메르카토르 도법
1. 개요
네덜란드의 지도학자 헤르하르뒤스 메르카토르가 고안한 지도 투영법. 항해용으로 편리해 만들어진 이후 항해사들에게 사랑받았으며 일반인들에게도 널리 퍼졌다. 국내 항해 서적에서는 점장도법(漸長圖法)이라고도 한다.
2. 원리
2.1. 원통중심 도법
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지구를 표면이 유리인 구슬이라고 가정하자. 직사각형의 커다란 종이로 지구를 적도를 따라 감싼 다음에 중심에서 전구를 켜면, 지구 표면의 그림자가 종이에 비치게('''투영'''되게) 된다. 이 그림자를 그대로 따라 그린 다음에 말았던 종이를 펴면 원통중심 도법 지도가 만들어 진다. 참 쉽죠?
2.2. 메르카토르 도법
원통중심 도법에는 한가지 문제가 있는데, 북극점 근처나 남극점 근처를 표현하기 위해서는 세로로 무한정 큰 도면이 필요하다. 이 사영은 사영된 평면의 y축이 무한대로 늘어나기 때문이다. 메르카토르 도법에서는 원통중심 도법을 약간 보정하여 경선은 그대로 두고, 위선 간격을 원통중심 도법의 로그값으로 축소시켜 각도 정확히 나타낼 수 있게 만들었다.[1] 원통중심 도법과 다르게 특정 점에서의 동서 왜곡도와 남북 왜곡도를 똑같이 맞추었더니 이러한 장점들을 얻었다.
2.3. 참고사항
지도를 보는 사람이 원하는 것으로 두 지점 사이의 방향, 두 지점 간의 거리, 경선과 위선 사이의 각도, 지구 위 특정한 영역의 면적의 4가지를 들 수 있는데, 이 중 하나를 정확하게 나타내려면 나머지 셋을 포기해야 한다. 방향을 정확하게 나타내면 '''방위 도법''', 거리를 정확하게 나타내면 '''정거 도법''', 각도를 정확하게 나타내면 '''정각 도법'''(각도가 다 같으면 닮음이므로 '''정형 도법'''이라고도 부른다), 면적을 정확하게 나타내면 '''정적 도법''', 그리고 방향, 거리, 각도, 면적 중 어느 하나도 정확하진 않으나 모두 적당히 만족할 경우에는 '''절충 도법'''이라고 한다. 메르카토르 도법은 정각 도법의 일종이다.
3. 특징
메르카토르 도법으로 그려진 지도는 출발점과 목적지를 직선으로 연결하고 이 직선과 위선 사이의 각을 재서 원하는 목적지에 갈 수 있다. 쉽게 이야기하면, 지도 위에 나침반 갖다 대고는 자기가 가고자 하는 방향이 북극과 이루는 각도를 계산한 후, 그 각도를 유지하며 나아가면 지도에 나와있는 대로 따라갈 수 있다는 이야기. 나침반이랑 각도기만 있으면 지도에 보이는 대로 항해할 수 있으니, 항해하기에 매우 편한 지도이다. 좀 유식한 용어를 써서 말하자면 메르카토르 도법에서 두 점 사이의 직선은 항상 지구상에서 항정선에 해당한다. 물론 이 루트가 당장 어느 방향으로 가야 목적지에 갈 수 있을 지 알아내는 데는 편리하지만, 반드시 최단 경로인 대권 항로가 되는 것은 아니다. 우리가 가장 흔히 볼 수 있는 세계지도는 수많은 투영법중의 하나인 메르카토르 투영법으로 그린 지도다. 정각 도법이라는 특성상, 많은 웹지도가 유사 메르카토르 도법을 사용한다.
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위 지도를 보면 알겠지만, 메르카토르 도법은 위도와 경도가 지도상에 평면좌표계의 X축과 Y축으로 나타난다. 따라서, 메르카토르 도법은 두 지점사이의 직선이 위도 또는 경도와 이루는 '''각'''을 정확하게 보여준다. 대신에 '''면적''', '''방향''', '''거리'''는 보장할 수 없다. 적도 부근은 거의 정확하게 투영되지만, 고위도로 갈수록 간격이 실제보다 확대되면서 면적이나 형상이 크게 왜곡된다. 이는 실제 경선의 간격이 고위도로 갈수록 좁아지는 것에서 기인한 것으로, 고위도로 갈수록 실제에 비해 가로로 늘어나게 된다. 게다가 가로로만 늘어나는 게 아니라 위 그림에서 볼 수 있듯이 세로로도 늘어난다!
면적, 방향, 거리 등 요소들의 왜곡은 sec(위도)가 나타내며, 이 값과 1의 차이가 커질수록 왜곡은 커진다. sec(0) = 1이며, sec(90°)는 무한대이므로 적도의 왜곡은 없고, 양 극점의 왜곡은 무한대다. 북극'''점'''과 남극'''점'''은 '''점'''이므로 수학적으로 크기가 0, 즉 길이도 지름도 없는데, 지도상에서는 적도에서의 지구 둘레와 똑같이 늘어난다. 즉, 0이 4만 킬로미터 이상으로 늘어나는 것이므로 왜곡률은 무한대가 된다.
메르카토르 투영법이 남용되면서 많은 비판을 받았는데 주로 지목되는 것은 면적의 왜곡이다. 극 부분에 가까운 고위도 지역이, 적도와 가까운 저위도 지역보다 더 크고 자세하게 묘사된다. 사실 모든 도법에 오류가 있다는 점에서 부당한 면이 있지만, 지도를 내거는 사람이 지도의 용도를 생각하지 않고 항해사들이 많이 쓰는 지도를 그대로 가져다 내건 잘못도 있다. 왜 항해사들의 지도가 선택됐는지를 변명해본다면, 실용적으로 지도를 많이 쓰는 사람이 항해사였으니까.
4. 항상 까이는 지도?
허나 메르카토르 지도만 욕을 먹는 것은 부당하다. 지구는 구형에 가까운 입체이기 때문에 전 지구를 평면 위에 나타내는 도법은 결코 정확할 수 없으며, 정확하게 만드는 것이 불가능하다. 중학교 1학년 수학시간에 '원기둥과 원뿔은 평면에 전개도로 나타낼 수 있지만 구는 불가능하다'는 사실을 들은 적이 있을 것이다.[2] 이는 카를 프리드리히 가우스가 수학적으로 증명한 사실이다. 그러므로 메르카토르 도법만 부정확한 게 아니라, '''전 지구를 평면 위에 표현하는 모든 도법은 부정확하다.'''
심심하면 메르카토르 도법이 까이는 이유는, 일반인들의 지리 인식에서 나라의 모양이 얼마나 정확하게 표시되는지, 나라의 땅넓이가 크고 작은지가 꽤 중요하게 작용하는데 , 이런 용도로는 어설프게나마 둘 다 어느 정도 정확하게 보여줄 수 있는 다른 도법들이 더 낫다는 점이 크다. 메르카토르 도법은 항해용이라는 딱 하나의 목적에만 충실해서 다른 건 전혀 고려하지 않는 도법의 일종이니까.
4.1. 문제점
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대표적인 메르카토르 도법 오류인 그린란드와 아프리카 대륙 크기 비교. 문자 그대로 뻥튀기가 따로 없다.
실제 면적을 비교해주는 사이트 위의 그린란드와 아프리카를 비교하는 사진도 여기서 캡쳐한 것이다.
세계지도상에서 비교할 수 있는 사이트도 있다.
적도에서 멀어질수록 면적이 뻥튀기되기 때문에 수 많은 오류가 나타나는데 예를 들면 다음과 같다.
- 그린란드와 아프리카는 거의 같은 크기로 보이지만 실제로는 아프리카가 14배나 더 크다.[3] 게다가 실제로 그린란드는 아프리카에서 가장 넓은 나라 알제리보다 작다. 그리고 그린란드보다 큰 섬은 대륙으로 취급하므로 그린란드보다 3배 큰 호주가 대륙이라는 말을 듣고 갸우뚱한적이 있을것이다. 그러나 지구본으로 보면 간단히 해결되는 문제이다.
- 캐나다와 아프리카는 비슷해 보이지만 실제로는 아프리카가 캐나다보다 3.3배 정도 더 크고 러시아보다도 1.76배 정도 더 크다.[4]
- 러시아가 남아메리카보다 3~4배 정도 더 커보이지만 실제로는 남아메리카가 약간 더 크다.[5]
- 알래스카는 멕시코보다 3배나 더 커보이지만 실제로는 멕시코가 더 크다.
- 아이슬란드는 한반도와 비슷한 크기로 보이지만 실제로는 남한 정도의 크기다. 실제로 위의 세계지도상 면적 비교 사이트에 가서 남한 영토를 아이슬란드 쪽으로 옮긴 뒤 회전시켜 보면 상당부분 겹친다.
- 한반도보다 캄차카 반도가 2배이상 더 커 보이지만 실제론 한반도보다 약간 더 크다.
- 한반도가 가나보다 약간 더 커 보이지만 실제로는 가나가 약간 더 크다.
- 영국이 에콰도르보다 2배는 더 커보이지만 실제로는 에콰도르가 영국보다 약간 더 크다.
- 노르웨이가 터키보다 더 커 보이지만 실제로는 터키가 2배 정도 더 크며 노르웨이는 스발바르 제도를 합칠 경우 일본보다 약간 더 큰 정도다.
- 일본은 핀란드보다 작아 보이지만 실제로는 핀란드보다 더 크다.
- 남극이 아시아를 제외한 다른 대륙을 다 합친 것 만큼 거대해진다.[6]
- 오스트레일리아가 브라질보다 커 보이지만 실제로는 브라질이 더 크다.
- 콩고민주공화국은 서유럽의 절반 내지는 2/3 정도로 보이지만 실제로는 비슷한 수준이다.
- 독일이 케냐보다 더 커 보이지만 실제로는 케냐가 더 크다. 그리고 케냐는 실제로 도서지역을 제외한 프랑스보다도 더 크다.
- 스페인과 볼리비아의 면적이 서로 비슷해 보이지만 실은 볼리비아가 2배 이상 더 크다.
- 프랑스는 콜롬비아와 비슷해 보이지만 실은 콜롬비아가 2배 이상 더 크다.
- 벨라루스가 기니보다 커 보이지만 실제로는 기니가 약간 더 크다.
- 인도와 몽골은 얼핏 보면 비슷해보이지만 실제로는 인도가 몽골의 2배가 살짝 넘는다.(2.1배) 마찬가지로 몽골 옆에 있는 카자흐스탄이 인도보다 더 큰 것 같지만 사실 인도가 카자흐스탄의 1.21배 정도로 더 크다.
- 스웨덴이 이라크보다 2배 이상 더 커보이지만 실제 둘의 면적은 거의 비슷하다.
- 핀란드는 적도 부근의 콩고 공화국보다 2~3배 정도 더 커보이지만 실제로는 콩고 공화국이 약간 더 크다.
- 브라질이 알래스카를 제외한 미국 본토보다 작아 보이지만 실제로는 브라질이 미국 본토보다 더 크다.
- 아르헨티나가 인도보다 커 보이지만 실제로는 인도가 더 크다.
- 우간다는 사할린 섬과 면적이 거의 비슷해 보이지만 실제로는 우간다가 3배 정도 더 크며, 캄차카 반도가 우간다의 3배 정도로 커 보이지만 실제로는 약 1.14배 정도의 차이다.
- 프랑스의 넓이와 독일의 넓이가 비슷해 보이지만 사실 프랑스 유럽 본토의 면적이 독일(약 36만km2)의 1.5배인 약 54만km2 이다. 또한 스웨덴이 러시아를 제외 한 유럽내에서 가장 커보이지만[7] 알고보면 45만km2로 프랑스보다 작다.
4.2. 왜곡의 정도
앞에서도 말했듯이 오른쪽 숫자가 1에서 벗어날수록 오차가 커지며, 이 숫자는 몇 배나 차이나는지를 말해 준다. 예를 들어 오른쪽 숫자가 2라면 그 위도에 있는 것은 실제보다 2배 크게 보여진다는 뜻이다. 그리고 이것은 지구가 완벽한 구형임을 가정할 때의 결과이다.
참고로 많은 메르카토르 도법 지도는 남북위 85˚ 정도에서 잘리는데, 애초에 극점에서 일어나는 극단적 왜곡때문에 자를 수 밖에 없기도 하거니와, 저 부근에서 자르면 가로:세로 비율이 1:1이 되기 때문이다.
sec x dx 를 -85pi/180부터 +85pi/180까지 적분하면(적분의 위아래 끝은 육십분법을 라디안으로 바꾼 것) 약 6.26이 나오며 이 값은 원주율의 두 배(360도에 해당하는 라디안)와 비슷한 값이다. 즉 가로는 지구 전체의 경도이니 원주율의 두 배가 되며 세로도 비슷한 값이 되는 것이다. 지구가 완벽한 구형이라고 가정하면 적도에서는 위도 1도와 경도 1도의 실제 거리가 일치하는데, 고위도로 갈수록 경도 1도의 길이가 짧아지며, 메르카토르 도법에서는 경도가 짧아지는 비율만큼 위도를 부풀리므로 저 적분값의 시작과 끝을 0과 해당 위도(라디안으로 변환 후)로 잡아주고 그 결과값을 라디안으로 보고 육십분법으로 변환하면 경도 몇 배만큼 적도에서 멀어지나를 볼 수 있다. 가령 북위 35도라면 저 적분을 해보면 약 0.65284가 나오고 이것을 라디안으로 보고 육십분법으로 변환하면 37.405도가 나오는데, 지도상 해당 경도에 해당하는 적도의 점에서 경도 37.405도의 길이에 해당하는 만큼 북쪽으로 가서 찍어주면 된다는 소리다.
4.3. 항정선과 대권의 차이
구면 위에서 두 점을 잇는 가장 짧은 거리, 즉 구면 위에서의 직선은 그 두 점을 잇고 중심이 구의 중심인 원의 일부분(호)이다. 이 원을 대원이라고 하는데, 지리학에서는 대권이라고 한다. 대권과 항정선은 평면에 익숙한 직관으로는 같을 것 같지만 실제로는 항정선이 더 길다. 이는 메르카토르 도법이 정거 도법이 아니라는 얘기기도 한데, 그래서 이런 일이 생긴다.
- 뉴질랜드 남단에서 칠레 남단까지의 직선거리(남태평양 경유)가 브루나이에서 소말리아 모가디슈까지의 직선거리보다 짧게는 1.5배에서 길게는 2배 정도 길어보이지만 실제로는 둘이 비슷한 수준이다.
- 한국 출도착 미주권 항공노선의 항로가 실제로는 약간 북쪽으로 커브를 틀며 가는 것을 동일 위도선이 직선으로 그려진 메르카토르 도법으로는 설명할 수 없다. 냉전 시대 북쪽에 치우친 앵커리지 국제공항이 왜 중요했던 것인지에 대한 중요한 정답이다. 만약 메르카토르 도법상의 최단거리가 진짜 최단거리라면 하와이를 경유하여야 옳다[13].
4.4. 메르카토르 지도 음모론(?)
이를 두고 메르카토르 도법이 유럽 중심 세계관을 반영한 것이라는 비판을 받기도 하는데 이는 근거가 빈약하다. 이 주장이 성립하려면 메르카토르 도법 이외의 대안이 있는데도 불구하고 굳이 메르카토르 도법을 고수했다는 것을 입증해야 되는데, 이를 뒷받침할 수 있는 근거가 전무하다. 앞서 설명했듯이 메르카토르 도법이 사용된 이유는 '항해에 편해서'이다. 메르카토르 도법상에서 두 지점을 이은 선분은 지구 경선에 대해 같은 각도를 유지하는 등각 항로가 되기 때문. 이 방법으로 지도를 제작하고 보니 단지 우연히 유럽이 고위도 지역에 있었기 때문에 크고 자세하게 묘사되는 이득(?)을 얻은 것처럼 보이는 것 뿐이다. 물론 이런 점을 일단 알고 난 다음에는 의도적으로 정적 도법 대신 메르카토르 도법으로 그린 지도를 부각해서 쓰는 경우도 얼마든지 있긴 있었겠지만.
4.4.1. 갈-페터스 도법
실제로 이런 주장을 바탕으로 방향에 대한 정확성은 포기하고 정확한 면적을 표현하기 위해 만들어진 갈-페터스 도법이 존재한다[16]. 그러나 갈-페터스를 신봉하는 일부 몰지각한 사람들이 "메르카토르 도법은 서양 중심의 제국주의 도법이다!"라고 언플하여 지리학자나 전문가들에게 매우 까이고 있다.[17]
미국이 냉전 시절에 메르카토르 도법을 이용했다는 이야기도 있다. 소련이 원래 땅이 넓기도 했지만 미국보다 더 북쪽에 있었으므로 면적의 왜곡이 훨씬 커져서 미국보다 엄청나게 크게 보였던 것. 따라서 소련의 위협을 지도를 보고 실감토록 했다는 것.[18]
4.4.2. 등장방형도법
또한 위도와 경도가 1:1로 나온 지도인 등장방형도법도 있어 보인다. 이경우에도 메르카토르 도법보다 왜곡은 좀 덜하되 위도는 왜곡이 없지만 고위도로 갈수록 경도에는 왜곡이 생긴다. 기상계에서 종종 쓰이는 경우가 있다.
5. 관련 문서
[1] 복소해석학에 따르면 로그함수는 해석함수이기 때문에 등각사상이다.[2] 이를 엄밀하게 증명하려면 대학 수학과 3학년 수준의 미분기하학을 배워야 한다.[3] 왠지 넓이가 뻥튀기된 지역이 아프리카와 비교당하는 경향이 있다. 이유는 대부분의 지역과 달리 아프리카가 적도를 끼는 지역이다 보니 메르카토르 도법을 쓰면 왜곡 폭이 다른 지역보다 월등하게 작기 때문.[4] 구 소련 면적에 오스트레일리아의 면적을 더한 값이 아프리카 면적과 비슷하다.[5] 다만 소련의 경우에는 소련이 남미보다 1.26배 정도 더 컸다.[6] 위에 언급한대로 극점의 왜곡 정도가 무한대기 때문에 메르카토르 도법 지도의 가장 아랫변은 남극대륙으로 가득 채워진 괴현상이 나타난다.[7] 독일과 프랑스를 합친것보다도 더 크게 나온다.[8] =sec(x˚)[9] 정확히 √(4/3) 이다.[10] 그러므로 한반도는 적도 지방보다 약 25~30% 정도 더 크게 나타난다고 보면 된다.[11] 정확히 √2 이다.[12] 엄밀히는 표현불가. 남극이 지도의 하단을 가득 채우고 있음을 알 수 있다.[13] 예를 들면 이런 식이다. 서울에서 동쪽으로 간다고 할 때 두 가지 방법을 생각할 수 있다. 첫 번째는 서울에서 방향을 확인한 후 동쪽으로 한 발 내딛는다. 그 자리에서 다시 방향을 확인한 후 동쪽으로 또 한 발 내딛는다. 이것을 되풀이하다 보면 미국에 도착한다. 두 번째는 서울에서 방향을 확인한 후 동쪽으로 쭉 간다. 그러면 칠레에 도착한다. 정동쪽 방면의 항정선과 대권의 차이이다.[14] 사실 양 극점은 메르카토르 도법에서 적도에서 무한대의 거리에 찍힌다[15] 대항해시대3에서는 북위/남위 75도선 바깥으로 가면 얼어죽어서 게임 오버다. 유럽에서 노르웨이-러시아 북쪽을 지나 베링해로 빠지는 길은 북위 75도선 위로 올라가야만 하기 때문에 통행불가이지만, 그린란드와 캐나다 사이를 지나 캐나다 북쪽 수많은 섬들 사이를 적절히 지나면 73~74도 사이를 유지하며 베링해로 갈 수 있다. 물론 아일랜드 이후 일본 도달까지 아무런 항구가 없기에 웬만하면 굶어죽어서 게임오버지만.[16] 메르카토르 도법이나 갈-페터스 도법이나 고위도로 갈수록 동서 방향을 뻥튀기한 것은 매한가지이다. 차이점은 위도이다. 메르카토르 도법은 모양을 정확하게 하기 위해서 남북 방향도 동서 방향과 같은 비율로 뻥튀기했다. 그래서 뻥튀기가 고위도일수록 심해지므로 고위도로 갈수록 위도 1도 사이의 거리가 벌어진다. 갈-페터스 도법은 면적을 정확하게 하기 위해서 남북 방향은 동서 방향과 같은 비율로 오그렸다. 그래서 고위도로 갈수록 위도 1도 사이의 거리가 좁혀진다.[17] xkcd에서는 여러가지 도법을 비교하면서 페터스 도법이 가장 좋다는 사람에게는 "난 네가 싫어"라는 말을 남겼다. 덧붙여 메르카토르 도법이 가장 좋다는 사람에게 남긴 말은 "지도에 관심이 없으시군요."[18] 쉽게 말해서 보수 정권이 (북한의 위협을 실제보다 크게 부풀려서) 북풍을 이용해 반공 정국을 조성한 것과 다를 바 없는 사례다.