마방진
魔方陣 / magic square
1. 역사
마방진의 기원은 분명하지는 않으나 약 3000년 전 중국의 우(禹)나라의 우왕이 강의 치수공사를 하던 중에 물 속에서 나온 거북이 등에 있는 무늬를 보고 처음으로 생각해 내었다고 한다. 그 후 마방진은 신비한 전설과 같이 인도, 페르시아, 아라비아 상인들에 의해 서아시아, 남아시아, 유럽으로 전해졌다. n2개의 수를 n × n 사각형에 가로 세로 대각선의 합이 같도록 배열한 것. 수학의 요소임에도 불구하고 이름에 '魔'나 'magic'이란 글자가 있는 등 오컬트의 성격이 남아 있는데, 이는 과거에는 마방진을 신비한 힘이 깃들어 있는 부적처럼 여겼기 때문이다. 현재도 오컬트적인 탈리스만#s-1을 만들때 마방진을 사용한다.
2. 상세
보통은 1부터 n2까지 채운 것을 말한다. 넓은 의미로는 수를 특정한 모양으로 배열해서 정해진 단위의 합이 일정한 것.
2.1. 홀수 차수 마방진
홀수 마방진의 경우 대각선으로 숫자를 써가면서 다 채운 다음에 상하좌우에 튀어나온 숫자들을 반대편으로 넘기면 끝난다. 뿌리깊은 나무에서 어린 세종이 이걸 스스로 찾아내는 장면이 나온다.
2.1.1. 짝수 차수 마방진
짝수 마방진의 경우는 4×4의 경우와 이를 응용한 8×8(12x12, 16x16 등 4의 배수라면 동일한 방법으로 가능하다)
2.1.1.1. $$2^{n}\times 2^{n}$$ 차수 마방진
이 경우 $$2^{n}\times 2^{n}$$(단, $$n\geq 2$$) 매우 쉽게 만들어 진다.
2진법 표기를 응용하는데, 1에서 시작하여, 다음 점화식을 거치게 된다.
(1). $$a_1$$=1
(2). $$n$$번째 단계를 $$a_n$$이라 할 때, $$a_{n+1}=a_{n}\times 2^{\lceil\log_{2}{a_n}\rceil}+b_{n}$$($$b_n$$은 $$a_n$$의 1의 보수[1])[2]
이 과정을 반복하면 다음과 같이 된다.
$$a_1=1$$
$$a_2=10$$
$$a_3=1001$$
$$a_4=1001\quad0110$$
$$a_5=1001\quad0110\quad0110\quad1001$$
$$a_6=1001\quad0110\quad0110\quad1001\quad0110\quad1001\quad1001\quad0110$$ 식으로 전개된다.
이 중에서 $$a_{2k+1}$$(단, $$k \geq 2$$)를 택하면 된다.
여기서 $$a_{2k+1}$$순열을 이용해서 $$2^{k}\times 2^{k}$$ 마방진을 만들면 다음과 같다. 아래는 $$a_5$$와 4×4를 예시로 들었다.
1) 먼저, 4×4 칸에 $$a_5$$을 한 칸에 1자리씩 적어넣는다. $$a_{2k+1}$$를 택했다면 $$2^{k}\times 2^{k}$$ 칸을 택하면 된다.
2) 그 후, 1부터 16까지를 칸에 맞춰 적어넣는다. 단, 1)에서 적은 수가 0일 경우는 생략한다. $$a_{2k+1}$$를 택했다면 1~$$2^{2k}$$를 적어넣으면 된다.
3) 이제 16에서 1까지를 칸에 맞춰 적어넣는다. 단 2)에서 숫자를 적어넣었을 경우는 생략한다. $$a_{2k+1}$$를 택했다면 $$2^{2k}$$~1을 적어넣으면 된다.
4) 1)에서 적어넣은 1과 0을 지운다. 이로서 완성.
2.1.1.2. 그 외 짝수차 마방진
a×a차 마방진과 b×b차 마방진의 구성을 알고 있을 때, ab×ab차 마방진은 a차 마방진의 구성을 우선적으로 따르는 방식과 b차 마방진의 구성을 우선적으로 따르는 방식으로 만들어 질 수 있다.
예를 들어서 12×12차 마방진의 경우, 12=3×4이므로 다음 두가지 구성이 만들어진다.
다만 문제는 응용으로 만드는게 불가능한 6×6, 14×14 등의 짝수 마방진은 생각보다 만들기 상당히 까다롭다.
아래는 6×6 마방진.
소수로만 이루어진 마방진도 있다.(3×3)
1×1 마방진은 1개가 존재하며 2×2 마방진은 존재하지 않는다. 회전과 대칭을 고려하면 3×3 마방진은 1개가 존재하고 4×4 마방진은 880개가 존재한다. 5×5 마방진은 1973년 수학자 리처드 슈뢰펠(Richard Schroeppel)에 의해 275,305,224개가 존재한다는 사실이 확인되었다.
넓은 의미의 마방진으로 육각형 거북이 등껍질처럼 배열한 지수귀문도 (영의정을 여러 차례 지낸 최석정이 처음 고안), 입체마방진(매직 큐브), 별모양의 매직 스타, 육각형 격자에 육각형 안에 숫자를 채운 매직 헥사곤 등이 있다.
스도쿠는 마방진과 비슷한 라틴방진(Latin Square)에서 아이디어를 얻은 숫자퍼즐게임이다. 라틴방진이란 n × n의 사각형의 가로세로 각 줄에 1부터 n까지의 숫자가 한번씩만 나오도록 배열한 것이다. 라틴방진은 레온하르트 오일러가 연구했기 때문에 오일러방진으로도 불린다.
3. 사토르 마방진
자매품으로 '사토르 마방진'이 있다. 가로쓰기로 읽을 때와 세로쓰기로 읽을 때가 똑같은 단어 집합들을 이르는 말. 우리가 흔히 알고 있는 '개똥아 똥쌌니 아니오'[3]나 '라팔아 팔렸니 아니오'가 예시이다. 여기서 가로쓰기는 좌횡서, 세로쓰기는 좌종서로 쓰는 게 일반적이다.
사토르 마방진이라는 이름은 Sator Arepo Tenet Opera Rotas라는 라틴어 문장에서 유래했으며, 이는 가로로 읽으나 세로로 읽으나 똑같이 읽히기도 하지만 거꾸로 읽어도 역시 같다. 즉, 회문이다.
- Sator: 씨 뿌리는 사람, 창조자
- Arepo: 의미불상. 마방진에 맞춰 만들어진 고유명사로 해석함. 혹은 소수의견으로 이집트 상형문자에서 파생한 단어로 여김.
- Tenet: ←teneo. 잡다, 견지하다, 도달하다.
- Opera: 일, 공적 활동, 보살핌.
- Rotas: ←rota. 바퀴, 녹로, 형차.
다른 유력한 해석으로, 위의 표를 아나그램으로 재배열하면 다음과 같은 모양이 된다.
A와 O는 그리스 문자의 알파(Α)와 오메가(Ω)의 라틴 문자이며, 십자가 모양으로 배열된 Pater noster는 주기도문의 라틴어 첫 구절이다. 이를 토대로 이 표식이 기독교도를 표현하는 암호였다는 해석이 있다.
크리스토퍼 놀란 감독의 영화 테넷이 이 사토르 마방진에서 일부 용어를 따왔다.
영화 제목인 테넷, 주연급 악역인 사토르, 영화의 오프닝 무대였던 오페라 극장, 미술품 위작을 그린 아레포, 프리포트를 만든 회사인 로타스까지 사토르 마방진의 5개 요소를 모두 사용하였다. 상술한 폼페이 또한 영화 내 장소로 쓰인다.
'''※ 기타 예시 작성시 의미가 통하는 문장이거나 단어 간의 수식ㆍ설명ㆍ인과 등의 밀접한 관계가 있어야 한다. 특히 연관 없는 고유 인명의 나열은 피하자.'''
4×4 마방진
3.1. 만드는 법
A, B, C, D, E, F에 대입해서 말이 되게 만들면 된다.
위의 예를 이용하자면
A, B를 넣은 뒤 C를 넣으면 된다.
4. 참조
[1] 2진법 숫자의 1과 0을 모조리 바꾸는 과정을 의미한다. 예를 들어서 1101의 보수는 0010이 된다. 실제로는 1101을 0000 1101로 봐서 1111 0010으로 만들어야 하지만, 여기서는 자리수는 무시.[2] 말은 어렵게 설명했지만, 실상은 전 단계의 수를 써 넣은 뒤, 전 단계의 수를 1과 0을 서로 바꿔서 뒤에 이어서 쓰면 된다.[3] '아니오'가 아닌 '아니요'가 맞춤법에 맞는 표기나, 이런 식으로 무엇이 아니라는 내용들의 판본이 주로 '아니오'로 전해오고 있다. 사실 '요'로 해도 이 마방진에는 문제가 없기 때문에 상관없다.