1=2

'1=2'를 증명하는 역설을 소개하고 그 역설의 오류를 규명하는 문서.
1=2라면 양변에서 1을 빼서 0=1, 양변에 (m-n)을 곱해 0=m-n, 양변에 n을 더해 n=m, m과 n은 어떤 수든 될 수 있으므로 모든 수가 같게 된다.
이것이 (ZFC 공리계 내에서) 증명된다면 ZFC 공리계의 모순을 발견한 것이 된다.

2. 기하학(꺾은선)

[image]
한 변의 길이가 1인 정삼각형을 생각하자. 우선 처음 정삼각형의 두 변의 길이의 합은 2이다. 이를 첫째 꺾은선이라고 하자. 이 정삼각형의 각 변을 이등분하는 점을 이어 그림과 같은 꺾은선을 그리자. 그러면 둘째 꺾은선의 총 길이는 2이다. 꺾은선을 그림으로써 새로 생기는 작은 정삼각형들의 각 변을 이등분하는 점을 이어 또 다른 꺾은선을 그릴 수 있다. 이 과정을 반복하면 꺾은선은 갈수록 촘촘해지며, 무한 번 반복하면 최후에는 처음의 정삼각형의 한 변이 된다. 다시 말해 처음 정삼각형의 두 변의 총 길이는 나머지 한 변의 길이와 같다. 곧, 2=1이다.
로지컬이 이것을 소개했다.

2.1. 오류 규명

우선, 위 과정을 반복하면 꺾은선은 결국 길이가 1인 선분으로 수렴하는 것 자체는 옳다. 그러나 위 증명은 '꺾은선의 길이의 극한'과 '꺾은선의 극한의 길이'를 같은 것으로 잘못 생각한 데서 오류가 발생했다. 둘이 꼭 같다는 보장이 없다.
위 그림의 $$n$$번째 꺾은선을 $$G(n)$$이라 하고, 조각마다(piecewise) 미분가능한[1] 임의의 곡선 $$g$$의 길이를 $$L(g)$$라고 하자. 그러면 $$\varepsilon - N$$ 논법에 의해 $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}G(n)$$은 길이 1인 선분과 같으므로 $$L\left(\displaystyle\lim_{n\to\infty}G(n)\right)=1$$이고, $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}L(G(n))=\displaystyle\lim_{n\to\infty}2=2$$이다. 그런데 위 증명에서는 $$L\left(\displaystyle\lim_{n\to\infty}G(n)\right)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}L(G(n))$$으로 잘못 생각하여 $$2=1$$이라는 잘못된 결론에 도달한 것이다.
요컨대 이러한 오류는 수학적 귀납법에 의해 위 과정을 임의의 유한 번 시행하였을 때 길이가 2라는 사실을 바탕으로, 그 극한도 길이가 2일 것이라고 잘못 추론한 것에 기반하고 있다.

3. 대수학

$$a=b$$라 하면
$$a^2=ab$$이므로 $$a^2-b^2=ab-b^2$$
인수분해하면 $$(a+b)(a-b)=b(a-b)$$
양변을 $$(a-b)$$로 나누면 $$a+b=b$$
$$a=b$$이므로 $$b+b=b$$
즉, $$2b=b$$이므로 $$1=2$$
여담으로, 우려먹으면 이런 짓거리도 가능하다.
양변에 $$a^2$$을 곱하면 $$a^3=a^2b$$이므로 $$a^3-b^3=a^2b-b^3$$
인수분해하면 $$(a-b)(a^2+ab+b^2)=b(a+b)(a-b)$$
양변을 $$(a-b)$$로 나누면 $$a^2+ab+b^2=b(a+b)$$
$$a=b$$이므로 $$b^2+b^2+b^2=b^2+b^2$$
즉, $$3b^2=2b^2$$이므로 $$2=3$$
이런 식으로 계속하면, 4차식에서 $$3=4$$, 5차식에서 $$4=5$$ ...을 도출하는 것도 가능하다.

3.1. 오류 규명

위 증명에서는 $$(a+b)(a-b)=b(a-b)$$의 양변을 $$(a-b)$$로 나누었는데, 맨 처음에 가정한 $$a=b$$에 따라 $$a-b=0$$이 되므로, 양변을 $$(a-b)$$로는 나눌 수 없다. 다시 말해 $$a+b=b$$가 나온 단계에서 이미 틀린 계산.
사실 인터넷에 떠도는, 결과적으로 맞지 않는 증명식들은 0으로 나누기를 포함하고 있는 경우가 대부분으로 나누기 부분만 유심히 살펴보면 금방 틀린 점을 찾을 수 있다.
아이작 뉴턴의 유율법이 조지 버클리 등에게 공격을 받은 이유이기도 하다. 유율(= 무한소)이라는 방법으로 위 식과 비슷한 꼼수를 써서 넘어갔기 때문. 유율법 4.1문단 참고.
이산수학 증명 파트에서도 자주 언급되는 오류다.

4. 연분수

$$a=\cfrac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\ddots}}}}$$라 하자.
$$a=\cfrac{2}{3-a}$$이다.
$$a(3-a)=2$$이다.
$$a^2-3a+2=0$$이므로 $$(a-1)(a-2)=0$$이다.
따라서 $$a=1, 2$$이므로 $$1=\cfrac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\ddots}}}}=2$$이다.

4.1. 오류 규명

해당 연분수를 수열의 수렴값이 아닌 실재하는 값으로 이해하였기 때문에 생긴 오해이다. 중등 교육에서는 해석학을 엄밀히 가르치지 않아 학생들이 많이 착각하는 부분인데, 직접 연산해서 무한히 사칙연산을 하는 것은 불가능하다. 수학에서 무한합 등 무한한 연산으로 주어지는 것은 사실 무한수열을 늘여놓아 그 수열이 수렴하는지를 보고, 수렴한다면 그 수렴값을 따라가는 것이다.
위의 연분수를 다시 보자. 위의 연분수도 사실 점화식 $$a_{n+1}=\frac{2}{3-a_n}$$로 나타나는 수열이다. 그리고 수열은 초깃값 $$a_1$$을 먼저 선언을 해야 정의가 된다. 초깃값에 일반적인 실수를 넣으면 이 수열은 $$1$$로 수렴한다. 그런데 초깃값에 $$2$$를 넣으면 이 수열은 이례적으로 $$2$$로 수렴하게 된다. $$a=1,2$$는 이렇게 넣는 초깃값에 따라 수렴값이 달라진다는 것을 의미하지, $$a$$라는 참값이 2가지 값을 나타낸다는 뜻이 아니다.
비전공자에게 보다 익숙한 함수를 이용해 설명하자면, 위 연분수 $$a$$는 상수가 아니라 $$3$$을 제외한 실수 $$a_1$$을 변수로 하는 함수 $$a(a_1)$$이고, 이 함수는 $$a(2)=2$$, 나머지에서 $$1$$이 되는 불연속함수인 것이다.[2]

5. 미분

$$f(x)=x^2$$라고 하면,
$$f'(x)=2x$$이다.
다른 방식으로 미분하면 $$f(x)$$는 $$x$$를 $$x$$번 더한 것이므로
$$f'(x)=(\overbrace{x+x+ ... +x}^{x\;\rm{times}})'=\overbrace{1+1+...+1}^{x\;\rm{times}}=x$$
$$f'(x)=2x=x$$
따라서 $$1=2$$
[3]

5.1. 오류 규명

미지수를 상수로 잘못 해석하여 오류가 발생했다. 위 증명에서 $$(f_1(x)+f_2(x)+ ... +f_n(x))'=f_1'(x)+f_2'(x)+...+f_n'(x)$$라는 미분의 기본 성질을 적용하기 위해서는 $$n$$이 미분할 변수($$x$$)에 대한 상수여야 한다.[4] 그러나 $$x\;\rm{times}$$의 $$x$$는 그 자체로 미분할 변수이므로(즉, $$n=x$$이므로) 해당 성질을 적용할 수 없다. 비슷한 이유로 $$(e^2)'=0≠e^2$$이고 $$(e^x)'=e^x$$이다.
따라서 $$x$$를 미지수로 취급하면 문제가 해결된다. 항의 개수에 유의하며 미분 계산을 하면 다음과 같이 올바른 결과가 나온다.

$$\begin{aligned}f'(x)&=(\overbrace{x+x+ \cdots +x}^{x\;\rm{times}})'\\&= \displaystyle\lim_{h \to \ 0} \frac {\{\overbrace{(x+h)+(x+h)+ \cdots +(x+h)}^{(x+h)\;\rm{times}}\} - (\overbrace{x+x+ \cdots +x}^{x\;\rm{times}})}{h}\\&= \displaystyle\lim_{h \to \ 0} \frac {(\overbrace{h+h+ \cdots +h)}^{x\;\rm{times}} + \{\overbrace{(x+h)+(x+h)+ \cdots +(x+h)}^{h\;\rm{times}}\}}{h}\\&=x +\displaystyle\lim_{h \to \ 0} \frac{(xh+h^2)}{h}\\&=x+x=2x\end{aligned}$$

$$x+h$$를 $$x+h$$번 더한 것에서 $$x$$를 $$x$$번 더한 것을 빼고 $$h$$를 [math(0)]으로 수렴시킨 것이다.

5.1.1. 엄밀하지 않은 개념의 사용

$$(f_1(x)+f_2(x)+ ... +f_n(x))'=f_1'(x)+f_2'(x)+...+f_n'(x)$$라는 미분의 기본 성질을 사용하기 위해서는 $$n$$이 자연수 범위여야 한다. 즉, 위 논증에서는 $$(x+x+ ... +x)'=1+1+...+1$$라고 하였으므로 $$x$$는 자연수 범위인데, 자연수 범위의 변수로 미분하는 것은 정의되지 않는다. $$b$$가 자연수가 아닐 때 $$a\times b$$를 $$\overbrace{a+a+\cdots +a}^{b\;\rm{times}}$$로 표기하는 것까지는 봐줄 수 있어도, 이러한 표기에서는 위와 같은 미분의 기본 성질이 적용되지 않음을 주의해야 한다.

6. 극한

$$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} =0$$이다.
따라서 극한의 기본 성질에 의해 $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\underbrace{\displaystyle\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}}_{\text{$n$ times}}\right)=0+0+\cdots+0=0$$이다.
그런데 $$\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}}_{\text{$n$ times}}=1$$
이므로 $$0=1$$이고 양변에 $$1$$을 더하면 $$1=2$$이다.

6.1. 오류 규명

$$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\overbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}}^{\text{$n$ times}}\right)=\lim_{n\to\infty}\left({\frac{n}{n}}\right)=1$$이다.
이는 5.1번 문단과 마찬가지로 $$n\;\rm{times}$$의 $$n$$을 극한 취할 변수($$n$$)에 대한 상수로 보고 극한의 기본 성질을 적용했기 때문에 발생한 오류이다.

6.1.1. 엄밀하지 않은 개념의 사용

$$\displaystyle\lim_{n\to\infty} \left(f_1(n)+f_2(n)+\cdots +f_m(n)\right)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_1(n)+\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_2(n)+\cdots +\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_m(n)=\displaystyle\sum_{k=1}^m \displaystyle\lim_{n\to\infty}f_k(n)$$이라는 극한의 기본 성질을 사용한 것처럼 보인다. 하지만 위 논증에서 해당하는 부분은 $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\underbrace{\displaystyle\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}}_{\text{$n$ times}}\right)=0+0+\cdots+0$$인데, 여기에서 $$m=n$$이라는 점이 문제다. $$m$$은 극한 밖의 시그마에서도 사용되는 변수인데, $$n$$은 극한을 나타내기 위한 보조 변수이므로 $$m=n$$일 수 없다.

7. 무한 지수 탑 함수(infinite power tower function)

$${\displaystyle {x^{x^{\cdot ^{\cdot}}}}}\!\!=2$$ 와 같은 방정식을 생각하자.
이 방정식의 해는 $$x^2=2$$ 즉 $$x=\sqrt2$$이다.[A] 풀이
이제 $${\displaystyle {x^{x^{\cdot ^{\cdot}}}}}=4$$라는 방정식을 생각하자.
이 방정식의 해는 $$x^4=4$$ 즉 $$x=\sqrt2$$이다.[A]
따라서 $$2={\displaystyle {\sqrt2 ^{\sqrt2 ^{\cdot ^{\cdot }}}}}\!\!=4$$
따라서 $$2=4,~1=2$$이다.

7.1. 오류 규명

결론부터 말하면, $${\displaystyle {x^{x^{\cdot ^{\cdot}}}}}\!\!=4$$의 해는 없다. 자세한 내용은 이 영상을 참고. 따라서 위 논증에서는 $${\displaystyle {x^{x^{\cdot ^{\cdot}}}}}\!\!=4$$의 해가 있다고 가정했기 때문에 오류이다.
설명을 더 보충하자면, 무한대의 테트레이션 $$\displaystyle {\displaystyle {x^{x^{\cdot ^{\cdot}}}}} \!\! = \lim_{n \to \infty} x \uparrow \uparrow n$$은 [math(-\dfrac{W(-{\rm Log}\,x)}{{\rm Log}\,x})][5]에 수렴하는데, 이 함수가 실수 함숫값을 띠는 정의역이 [math((0 ,\, 1))][math(\,\cup\,(1 ,\, e^{1/e}])][6]이고, 이에 따라 공역이 [math((0,\,1)\,\cup\,(1 ,\, e])][7]이므로, 당연히 $$4$$는 여기에 속하지 않는다.
[image]
실제로 위의 $$y=-\dfrac{W(-{\rm Log}\,x)}{{\rm Log}\,x}$$의 그래프를 보면, 위의 정의역을 벗어난 구간에서는 보라색 선([math(\Im(y))])이 [math(0)]이 아니며, 이는 실수로 표현할 수 없다는 뜻이다.

8. 확률

동전을 2개 던져 모두 앞 면이 나오기 위해서는 4분의 1, 그런데 동전을 던지면 모두 앞 면이 나오거나 나오지 않으므로 2분의 1이다. 따라서 1=2이다.

8.1. 오류 규명

위 논리대로라면 모든 확률이 2분의 1이 된다. 이는 확률을 구할 때 근원사건을 고려하지 않아서 생긴 오류이다. 다시 말해, 이는 동가능성의 원리를 배제했다고 할 수 있다. 동전 두 개를 던졌을 때의 근원사건은 앞면 앞면, 앞면 뒷면, 뒷면 앞면, 뒷면 뒷면으로 총 4가지의 경우이므로 1/4로 구해야 한다.

9. 허수

$$i=\sqrt{-1}$$
$$\frac{1}{\sqrt-1}=\frac{1}{i}$$
$${\sqrt\frac{1}{-1}}=\frac{1}{i}$$
$${\sqrt-1}=\frac{1}{i}$$
$$i=\frac{1}{i}$$
$$i^2=1$$
$$-1=1$$
$$0=2$$
$$0=1$$
$$1=2$$

9.1. 오류 규명

$$\displaystyle {\sqrt\frac{1}{-1}} \neq\sqrt{-1} =i$$이다. 왜냐하면 $$\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{-b}}= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b} i} = -\sqrt{\frac{a}{b}}i= -\sqrt{\frac{a}{-b}} $$가 되기 때문이다.

10. 0 무한합

$$0=0+0+0+\cdots$$
$$=(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots$$
$$=1-1+1-1+1-1+1-\cdots$$
$$=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\cdots$$
$$=1+0+0+0+\cdots$$
$$=1$$
따라서 0=1이고 양변에 1을 더하면 1=2이다.

10.1. 오류 규명

무한합이기 때문에 괄호를 풀거나 묶을 수 없다.
참고로 괄호를 푼 수열은 따로 그란디 급수라는 이름이 붙어 있으며, 오늘날에는 라마누잔합을 이용해 계산한 값인 $$1/2$$을 수렴값으로 '정의'하는 것이 다수론이다.

11. 지수법칙 남용

$$1=1.5-0.5=1.5+(-\frac{1}{2})=1.5+((-\frac{1}{2})^3)^\frac{1}{3}=1.5+((-\frac{1}{2})^3)^\frac{2}{6}$$
$$=1.5+((-\frac{1}{2})^2)^\frac{3}{6}=1.5+(\frac{1}{4})^\frac{1}{2}=1.5+\frac{1}{2}=2$$

11.1. 오류 규명

지수법칙 $$(a^m)^n=a^{mn}$$에서 $$m, n$$이 유리수 범위일 때는 밑 a가 '''양수'''일 때만 해당 법칙이 성립한다. 위에서는 밑이 $$-\frac{1}{2}$$이라는 '''음수'''이기 때문에[8] 위의 지수법칙을 응용한 $$(a^m)^{\frac{n}{p}}=(a^n)^{\frac{m}{p}}$$이 성립하지 않는 것이다.

12. 바나흐-타르스키 역설

ZFC 공리계 내에서 구 하나를 같은 크기의 구 둘로 만들 수 있다. 자세한 증명은 문서 참조.

12.1. 오류 규명

위 정리가 1=2를 증명하지는 않는다. 이는 우리가 '도형의 개수'라는 개념의 성질에 대해 잘 모르기 때문이다.[9] 따라서 위 정리가 1=2를 증명한다고 주장하려면 우리가 이미 성질을 잘 알고 있는 개념들과 연관지어 설명할 필요가 있다. 연관지을 수 있는 개념으로 당장 생각나는 것은 두 가지가 있는데, 하나는 기수#s-8(집합의 원소의 개수)이고 다른 하나는 측도(여기서는 부피)이다. 기수 개념과 연관지을 경우, 구 하나의 기수는 초한기수이며, 원래 초한기수에는 유한 배를 해도 자기 자신과 같기 때문에 1=2가 증명되지 않는다. 이는 0×1=0×2에서 1=2를 증명할 수 없는 것과 같은 이유이다. 측도 개념과 연관지을 경우, 위 정리의 증명 중 구를 두 개로 만드는 과정에서 부피를 구할 수 없는 집합이 발생한다. 그러므로 두 집합(구 하나와 구 둘)의 측도가 같다고 할 수 없고, 따라서 이 경우에도 1=2가 증명되지 않는다. 따라서 위 정리로 1=2를 증명할 수 있다는 주장은 논리적 비약이다.

13. 무논리

만능 상수: 모든 방정식의 해가 될 수 있는 상수가 있을 것이다. 이 수는 해가 1인 방정식의 해도 될 수 있고 해가 2인 방정식의 해도 될 수 있을 것이므로 1=2다.

범신론: 모든 수는 하나다. 1과 2 역시 하나이다. 따라서 1=2다.

13.1. 오류 규명

전제의 내용이 증명되지 않았으므로 추론의 결과가 옳다고 확신할 수 없다. 결론을 사용해 다시 전제를 뒷받침하려는 사람들도 있는데, 이 경우는 순환 논법이다.

14. 관련 문서

[1] 주어진 곡선을 미분가능한 유한 개의 조각으로 자를 수 있을 때 조각마다 미분가능하다고 한다. 임의의 자연수 $$n$$에 대해 $$G(n)$$은 조각마다 미분가능하다.[2] 수식으로 표현하자면 집합 판별 함수를 이용해 $$y = {\bold 1}_{\{2\}}(x) + 1$$ 정도로 표현 가능하다.[3] 위 방식대로 예를 들어 $$f(x)=x=1+1+ \cdots +1$$로 생각한다면 이 함수를 미분해도 $$f'(x)=0+0+ \cdots +0=0$$이고 틀린 값이 나온다.[4] 미분의 해당 성질은 $$n$$이 $$x$$에 독립일 것을 전제로 한다. 이러한 전제를 바꿔버리면 '''전혀 다른 명제가 되어버린다.'''
실제로 $$n$$이 $$x$$에 종속될 경우에는 해당 식이 성립하지 않는다. 즉, $$(f_1(x)+f_2(x)+ ... +f_{n(x)}(x))'=f_1'(x)+f_2'(x)+...+f_{n(x)}'(x)$$은 일반적으로 성립하지 않는다. 다음과 같은 반례가 있다.
$$f_1(x)=0,\; f_2(x)=x,\; n(x)=\begin{cases} 1, \;\;x=0 \\ 2, \;\;x\neq 0 \end{cases}$$
이 경우 모든 $$x$$에 대해 $$f_1(x)+f_2(x)+...+f_{n(x)}(x)=x$$이므로 $$(f_1(x)+f_2(x)+ ... +f_{n(x)}(x))'=1$$이지만, $$f_1'(x)+f_2'(x)+...+f_{n(x)}'(x)=\begin{cases} 0,\;\; x=0 \\ 1,\;\; x\neq 0 \end{cases}$$이므로 좌변과 우변이 다르다.[A] A B 엄밀히 말하면 다른 해들도 있지만 무연근이므로 무시한다.[5] $$W$$는 람베르트 W 함수, $$\rm Log$$는 복소로그함수이다. 유도 과정 보기[6] $$e^{1/e}$$는 1.444667861 정도 되는 수인데, 위의 $$\sqrt2$$보다 약간 더 크다. 위 영상에서는 해석적 확장을 쓰지 않았기 때문에 정의역을 $$[e^{-e},\,e^{1/e}]$$로 제시한다.[7] [math(0)], $$1$$의 경우는 로피탈의 정리를 사용하여 함숫값이 각각 [math(0)], $$1$$임을 보일 수 있다.[8] 밑이 음수이고 지수가 정수가 아닌 실수이면 해당 수는 '''허수'''가 된다.[9] 여기서 '잘 모른다'라는 것은 '위 정리로 1=2를 증명할 만큼 충분히 알지는 못한다'라는 뜻이다. 즉, 더 자세히 말하자면 '특정 도형 몇 개를 유한 조각으로 나눈 뒤 적절히 회전 이동, 평행 이동하여 다시 그 도형 몇 개를 만들었을 때 도형의 개수는 보존된다'라는 '도형의 개수'의 성질이 직관적으로는 옳아보일 수 있어도 증명되지는 않았기 때문이다.

1=2

1. 개요