치-센티미터 등 단위 변환이 가능하다. 두 단위의 비례관계를 알고 있다면(1inch = 2.54cm) 위의 방식으로 원하는 값을 변환할 수 있다. 이를 위해 부록으로 단위변환 카드가 들어있거나 뒷면에 쓰여있는 경우가 많다.
4.11.2. 복합 계산
여러 연산이 엮인 계산의 경우, 슬라이드를 여러번 옮겨 계산할 경우 시간이 오래 걸려 비효율적이고, 실수 또는 오차가 누적될 수 있다. 따라서 슬라이드를 최대한 적게 움직이는 계산법이 유용하다.
$$\displaystyle \frac{2 \times 6}{4}$$처럼 곱셈과 나눗셈이 같이 있는 계산을 일반적인 순서대로 풀어보자.
- 슬라이드를 움직여 2와 6의 곱을 찾고(1.2=12)
- 이 값에 다시 슬라이드를 움직여 4를 맞춰 최종 값을 구한다.(3)
- 슬라이드를 움직여 2와 4를 서로 맞춘다.(이 나눗셈의 결과는 5=0.5지만, 읽을 필요 없다.)
- 이 상태에서 슬라이드의 6이 가리키는 값이 답이다.(3)
나눗셈 없이 곱셈만 연속되어 있는 경우: 곱셈 문단에서 CI와 D 눈금을 사용해서 나눗셈을 하는 방식으로 곱셈을 하는 방법을 소개했는데, 이 방법을 이용한다.
- 12.4 × 8.4 × 0.157를 계산해보자. 일반적인 방법으로는 2회의 슬라이드 이동이 필요하다.
- D의 12.4와 CI의 8.4를 서로 맞춘다.
- C의 0.157이 가리키는 D의 값이 답이다.(16.35)
- 1회의 슬라이드 이동으로 계산이 끝났다.
기타 곱셈, 나눗셈, 2, 3제곱 및 제곱근, 역수 등이 엮여 있는 계산들도 A B C D K xI xF 눈금들을 조합해서 간단하게 풀 수 있다. 눈금 종류가 많은 계산자일수록 이런 복잡한 계산을 빠르게 끝낼 수 있다. 예를들어 $$\displaystyle \frac{1}{x^2}$$ 꼴의 경우, 커서를 CI 눈금의 x에 맞추고 A를 읽으면 슬라이드 이동 없이 바로 구할 수 있다. 더 다양한 모양의 식들과, 이때 어떤 눈금들을 이용해야되는지는 이곳을 참고.
4.11.3. 2차 방정식 풀이
2차 방정식 x2+bx+c=0의 근을 구할 수 있다. 출처.
먼저 식의 두 근을 u, v라고 할 때,
임을 알 수 있다. 따라서 u+v = -b, uv = c가 된다. 이 성질을 이용해서 구한다.
예를 들어, '''x2+10x+15=0'''의 해를 구해보자.
- C눈금의 1을 D 눈금 위의 15(=1.5)에 맞춘다.
- 커서를 천천히 움직여가며 CI눈금과 D 눈금의 합이 10이 되는 지점을 찾는다.(D=1.84, CI=8.16)(만족하는 지점이 없다면 실근이 없는 것이다.)
- 두 근의 합은 음수(-10)인데 곱은 양수(15)이므로 이차방정식의 실근의 부호 판별법에 따라 두 근 모두 음수임을 알 수 있다. 두 근이 모두 음수이므로 u = -1.84, v = -8.16이 된다. 실제 계산결과
그 외에 x3-px+q=0, x4-px+q=0, x4-px3+q=0 꼴의 방정식도 풀 수 있다. 출처
4.11.4. 복소수 형식 변환
직교형식 $$a+bi$$의 복소수 표기를 극형식 $$r\cos(\theta)+ri\sin(\theta)$$ 또는 지수형식 $$re^{i\theta}$$으로 변환할 수 있도록 r과 θ를 구할 수 있다.
'''7.2+4.5i'''를 지수형식으로 변환해보자. $$\tan(\theta) = \frac{b}{a}$$임을 이용한다.
- C의 10을 D의 7.2에 맞춘다.
- 커서를 D의 4.5에 맞추고 T의 값을 읽는다.(θ=32°)[22]
- 커서는 고정한 상태로 S의 32°가 커서에 오도록 슬라이드를 움직인다.
- C의 10이 가리키는 D의 값을 읽는다.(r=8.49)
4.11.5. 덧셈/뺄셈
일반적으로 계산자는 덧셈과 뺄셈은 계산할 수 없지만 수학적인 트릭을 통해 덧뺄셈을 곱셈과 나눗셈으로 변환해서 계산할 수'''는''' 있다.
더하기 빼기 1은 암산으로 한다고 쳐도 나눗셈, 곱셈을 각각 한 번씩 해야 하기 때문에 어지간하면 '''그냥 손으로 계산'''하는게 더 정확하고 효율적이다.
Pickett Microline 115처럼 덧셈과 뺄셈을 할 수 있도록 특수한 눈금을 넣은 모델도 있었으나, 흔한 것은 아니다.
어떤 계산자는 뒷면에 Addiator(덧뺄셈을 할 수 있는 서양식 주판) 또는 '''전자계산기(!?)'''를 부착하기도 했다.파버카스텔 67/54 RB와 파버카스텔 TR 시리즈
5. 외부 링크
- 온라인 계산자 시뮬레이터 1
- 온라인 계산자 시뮬레이터 2
- 계산자를 직접 프린트해서 만들 수 있도록 템플릿을 제공하는 페이지
[1] 모델명을 설명하자면,
K&E: 당시 유명 계산자 제작사인 Keuffel and Esser.
20인치: 말 그대로 길이가 20인치. 보통 10인치가 표준이고 20인치는 주로 대형 고급 모델이다.
Log-log: LL눈금을 지원해 거듭제곱 계산 가능. LL눈금은 개수가 많으므로 필연적으로 두꺼워진다.
Duplex: 양면에 모두 눈금이 있음.
Decitrig: 삼각함수(trig)를 지원하며, 도 단위 아래로는 분, 초가 아닌 십진법(deci)을 사용함.(10.5° = 10°30')
종합해보면 K&E N4081-5모델로 보인다.[2] 이 사람은 곱셈 기호(×)도 발명하였다고 한다.[3] 현대의 포병 또한 아직까지도 계산자를 완전히 버리지는 않고 있다. 다만 포병들이 쓰는 계산자는 일반적인 계산자와는 다르다.[4] 심지어 오늘날 컨닝기법 중 하나인 '공학용 계산기 뚜껑에 공식 쓰기'도 과거 계산자 뒷면에 공식 쓰기가 원조[5] 영화에서는 우주선 안에 실려있는 미션계획서에 있는 공식을 참고하였다.[6] 여담으로 이 계산자는 스미소니언 박물관에 기증되었다.[7] 눈금자의 정확히 절반인 $$\sqrt{10}=3.16$$만큼 이동한 경우도 있지만 3.14와 거의 비슷할 뿐더러 루트10을 곱하는 일은 별로 없기 때문에 범용성에서 pi에 밀린다.[8] 영: Square Root, 독: Wurzel[9] S L T는 슬라이드 뒷면에 쓰여있다.[10] Gunter's Scale; 로그눈금 한 개와 디바이더를 가지고 계산한다. C눈금의 역할을 디바이더가 한다고 보면 된다.[11] 여담으로 왼쪽에 건너편에 앉은 여자가 들고 있는건 휴대용 실린더형 계산자 Otis King Calculator이다.[12] 숫자들로 구성된 데이터에서 첫자리의 값이 고르게 분포되어있지 않고 1인 경우가 제일 많은 현상. 분포비는 로그값에 비례한다. # [13] 여담으로 아폴로 승무원들도 계산을 위해 계산자를 들고 갔다. 아폴로 11호의 버즈 올드린이 가져간 계산자는 Pickett N600-ES Log Log Duplex 5인치 모델.[14] 스케일을 왼쪽, 오른쪽으로 평행이동할 때마다 1/10, 10배의 효과가 있다.[15] 9, 144, 14400 등[16] 25, 49, 1440 등[17] 약 $$0.1$$[math(\mathrm{rad})][18] P는 $$\sqrt{1 - x^2}$$에 해당하는 눈금인데, 공식 $$\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$$을 정리한 것이다.[19] 2는 1.002, 5.5는 1.0055 등[20] 예를들어 C 눈금의 2는 0.2, 2, 20, 200 등을 모두 표현함[21] 더 자세하게는, $$\log{(y \times \log{x})} = \log{y}+\log{(\log{x})}$$가 되어 로그와 로그-로그 눈금의 덧셈으로 거듭제곱이 표현된다.[22] T눈금이 C와 같은 슬라이드에 있는 경우에 가능. T가 바디에 있는 경우 CD를 바꿔서 계산한다.
K&E: 당시 유명 계산자 제작사인 Keuffel and Esser.
20인치: 말 그대로 길이가 20인치. 보통 10인치가 표준이고 20인치는 주로 대형 고급 모델이다.
Log-log: LL눈금을 지원해 거듭제곱 계산 가능. LL눈금은 개수가 많으므로 필연적으로 두꺼워진다.
Duplex: 양면에 모두 눈금이 있음.
Decitrig: 삼각함수(trig)를 지원하며, 도 단위 아래로는 분, 초가 아닌 십진법(deci)을 사용함.(10.5° = 10°30')
종합해보면 K&E N4081-5모델로 보인다.[2] 이 사람은 곱셈 기호(×)도 발명하였다고 한다.[3] 현대의 포병 또한 아직까지도 계산자를 완전히 버리지는 않고 있다. 다만 포병들이 쓰는 계산자는 일반적인 계산자와는 다르다.[4] 심지어 오늘날 컨닝기법 중 하나인 '공학용 계산기 뚜껑에 공식 쓰기'도 과거 계산자 뒷면에 공식 쓰기가 원조[5] 영화에서는 우주선 안에 실려있는 미션계획서에 있는 공식을 참고하였다.[6] 여담으로 이 계산자는 스미소니언 박물관에 기증되었다.[7] 눈금자의 정확히 절반인 $$\sqrt{10}=3.16$$만큼 이동한 경우도 있지만 3.14와 거의 비슷할 뿐더러 루트10을 곱하는 일은 별로 없기 때문에 범용성에서 pi에 밀린다.[8] 영: Square Root, 독: Wurzel[9] S L T는 슬라이드 뒷면에 쓰여있다.[10] Gunter's Scale; 로그눈금 한 개와 디바이더를 가지고 계산한다. C눈금의 역할을 디바이더가 한다고 보면 된다.[11] 여담으로 왼쪽에 건너편에 앉은 여자가 들고 있는건 휴대용 실린더형 계산자 Otis King Calculator이다.[12] 숫자들로 구성된 데이터에서 첫자리의 값이 고르게 분포되어있지 않고 1인 경우가 제일 많은 현상. 분포비는 로그값에 비례한다. # [13] 여담으로 아폴로 승무원들도 계산을 위해 계산자를 들고 갔다. 아폴로 11호의 버즈 올드린이 가져간 계산자는 Pickett N600-ES Log Log Duplex 5인치 모델.[14] 스케일을 왼쪽, 오른쪽으로 평행이동할 때마다 1/10, 10배의 효과가 있다.[15] 9, 144, 14400 등[16] 25, 49, 1440 등[17] 약 $$0.1$$[math(\mathrm{rad})][18] P는 $$\sqrt{1 - x^2}$$에 해당하는 눈금인데, 공식 $$\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$$을 정리한 것이다.[19] 2는 1.002, 5.5는 1.0055 등[20] 예를들어 C 눈금의 2는 0.2, 2, 20, 200 등을 모두 표현함[21] 더 자세하게는, $$\log{(y \times \log{x})} = \log{y}+\log{(\log{x})}$$가 되어 로그와 로그-로그 눈금의 덧셈으로 거듭제곱이 표현된다.[22] T눈금이 C와 같은 슬라이드에 있는 경우에 가능. T가 바디에 있는 경우 CD를 바꿔서 계산한다.