2015 개정 교육과정/고등학교/수학과
1. 개요
2015 개정 교육과정의 고등학교 수학과 교육과정에 대하여 설명하는 문서.
2. 교과 목차
3. 변경 사항
내용이 2009 개정보다도 축소되었다. 일반적으로 고등학교 1학년 한 해에 1, 2학기로 나눠 배우던 수학Ⅰ와 수학Ⅱ를 한 권으로 합쳐 놓은 것으로 기존 수학Ⅱ의 「지수와 로그」, 「수열」 단원이 다시 2학년 과정인 수학Ⅰ으로 올라갔다. 확률과 통계에 있던 경우의 수가 고등학교 1학년 과정으로 내려왔지만, 기초적인 순열과 조합[2]만을 다루고 확률과 통계에서 기타 여러 가지 순열 및 조합을 다룬다. 역대 교육과정과 비교했을 때 '삼원연립일차방정식(미지수가 3개인 연립 일차방정식)'이 최초로 빠졌다. 아마 공간벡터가 빠지면서 필요가 없어져 빠진 듯. 또한, 연립일차부등식 및 이차함수의 최댓값과 최솟값이 중학 과정으로부터 올라왔다. 또 교과 출범 이래 직전 교육과정까지 '부등식의 영역'이 고1 수학 중영역으로 포함되어 있었으나 '''역사상 최초로 탈락'''하는 굴욕을 맞이했다. 경제 수학이라는 과목으로 넘어갔는데 사실상 상경계열 진학자를 제외하고는 아무도 안 건드리는 과목이라 사장되었다.
이전 교육과정과 비교했을 때 지표와 가수, 계차수열, 알고리즘과 순서도, 복잡한 삼각함수의 계산, 복잡한 점화식 등이 빠졌기 때문에 교과 수준은 오히려 쉬워졌으면 쉬워졌지 어렵지 않다.[5] 수열의 경우 역대 교육과정을 쭉 살펴보면 고등학교 1학년 때 배웠던 4차 교육과정을 제외하고 통상적으로 고등학교 2학년 때 배웠던 내용이다. 그러나 알고리즘과 순서도, 점화식, 계차수열이 모두 빠진 상태이기 때문에, 난이도로 보았을 때 본래 1학년 수준인 것이 어찌 보면 타당하다. 그래선지 직전 교육과정에서는 4차 교육과정 이후 최초로 고등학교 1학년 2학기 때 다루었다.[6] 이 단원은 고1 수학 때 배우던 '함수'와 '집합'을 복습해두면 이해가 빠르다. 정의역이 자연수이고, 치역이 실수인 함수가 그냥 '수열'의 정의이기 때문이다. 실제로 등차수열의 일반항은 일차함수와 유사하고, 그 급수는 이차함수와 유사하다. 직전(2009 개정) 교육과정에서는 '지수와 로그'보다 앞 단원에 배치하여 논란이 좀 있었는데, 이 교육과정으로 넘어오면서 해소되었다.[7]
지난 미적분Ⅰ에서 '수열의 극한'이 빠진 채로 구성되어있다. 교과 표제어만 '수학Ⅱ'지 사실 그냥 '미적분Ⅰ'이라고 보아도 무방하고, '미적분'이 '미적분Ⅱ'라고 봐도 무방하다. '미적분'이라는 표제어가 아무래도 교과 부담을 초래할 것을 우려하여 초기 7차 교육과정 때 수학Ⅱ와 미분과 적분으로부터 표제어를 빌려왔기 때문에 이러한 납득하기 힘든 작명을 탄생시킨 것이다. 초기 7차 교육과정 때 '분수 무리 방정식/부등식 + 다항함수의 미적분 + 이차곡선, 공간도형과 벡터'로 구성하여 수학Ⅱ를 만들었는데, 지금은 거기서 다항함수 미적분밖에 남지 않으므로 그냥 완벽한 미적분Ⅰ이다.
2007개정교육과정 때처럼 합의 법칙, 곱의 법칙, 수형도, 순열(직순열), 조합 등의 기초적인 경우의 수 내용이 고등학교 1학년에 배우는 공통 수학으로 내려갔다. 2015 개정 교육과정 때도 한 번 더 다루기는 하지만, 주로 중복순열, 중복조합, 같은 것이 있는 순열, 원순열, 이항정리 등의 심화적인 내용이 중추적인 역할을 할 것으로 보인다. 또 하나 크게 바뀐 점이 있다면, 수학Ⅰ을 배우지 않은 학생도 확률과 통계를 배울 수 있게 되면서 교과서에서는 이항정리를 직전 교육과정처럼 시그마를 통해 나타내지 않는다.
4. 평가·입시 관련
4.1. 대학수학능력시험
4.2. 내신 및 기타
- 수학
- 집합으로 정의하는 '함수'와 좌표 평면에 나타내는 '함수'를 다른 시각으로 이해해야 수월하다. 전자를 이산수학적 관점, 후자를 해석학적 관점으로 철저히 나누어지는데, 교육학계는 어째선지 그 관점 자체를 모르는 건지, 받아들이기 힘들다는 건지 좀처럼 바뀌지 않고 있다. 갑자기 함수를 집합으로 정의하다가, 기하학적 그래프를 동원하는데 이 둘은 본래 독립적으로 다룰 수 있는 부분이지 종속되는 관계가 아니다. 이런 점에서 유리함수, 무리함수를 바로 뒤에 서술하는 게 사실 꽤 비약적으로 보일 수 있을 것이다. 흔히 그래프로 나타낸다는 것을 기하학적인 것 하나만 된다고 오해하는 사람들이 많은데, 교과서에도 나와있듯이 그림을 안 그려도 순서쌍 자체도 그래프라고 한다. '기하학적인 그래프로 나타내기'만 따로 빼면, 함수 단원은 '집합'과 함께 '도형의 방정식', '다항식'보다 앞 단원에 배치될 수 있다. 절대로 '그래프=그림'이라고 오해하지 말 것.
- 유의해야 할 팁이 하나 있다. 여기서 생소한 기호가 나오는데, 막상 경우의 수 문제를 풀 땐 $$_n\!{\rm P}_r$$, $$_n\!{\rm C}_r$$, $$_n\!\Pi_r$$ 같은 기호가 이 내용의 본질적인 게 아니라는 것이다. 대수학 문제로 $$\rm _{5}P_{2}=5 \cdot 4$$ 정도만 나올 때 필요하지, 어차피 실전에 가선 조합 기호인 $$_n\!{\rm C}_r$$랑 $$ n!$$(팩토리얼) 밖에 안 쓴다. 이건 확률과 통계에서도 마찬가지.
- 확률과 통계
- 원순열 관련 내용은 굉장히 이상적이어서 그런지 대한민국과 일본 그리고 필리핀에서만 다룬다. 원탁을 마주할 일이 별로 없기 때문일 수도 있으나 교육적(사고방식을 기르는 목적)으로는 의미가 있어서 남겨둔 듯 하다.
- 중복 순열에서 쓰는 기호(파이, $$\Pi$$)는 세계적으로는 비공식 표기이지만 대한민국이랑 일본의 교육과정에서는 수십 년째 사용되고 있다. 원래는 지수로 표기한다. 자동차 번호판을 이용한 경우의 수도 사실은 중복순열을 이용한 것이다. 마찬가지로 중복 조합에서 쓰는 기호(호모지니어스, $$\rm H$$)는 세계적으로는 비공식 표기이지만 대한민국이랑 일본의 교육과정에서는 수십 년째 사용되고 있다.[11] 원래는 행렬로 표기한다.
- 기하
- 기하에서 배우는 벡터는 유클리드 기하학 관점에서의 벡터를 배우는 것이지, 선형대수학에서 다루는 그 벡터와는 조금 차이가 있다. 후자의 고급 수학Ⅰ의 행렬과 벡터까지 배웠다면, 벡터의 진(眞) 정의와 시각을 맛볼 수 있을 것이다. 그런데 이는 진로선택과목도 아닌 전문교과1이라 마니아나 특목고생이 아닌 이상 쳐다볼 일이 없을 것이다.
- 벡터[12]의 뜻, 합, 차에 대해 배운다.
- 물리학Ⅱ에도 등장하지만 벡터의 뜻, 합, 차만 알아도 문제가 없는 수준이다.
- 벡터를 분해하는 사고방식이 매우 중요하다. 직접적으로 다루진 않아도 교수법엔 주요 학습 목표로 여기며, 내신, 수능 시험에도 빈출된다.
- 평면벡터를 이용한 직선의 방정식을 다룬다. 이 부분은 2009 개정 교육과정 때 처음 들어왔다. 물론 공간 벡터에서 다뤘던 3D를 2D화한 버전에 불과해 공간벡터가 삭제되자마자 순식간에 잉여 개념이 되어버렸다
- 원의 방정식도 벡터로 나타낼 수 있다.
- 평면의 결정 조건 및 '삼수선의 정리', '이면각', '정사영' 등을 다룬다. 정사영은 코사인법칙의 3D 버전이라고 보면 좋다.
- 입체도형을 해석할 땐 여러 방향에서 평면화하는 것이 중요하다. 교과서에서는 잘 다뤄주지 않으므로 유의.
- 공간좌표는 고1 수학의 연장선이다. 축이 하나 더 추가되었다고 겁먹을 필요가 없다. 외분점, 내분점, 무게중심 등도 좌표 하나가 추가된 것 외엔 별 거 없다.
- 구의 방정식도 변수가 하나 추가된 것 외엔 거의 똑같다고 보면 된다.
- 공간상의 직선과 평면의 방정식은 다루지 않는다.
5. 논란 및 비판
5.1. 정적분 도입에 급수와 구분구적법 삭제
일단 도입부에서 삭제된 거지 교과 내용 자체가 사라지진 않았다. '구분구적법'과 '정적분과 급수(무한급수)'는 미적분으로 올라갔다. 앞으로 무한급수는 더 이상 정적분을 정의하기 위해 쓰이지 않으며 '넓이', '속도와 거리'와 함께 '정적분의 활용' 중영역에서 다루게 되었다.
이미 교사 및 강사들 사이에서는 관련 논란이 자자하다. 구분구적법을 이용한 정의를 하지않고 적분을 배우는 것은 곱셈을 배울 때 덧셈을 쌩까고 곱셈만 다루는 것[13]과 다를 바가 없다는 의견이 대다수다. 실재로 원리를 알지못하고 단순히 연산만 익히는 것이므로 오개념이 생길 수 있다.
- 수긍 측: 사실 이는 대한민국에서만의 설명 방법이었다. 보통 구분구적법은 대학교 수준에서나 언급될 부분이지, 고등학교 과정에는 맞지 않는다. 세계적으로 고등학교 수준에서 정적분을 무한급수와 구분구적법을 이용해서 정의하는 나라가 사실상 없다. 보통 고등학교 수준에서 적분의 정의는 미적분의 기본 정리만으로 정의되는 경우가 많다. 이러한 지적을 받고 적분의 정의에서 구분구적법을 삭제시킨 것이다. 즉, 어색함과 잘못됨은 엄연히 달리 봐야 한다는 것이다. 자세한 내용은 이 연구보고서를 참조하라. 또한, 밑의 주장에서 대학 과정이 어쩌구 하는데, 대학 수학을 미적분 안하고 듣는 사람이 어디 있는가? 이게 왜 굳이 수2에 있어야 되는지를 토의하는 문서인데, 밑의 얘기는 대학에 진학하여 수학 심화공부를 하게 될 때 장애물이 될 수 있다는 주장이지만, 그게 고등학교에서 빠진 것도 아니고 미적분으로 이동한 건데 그게 딱히 문제가 될 이유는 없다. 또한, 빠지는 데는 다 이유가 있는법이다. 구분구적법은 그렇다 쳐도, '정적분과 급수' 파트가 제대로 이해, 암기한다면 어려운 파트가 아니나 겉에서 보면 수식이 매우 난잡해 문과 수포자를 양산한다는 점이 크게 작용하였다. 이번 개정은 이미 60%에 다다르는 수포자들을 줄이기 위한 개정으로, 이 방면에 있어서는 매우 합당하다 할 수 있다. 그리고 위의 연구 보고서도 그렇게 주장하듯이, 이게 더 효율적이고 진입장벽이 낮은 설명법이라는 데는 다수가 수긍하는 부분이다. 또한, '수열의 극한과 급수' 파트가 미적분으로 올라간 것은 비판 측도 인정하는 부분이다. 그런데 급수가 미적분으로 올라간 마당에 비판 측의 의견을 따르자니 '구분구적법' 파트와 '정적분과 급수' 파트를 따로 가르쳐야 하는 말도 안되는 일이 일어난다.
- 비판 측: 적분에 대한 개념이 모호할 당시에 여러 수학자들의 연구 방법이 있었던 것은 맞지만, 현대에 통용되는 일반적인 수학의 정설을 따를 필요가 있다. 그것이 구분구적법을 이용하여 리만합의 극한으로 정적분을 정의하는 것이다. 그런 다음 미적분학의 제1, 2 기본정리를 증명하여 정적분과 미분의 관계, 정적분과 부정적분의 관계를 제시하는 것이 일반적이다. 실제로 대학 미적분학에서 이러한 순서로 가르치고 있으며 기존 교육과정에서 이와 거의 똑같은 방식으로 가르쳤다.[14] 그런데 이번 교육과정 개편으로 그 순서를 완전히 뒤집어 버린 것이다. 개정 교육과정은 미적분학의 제2 기본정리가 정적분의 정의 그 자체임을 제시한 후, 함수의 그래프 아래의 넓이의 순간변화율이 함숫값임을 증명하고나서[15] 양변의 역도함수를 구하여 제시된 결과를 바탕으로 정적분의 값이 함수의 그래프 아래 면적임을 제시한다. 아주 근본 없는 방식으로, 이것은 대학교에서 수학을 가르치는 논리 상의 전개 방식을 적절히 짬뽕하여 끼워 맞춘 것에 불과하다. 이런 식의 개념 제시 방법은 미적분을 처음 배우는 학생에게는 쉽게 다가올 수 있는 방식일 수는 있지만, 학생들이 대학에 진학하여 수학에 대한 심화적인 공부를 하게 될 때에는 장애물로 작용할 수 있다. 고등학교에서 배운 순서와 대학에서 가르치는 순서가 완전히 다르니까. 또한 수긍 측에서 언급한 '구분구적법은 대학교 수준에서나 언급될 부분이지'라고 말한 부분은 어차피 미적분 과목에서 다루기 때문에 말도 안 되는 주장이라 할 수 있다. 다른 나라에서 엄밀한 개념을 정의할 때 정확한 definition을 생략한다면 그 국가의 교육과정에 문제가 있는 것이다. 다른 나라의 선례를 따를 때도 그것이 옳은지에 대해 검증할 필요가 있다.
또한 수긍 측에서 어려운 개념의 삭제가 수포자들의 부담을 완화한다고 주장하는데, 아주 잘못된 현상 해석이다. 수포자들이 늘어나는 이유는 상향평준화되는 교육열과 증가하는 학생간 정보 격차, 그리고 수능 킬러 유형이지, 절대 개념의 유무나 난도 자체가 아니다. 1980년대 학력고사 시절 이후 교육과정 범위는 30년 넘게 계속 축소되기만 했는데 수포자들의 비율은 전혀 줄지 않았으며 오히려 2009 개정 교육과정이 대대적으로 적용된 2017학년도 수능 응시생 이후로 수학 기초 학력 미달 학생 비율이 급상승하였다. 이러한 결과는 어려운 수학 개념이 수포자들을 양산한다는 주장을 전면 반박하는 예시가 된다. 동아시아에서 대한민국의 수학 교육과정 분량은 압도적인 최저 수준임을 감안한다면 수긍 측은 논지를 잘못 잡고 있는 셈이다.
추가로 수열의 극한이 빠진 부분은 모두가 인정하는 부분인 것처럼 서술되어 있는데, 이는 사실과 다르다. 교육과정 삭제를 비판하는 측은 수열의 극한이 미적분으로 올라간 것에 대해서도 의문을 제기하고 있으며, 기하의 공간벡터 삭제와 진로 선택과목화, 행렬 추가 무산 등에 대해서도 반대 의견을 표한 바 있다.
교육학과의 한 논문에서도 2015 개정 교육과정에서 '구분구적법' 구성 방식이 대학 수업에 지장을 주고 있음을 경고하였다.
5.2. '기하'가 진로용 과목?
일단, '진로선택과목'을 구 7차 교육과정 시절의 '심화선택과목'과 비슷한 것으로 오해하지 말도록 하자. 둘은 엄연히 다른 성격의 교과목이다. '심화=진로'가 아니기 때문.
기하는 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 미적분, 확률과 통계 등과 함께 '''순수 수학''' 내용으로 묶여왔었고, 개정 후에도 이 흐름이 유지된다는 것엔 변함 없다. 좀 더 진로에 실용적이거나 직업적으로 응용되는 내용이 아니라는 것이다. 세계적인 측면에서 볼 때 이 기하 내용은 고1, 고2 초반 과정에 놓는 경우가 상당수며, 설령 이공계열 전용 심화 과목에 속하는 미적분 교과마저도 진로라 하기에 애매하다.
보통 진로라고 하면, 직업적으로 계열이 분명한 의미를 담고 있어야 하는데, 기하나 미적분과 같은 내용들은 순수 수학인즉 '''일반적인 과정'''이다. 공학적으로 특수하게 적용되는 함수나 경제수학처럼 특수 이론 같은 게 마구 등장하는 것이 아니라는 것이다. 그러나 개정되면서 경제수학, 실용수학과 동등한 위치에 놓는 아이러니한 정책 결과물이 나왔다. 결론적으로 이는 특정 집단이 입시에 용이하게 간섭하기 위해 정치적 피해를 입은 것으로 분석되고 있다. 자세한 것은 해당 문서 참조.
5.3. 기하 과목 수준에 대한 교육부의 과잉 인식
이전 교육과정의 기하와 벡터를 그대로 계승한 게 아니라 '음함수와 매개변수의 미분'과 '평면 운동'이 미적분으로 '''이사가서''' 미적분과의 연계가 싹 다 끊겼고, '공간 벡터'가 통째로 빠졌기 때문에 동아시아 교육과정에서는 '''완벽한 문과 수준 과목'''이나 다름없게 되었다.
중국 교육과정에서는 '''1학년 때''' 필수2, 필수3 과정에 걸쳐 '''평면 벡터와 공간좌표'''를 필수로 배우고 있으며, 선수1-1(문과 2학년) 땐 '''이차곡선'''까지 배운다[출처1] 사실상 기하(2015) 전체를 중국에서는 문이과를 막론하고 1~2학년 때 배운다는 것이다. 홍콩에서도 '평면 벡터'를 '''기본 과정'''으로 다루고 있으며 공간 벡터까지 필수다.[출처2] 홍콩은 우리보다 더 한 게 벡터는 물론이거니와 '3차정사각행렬', '행렬식', '푸아송 분포'까지 다룬다. 대만은 아예 공간 벡터와 공간 방정식, 행렬 등이 '''2학년''' 필수 과정이다.[출처3] 3학년 때는 선택 과목이지만 이보다 오히려 더 어려운 걸 배운다. 싱가포르는 공간 벡터는 물론이고 행렬과 선형변환까지 다룬다. 삼각함수의 근사, 역삼각함수까지 다루는 건 덤. 일본 역시 수학Ⅰ(일본), 수학Ⅱ(일본), 수학Ⅲ, 수학A, 수학B만 참고해봐도 대한민국보다 더 많은 수학 교과 내용을 배운다는 점을 알 수 있으며 '''공간 벡터를 문과도 배우며 일본의 수능( 현재폐지)에서 출제된다.'''
대개 구성만 참조해봐도 다른 나라는 오히려 이 '기하' 과목 내용이 초월함수의 미적분보다 하급 난이도 취급을 받고 있다. 심지어 대한민국에서도 과거 7차 교육과정 때 기하 전 범위를 초월함수의 미적분보다 낮은 단계인 수학Ⅱ로 분류했었다. '기하' 과목보다 어려운 내용을 담고 있는 '미적분'은 '일반선택과목'인데, '기하'는 위와 같은 모종의 이유로 '진로선택과목'이 되었다. 그리고 개정된 '기하' 과목은 이미 음함수/매개변수 미분이나 평면 운동 파트까지 파트 싹 다 '수학Ⅱ'나 '미적분'으로 이동된 바람에 초월함수와의 연계가 끊어졌으므로 훨씬 쉬워진 과목이다.
'기하(舊 수학Ⅱ/기하와 벡터)'가 여태 수능수학계에서 괴물 취급 받았던 이유는 다름이 아니라 문제들이 죄다 중학교 수학에서 응용되었기 때문이다. 그림도 3차원으로 나오기 때문에 겉만 보고 판단하는 비전문가 입장에서는 당연히 복병처럼 여길 수밖에 없다. 아무튼 교과 학습 난이도와 수능 문제 응용 난이도는 따로 생각해봐야 할 문제인데 이 둘을 구분하지 않고 무작정 '기하'를 진로선택과목으로 분류해놓은 것은 매우 황당한 처사이다. 특히 과거 7차 교육과정 때 기하 전 범위를 초월함수의 미적분보다 낮은 단계인 수학Ⅱ로 분류했다는 전적을 생각해보면 더더욱 황당할 수밖에 없다. 당장 고1 수학만으로도 문제를 어렵게 내는 게 가능한데(특히 1997학년도 대학수학능력시험 29번 문제) 이런 점을 모른다.
게다가 '기하' 과목은 수학Ⅰ의 삼각함수만 배우고 바로 뒤에 평면 벡터, 공간도형 단원을 구성해놔도 아무런 문제가 없다.[16][17] 이공계열이 응시하던 수학 가형에서 '기하'가 2021학년도 대학수학능력시험에서 출제 범위로부터 빠지게 되어 엄청난 반발을 산 적이 있었는데 이러한 반발을 인식하여 바로 다음 해인 2022학년도 대학수학능력시험부터 선택 응시로 전환되었다. 그러나 이공계 측의 입장은 여전히 썩 좋지 못한데, 미적분/기하/확률과 통계 중 1택이라는 정책이 무슨 큰 의미가 있겠냐는 까닭이다. 이러한 점으로 볼 때 차라리 과거 7차 교육과정 때 수리 가형의 포맷과 유사하게 '수학Ⅰ', '수학Ⅱ', '기하'를 필수 범위로 놓고 '확률과 통계'와 '미적분' 중에서 1택을 하도록 유도하는 게 더 의미 있었을 수도 있다.
기하 뿐만 아니라 실용수학도 개판이다. 미적분보다 높은 수준으로 취급하는 진로선택과목임에도 아예 전문성조차 찾아보기 어려우며 고1 수학 자체를 안 해도 배울 수 있게끔 편성해놓았다. 막말로 초딩 수준의 칠교놀이를 다루고 있다. 단 실용수학이라는 과목을 주로 선택하는 학생들을 생각하면 완전히 납득이 안 가는 것은 아니다.
5.4. 평면 운동과 미적분 연계 해제에 대한 아쉬움
2014년 고교 입학생부터 시행된 2009 교육과정에서는 (1998년생 부터 2001년생에 해당), 교육과정 지침상 '''미적분Ⅱ'''를 선 이수한 학생만이 '''기하와 벡터'''를 학습할 수 있게 해놨기에 두 과목은 뗄 수 없는 관계였다. 음함수의 미분, 매개변수로 나타낸 함수의 미분, 평면에서의 속도와 가속도와 거리, 곡선의 길이에서 미분 · 적분이 쓰였고, 벡터의 내적, 이면각에서는 삼각함수가 쓰였다. '''기하와 벡터'''가 '''미적분Ⅱ'''의 개념을 수반하기 때문에, 문제들이 다소 거칠게 나왔었다. 그러나 2018년 입학생부터 시행될 2015 개정 교육과정에서는, '''미적분Ⅱ'''가 '''미적분'''으로 개편되고, '''기하와 벡터'''가 '''기하'''로 개편되는데, '''미적분'''을 배우지 않은 학생이 '''기하'''의 모든 내용을 이해할 수 있도록 조정된다. 한마디로, '''기하'''에서 '''미적분'''(특히 이차곡선 접선의 방정식을 구할 때 사용하는 미분 등)을 활용하는 문제는 나오지 않게 된다.
따라서 음함수의 미분, 매개변수로 나타낸 함수의 미분, 평면에서의 속도와 가속도와 거리에 대한 내용이, 모두 본거지인 '''미적분'''으로 회귀한다. 사실 '''미적분'''에서 이들 내용은 연관성도 없고 쓸 일도 없을 것이고, 기존에 있던 내용들과는 괴리감이 있는터라 존재감이 없는 파트로 전락할 가능성이 높다. 오히려 음함수와 매개변수로 나타낸 함수 자체를 '''기하'''에서 많이 다루기 때문에 이를 '''미적분'''에서 문제가 어렵게 출제되기는 힘들다. 주로 27번 준킬러로 나왔던 이차곡선에 음함수의 미분을 엮어서 출제하는 경우도 더이상 없을 것이다.
결국 남은 가능성은 음함수의 미분법을 이용한 순간변화율 문제밖에 없는데, 과거 7차 교육과정 당시 음함수의 미분법을 이용한 순간변화율 문제가 다소 거칠게 출제된 경우가 종종 있었다. 음함수의 미분법을 물어볼 만한 게 이것 외에는 사실상 없어진 현재로써는 음함수의 미분법을 이용한 순간변화율 문제가 킬러 문제로 다시 군림할 가능성이 높다.
그리고 평면에서의 속도, 가속도, 거리에 대해서도 말이 많은데, 그 이유는 2009 교육과정에서는 평면운동을 벡터를 이용해서 설명을 했었기 때문이다. 직선운동에서는 방향이 + 또는 - 로 둘 중에 하나이기 때문에 벡터의 도입이 필요가 없었으나, 평면에서는 방향이 중구난방이므로 반드시 벡터를 도입하여, 평면벡터의 x성분과 y성분을 t에 관한 매개변수 함수로써 설명해야한다. 그러나 2015 개정 교육과정에서는 2007 개정 교육과정 이전처럼 벡터를 도입하지 않고 설명하겠다는 것이다
원래 6차 교육과정까지는 '기하'와 '초월함수 미적분' 내용은 본래 수학II라는 한 교과서에 서술되어있던 내용들이다. 그런데 교과서를 찢어내는 바람에 '기하'에 초월함수 미적분 내용이 들어가버렸고, 이것이 어울리지 않아서인지 빠진 것으로 보인다. 차라리 교과서를 다시 통합하면 모를까, 무리하게 교과서를 찢어내는 바람에 (왜 잃어야 하는지조차 의문인) 명분을 잃게 되고 이 내용들의 연계 또한 어이 없게 해제된 것이다.
5.5. 공간 벡터 삭제 논란
- 삭제에 반발하는 부분: 수능 범위가 줄어들면, 남은 단원의 문제들이 어려워지는데, 이전의 공간 벡터가 그렇다. 지금은 이 단원까지 날아가는 바람에 더 심각해질 것으로 보인다. 2009 교육과정 기하와 벡터는 당시에도 그 전의 2007 교육과정의 기하와 벡터에서 일차변환과 행렬이라는 대단원이 하나 빠진 것인데, 이 대단원이 하나 없어지자 공간도형 · 공간벡터의 문제가 매우 어렵게 출제 되었다.
- 삭제에 수긍하는 부분: 공간벡터에서만 문제가 어렵게 출제되고 평면벡터에서는 쉬운 문제만 나왔었는데, 아무래도 공간이 평면의 상위호환이라 그런거고, 평면벡터나 공간벡터나 결국 그 본질은 같기 때문에 평면에서도 충분히 어렵게 낼 수 있다. (예. 2011학년도 대수능 22번) 더 나아가서 악명 높았던 '2014 수능 B형 29번'을 살짝 변형해서 순수 공간도형 문제로도 출제할 수 있다.[예시]
5.6. 지나치게 뭉뚱그린 ‘기하’라는 교과 작명
과목 작명 자체가 '''너무 두루뭉술하여''' 납득이 안 가는 대목이 있다. 달랑 '이차곡선', '공간도형'이 이 '기하'(특히 평면 기하)라는 과목의 대표성을 크게 띤다고 볼 수도 없기 때문이다. [18]
미국수학교사회(NCTM, 1920)에서 제시된 <학교수학의 교육과정과 평가의 표준>에서는 기하 영역 가운데 '''‘해석기하학적’, ‘변환기하학적’, ‘벡터기하학적’, ‘비유클리드 기하학적’''' 측면 등 다양한 기하학 학습 관점을 절충적으로 다룸으로써 학생들에게 문제 상황에 따라 적합한 기하학적 방법과 개념을 효과적으로 적용할 수 있는 능력을 길러 줄 것을 요구하고 있다.[19]
이 과목의 전신이었던 2007 개정 교육과정의 기하와 벡터(2007)은 그래도 비유클리드 기하를 제외한 ‘벡터기하학적’(평면벡터와 공간벡터), ‘해석기하학적’(이차곡선, 공간좌표), ‘변환기하학적’(일차변환과 행렬), ‘유클리드 기하’(공간도형)를 모두 다루어서 차라리 그 시절이 오히려 '''‘기하’'''라는 단일 작명이 어울렸을 것이다. 그러나 두 번의 개정을 거듭한 이 과목은 각 관점의 내용이 매우 허술[20]해졌다. 그나마 있던 '변환기하학' 내용마저 날려버렸으며, 벡터기하학은 '공간 벡터'를 삭제시킴으로써 그 기초 허들이 매우 낮아졌다. 그나마 '''자연계 필수'''로 가르치던 것마저 이젠 입시 필수 범위에서 필연 3자1택으로 영향력을 떨어뜨리는 등의 행보를 보여 무의미해졌다. '기하'보다는 '미적분과 통계 기본' 마냥 '해석기하와 벡터 기본'이 더 구체화한 작명 면에선 낫다고 볼 수 있겠다.
차라리 해외에서도 필수로 배우고 있는 '입체각(공간도형 파트)', '구면좌표계(공간좌표 파트)'를 추가하여 전문적으로 바꿨어야 했다. 아니면 '여러 가지 도형 정리', '매듭이론' 등을 추가하여 실제 심화 기하 이론에 걸맞는 과목으로 재탄생시킨다. 평면기하의 공리적 구성, 나폴레옹 정리, 스튜어트 정리, 브라마굽타 정리, 파푸스의 영역 정리, 시바 정리(젤곤 정리), 메넬라우스 정리, 평행사변형 법칙, 오일러의 사변 정리, 몰리의 3중주 정리, 나비 정리, 수심, 방심, 몬지 정리, 카르노 정리, 폼페이 정리, '''원의 아홉 점''', 파스칼 정리, 블리언 숑 정리, 데자르그 정리 등이 있다. (자세한 건 기하학 문서 참조)
이는 고1 수학의 '함수' 단원에서 다루는 초등함수가 '유리함수와 무리함수'[21]밖에 없는 '필요조건의 협소화 현상'[22]과 비슷한 사례다.
5.7. 대충 급조한 듯한 '실용 수학', '경제 수학'
창의적인 집필이 대거 요구되는 과목이었으나 사실 그런 부분이 전혀 보이지 않았다는 평가다. 교육과정이 마무리돼야 평가를 내릴 수 있겠다만 현재로선 실패작으로 남을 가능성이 크다.
실용국어, 실용영어처럼 실용 시리즈로 편성해놓았기 때문에 실용 시리즈를 위한 실용 수학으로 급하게 만들어낸 티가 난다. 여기저기 그림책 수준이라고 봐도 무방한 내용들 및 교과서 두께도 지나치게 얇은 것이 근거다. 또한 진로에 대한 전문적인 내용은 눈 씻고도 찾아볼 수 없으며, 거의 생활 도구로써의 수학만을 다루고 있거나 칠교놀이를 하고 있다. 닮음이나 쪽매맞춤 파트도 전문적인 내용은 거의 전무하고 '생활 속의 닮음을 이용한 건축물이 무엇이 있을까?'하는 내용으로 사례를 나열하는 정도이다.
워드프로세서 같은 소프트웨어 유틸리티를 활용해서 서술하는 부분이 있다. 하지만 컴퓨터 좀 만져본 중3이라면 이 과목을 이수하는 건 굉장히 시간 낭비다. 차라리 7차 교육과정의 이산수학처럼 '코딩 수학'(또는 '프로그래밍 수학', '컴퓨터 수학') 같은 과목을 개설해서 전문적인 내용을 추가로 편성했으면 좀 더 나았을 거라는 평. 그리고 사실상 이후에 나온 '인공지능 수학'이 훨씬 실용적이게 되면서 삽질이 되었다.
단원 목차를 보고 눈치챘다시피 이미 중학교 때 배웠던 내용을 토대로 사례를 발견하는 식으로 서술하고 있다. 희한하게 진로선택과목이 되었는데, 객관적으로 보나 주관적으로 보나 진로 선택 과목은커녕 기초 공통 과목에 편성하는 것조차 아까운 수준의 내용이 담겨있다. 대푯값과 산포도(중3 과정)만 빠지면 완벽한 중2 수준의 내용이다. 그걸 감안하더라도 절대 중학생들조차 어려워할 내용이 아니다.
다음은 경제 수학에 관한 내용이다. 실용 수학만큼 막장은 아니지만 엉성한 부분이 여기 저기 보였다. 교과가 처음 생기다 보니까 오타가 꽤 있는 편이고, 문맥이 어색하거나, 모호한 표현[23]이 꽤 많아 학교 수업을 잘 들을 필요가 있다. 또한, 2단원 「수열과 금융」 파트에서는 여러 가지의 계산식이 나오는데, 기본 식에서 유도만 하면 쉽게 풀리는 문제를 굳이 공식처럼 만들어 혼란을 줄 수 있으니 유도 과정을 잘 살펴볼 필요가 있다.
경제 수학은 이자율이 몇 년 뒤에 얼마가 될까 같은 쓸 데 없는 계산은 대학교 경제학과에 진학해서도 아무런 쓸모가 없다. 수학Ⅰ과목을 선수과목으로 배우고 난 다음에 선택하는 선택 심화 과목임에도 불구하고, 더 쉬운 내용을 나중에 쓸데없이 더 자세하게 배운다는 것은 납득하기 힘들다. 상술했던 내용들은 정작 대학교에서 배우는 경제수학(경영수학)에서는 제대로 다루지 않고, 대학교의 기초재무학(과목명: '재무관리' 등) 과목에서 다루는 것들이다. 「함수와 경제」와 「미분과 경제」에 대한 내용은 아직 공개되지 않아 평가를 할 수는 없지만, 만약 이 두 단원이 다루는 범위가 다변수함수 즉 대학교에서 배우는 편미분에 대한 기초내용이 아니라면 정말로 납득할만한 건덕지가 하나도 없어진다. 비유하자면 우선 일차방정식보다 상대적으로 더 어려운 이차방정식부터 배우고, 그 다음에 더 쉬운(?) 일차방정식을 심화 과목(!)으로 배우게 하는 꼴이다. 그 외에도 미분과 더불어 상경계 수학에서 가장 중요한 단원인 행렬과 벡터, 경제통계에서 쓰이는 적분도 빠져 있다.[25]
6. 여담
6.1. 수학
- 정식 교과 명칭은 2007개정교육과정 때처럼 그냥 수학이지만 시중 대부분의 참고서는 분량 상의 문제로 '수학(상)/(하)'로 나누고 있다. 하지만 1, 2학기로 나눴을 뿐 엄연히 이 과목의 명칭은 '수학' 단독이다. 즉, 교직자가 과목을 둘로 나누어 '상'과 '하'라는 용어로 부르는 일은 권장되지 않는다.[26] 줄여서 수상, 수하라고 부르기도 한다.
- 이중근호는 지난 교육과정에 빠진 뒤로 다시 복귀되지 않았다. 유리식과 무리식도 지난 교육과정에서 대수학 단원을 지워버리는 바람에 돌아갈 데도 없어 분리되지 않고 여전히 유리함수, 무리함수 하위 파트로 남아있게 되었다.
- 공통 수학에서 집합을 전전 교육과정처럼 다시 첫 단원으로 환원하고, 중학교 수학에도 포함시켜 이항연산, 항등원, 역원, 실수의 개론을 포함해야 한다며 수학전문기관단체가 반발했으나 무시당한 것으로 보인다. 이렇게 '집합' 단원이 뒤로 여전히 밀려있는 이유는 '집합' 단원과 '함수' 단원을 붙이기 위한 일환이었고, 함수 하위 단원에 유리함수와 무리함수를 따로 빼기 뭣해서 이러한 단원 배치가 일어난 것이다. 그런데 사실 '집합'을 1단원에, '함수'를 2단원에 배치시킬 수 있다. 왜냐하면 기초적인 다항식 관련 개념이나 좌표 등은 이미 중학교 때 다뤘기 때문에 '다항식과 나머지 정리' 앞에 다뤄도 전혀 상관이 없으며, 유리함수와 무리함수는 따로 빼거나 함수의 극한 단원에 통합시켜도 전혀 문제가 없기 때문.[27]
- 공통 수학의 '증명' 파트는 사실 증명을 직접적으로 다루는 게 아니라 '증명된 정리'를 다루는 것이다. 증명을 해나가는 과정을 다루지 않으므로 혼동하지 말 것. 아니나 다를까 원래 저 '증명'이라고 소개하는 파트는 본래 '수와 연산'인즉 '대수학' 파트에서 다루던 내용들이다. 원래 이차부등식 뒷 파트에 있었다. 명제는 수리논리학 파트이다. 여긴 증명용으로 뽑아 소개하는 것이므로 따로 논리학 책을 뒤져보지 않아도 된다. 거기서 정의하는 명제와 벤 다이어그램이 수학과 상당히 다르기도 하고.
6.2. 수학 Ⅰ
- 수학Ⅰ은 80년대 고1 수학에 있던 내용이다.[28] 그렇게까지 먼 옛날로 가지 않아도 2016 수능 세대까지만 해도 '삼각함수'는 고1 수학 맨 마지막에서 두 번째 단원이었고, '수열'과 '지수와 로그'(함수 제외) 역시 2017 수능 ~ 2020 수능 세대까지 고1 수학 맨 뒷 단원에 있었다. 그래선지 일부 고등학교에서는 1학년 1학기 때 고1 수학을 한 뒤 2학기 때 이 과목을 나가기도 한다.
- '직전 교육과정'과 비교하면 '나형(인문계)' 기준으로 삼각함수와 지수,로그 함수가 들어와서 학업 부담이 늘었다고 하나, 어디까지나 직전 교육과정이랑만 비교했을 때 그런 것이다. 그 이전에는 삼각함수는 30년 넘게 고1 때 배웠고, 지수함수와 로그함수 역시 몇 십년 넘게 고2 때 문이과 공통으로 배우던 내용이므로, 그 이전에 비하면 오히려 학업 부담이 줄어들었거나 유지되었다고 할 수 있다. 구성 상의 논제를 마치 수준적인 순서로 일치시키면 안 된다. 예컨대 '벡터의 정의', '이차곡선'도 당장 고1 과정으로 끌어내려도 문제가 없는 수준이다.
6.3. 수학 Ⅱ
- 수학 Ⅱ 는 Ⅱ라서 왠지 수준이 더 높을 것으로 보이지만, 2015 개정 교육과정 해설서에 따르면 2015 개정 교육과정 수학Ⅱ는 고1 수학을 이수한 학생들이 배우는 과목이며, 수학Ⅰ의 이수는 불필요하다. 즉, 2, 5차 교육과정 때처럼 Ⅱ과정이 Ⅰ과정의 다음 단계가 아니라는 것이다.[29] 그래선지 교과 학습 수준은 수학Ⅰ과 비슷하며 지금의 수학Ⅱ는 수학Ⅰ을 안 하고 넘어와도 상관 없게끔 구성해 놓았을 정도로 수학Ⅰ과의 연계와 접점이 없다.[30][31] 수학Ⅰ에서 다루는 '수열'의 경우, 과거 미적분Ⅰ에서 배우던 '수열의 극한'(수열의 후속 단원)이 미적분으로 올라갔기 때문이다.
- 개정 교육과정 첫 해 당시 일부 자연계 지망 자율형 사립고등학교에서는 커리큘럼의 효율성을 도모하고자 '수학Ⅱ+미적분'으로 병렬식 병합 구조로 진도를 빼는 경우가 흔하다. 물론 이래놓고 내신 시험지의 명칭은 '수학Ⅱ'하에 치뤄진다. 이러한 이유는 이과반이 '수학Ⅱ→미적분'식의 순차적으로 진도를 빼기엔 중복되는 내용이 굉장히 많아 진도 효율성이 현격히 떨어지기 때문. 이는 직전 2009 개정 교육과정 때 '미적분Ⅰ+미적분Ⅱ(3, 4단원)'으로 나갔던 학교[32]의 경우로 보았을 때 흔치 않은 일은 아닌 듯 하다. 참고로 2007 개정 교육과정 때는 정규 교육 방식이었다. 당시엔 지금처럼 '공통 미적분', '이과 추가 미적분'의 형태가 아닌 '문과용 미적분', '이과용 미적분'[33] 커리큘럼으로 분리됐었다.
6.4. 미적분
- 기하는 '평면 벡터' 한 단원을 소홀히 한다는 게 문제점이지만, 미적분은 아예 전 단원을 익히지 않으면 공대 가서 재앙을 맛본다.[35]
- 한국과학기술한림원에서 조사한 바에 따르면 '미적분'은 대학 과정과 90% 이상의 연계율을 보였고, '기하'는 30% 정도의 연계율을 보였다고 주장한다.(연구 보고서 바로가기) 2022 수능 세대라면, 차라리 기하를 학교 수업 시간에 열심히 듣고 미적분을 수험 과목으로 선택하는 걸 추천한다.[34]
- 미적분 과목의 경우 시중 참고서 책 두께에 비하여 사실 실질적인 개념 학습량은 기하보다 많지 않다. '기하'는 아예 새로운 내용을 익혀야 하는 반면에, '미적분'은 이전의 '수학Ⅱ'에서 내용물과 대상만 바뀌었을 뿐 구조적으로는 거의 흡사하다. 1단원은 극한의 큰 틀만 알면, 대상물이 함수에서 수열로 바뀌었을 뿐이다. 2, 3단원도 함수의 폭이 다항함수에서 초월함수나 몫다항함수, 곱다항함수 등으로 확장되었을 뿐, 미분과 적분의 개념을 적용하는 건 똑같다. 단지 수능 기출 문제집 기준으로는 개발된 문항이 많아 수능 대비생 입장으로는 기출 문제 학습량이 다소 방대하다고 느껴질 뿐이다.
6.5. 확률과 통계
- 확률과 통계나 기하 교과서 두께가 안습하다 싶을 정도로 팍 줄어들었다. 200쪽 정도의 분량인 수학1, 수학2, 미적분 교과서에 비해 150쪽 정도로 교과서가 매우 얇다. 특히 책 측면에 과목명을 넣어야 하는데 무턱대고 폰트를 줄이면 보이지 않을테니, 글자의 좌우비율을 줄여버렸는데 너무 좁아보인다.
- 확률과 통계는 과목 명만 들었을 땐 단순히 '확률'과 '통계'만 배우는 것 같지만, 사실 이산수학를 비롯한 여러 수학적 센스들을 배우는 것과 다름 없다. 특히 '순열과 조합'이라는 수학적 사고의 근원이 되는 중요한 단원이다. 그만큼 정통 수학적 사고력과 상당히 밀접한 과목이라서 만일 이 개념들을 스킵해 버린다면 장차의 대학수학능력 발휘에 걸림돌이 될 수 있다.
6.6. 기하
- 기하는 '공간 벡터', '음함수/매개변수함수의 미분', '평면 운동' 등이 들어내서 그런지 별개 과목 중 확률과 통계(2015)와 분량이 비슷해졌다. 그 확률과 통계도 '분할', '경우의 수', '모비율 추정' 등이 빠졌다는 걸 감안하면 대폭 감소 수준이다. 2019년 3월이 돼서야 시중 참고서가 속속 등장했다. SSEN 쎈 '기하'(208p), 신 수학의 바이블 '기하'(328p) 참조. 그러나 가격은 각각 13,000원, 16,000원으로 인하되지 않았다. 참고로 개념원리는 2021 수능 출제 과목에서 빠졌다는 이유로 발간 계획이 없었다가 2022 수능에 재포함되어 6월경에 내놓겠다고 하였으며, 수학의 정석도 2019년 4월에야 책을 발간했다. 하지만 EBS 수학의 왕도 측은 발간 계획이 없다고 밝혔다.#
6.7. 경제 수학
- 경제 수학은 수능 출제 과목에서 제외되었다. 또한 이 교과서들은 융복합적 사고를 통한 교재집필이 요구되나 집필 난이도 및 판매량 추이의 예측 불가능성에 의거하여 좋은 교재가 출판되지 않을 것이라 가정해볼 수 있었다. 하지만 정형화된 흐름에 따라 교재가 개발되나 외국에 참고할만한 교재도 마땅하지 않고 또한 기술상 문제풀이와 교과성에 상이점도 존재하기 때문에 교재가 등장할 가능성은 매우 낮다고 판단할 수 있다.
- '경제수학' 이라는 교과가 처음 생기다 보니까 오타가 꽤 있는 편이고, 문맥이 어색하거나, 모호한 표현[36]이 꽤 많아 학교 수업을 잘 들을 필요가 있다.
- 2020년 현재, 경제수학의 출판사는 광주광역시교육청에서 발간한 도서 뿐이다.
6.8. 실용 수학
- 실용 수학도 수능 출제 과목에서 제외되었다. 진로 선택 과목이지만 교육부 총론에 의하면 고1 수학 수학보다 먼저 배우는 '마이스터 고등학교', '특성화 고등학교' 전용 과정으로 명시하였다.연구 보고서 참조. 너무 하다 싶을 정도로 중학교 1학년 통계 파트 복붙으로 도배하거나 교과서 수준이 너무 낮고 급하게 짜여져 있어보이는 이유가 이것이다. 내용들이 웬만해선 굳이 말 안 해줘도 당연히 알 만한 내용을 길게 늘려 쓴 느낌이 든다.
- 일반적으로 건축학과/건축공학과나 환경공학과에 진학을 희망하는 학생들이 선택해서 배울 가능성이 있다. 이외에 산업디자인, 산업공학과, 일부 디자인학과에서도 요구할 것으로 예상했으나, 막상 교과서를 까고 보니 중학교, 초등학교 수준의 교과서다. 한 마디로 그림책 수준.[37][38] 진로선택과목임에도 불구하고 진로에 대한 전문적인 내용은 눈 씻고도 찾아볼 수 없으며, 거의 생활 도구로써의 수학만을 다루고 있거나 칠교놀이를 하고 있다. 닮음이나 쪽매맞춤 파트도 전문적인 내용은 거의 전무하고 '생활 속의 닮음을 이용한 건축물이 무엇이 있을까?'하는 내용으로 사례를 나열하는 정도이다.
6.9. 인공지능 수학
- 인공지능 수학은 수능에 직접 출제되지 않는 교과인 만큼, 일반계 고등학교에서는 개설되는 경우가 많지 않을 것으로 보이며[39], 오히려 IT 관련 분야의 특성화고등학교에서 개설될 가능성이 높다고 예상된다.
- 부산시교육청 기사 언급에 따르면 행렬, 벡터, 베이즈 정리에 관한 내용이 들어갈 것으로 예측하고 있다. 그러나 이는 고급 수학Ⅰ와 고급 수학Ⅱ(전문 교과Ⅰ)에도 들어 있는 내용이다(물론 일반고는커녕 과학고에서도 불문율 때문에 거의 개설하지 않는 교과이다). 기존에 있던 교과서들을 적절히 활용하여 해결할 수 있는 문제를 갖다가 또 문어발식으로 비슷한 내용이 다수 들어가 있는 새 교과서를 탄생시키는 것에 대해 이견이 있을 수 있다. 이러한 관계는 실용 수학, 심화 수학에도 보이는 상황이다. 그밖에 '경제' 교과와 '사회적경제' 교과가 그러하고, '통합과학'과 '융합과학'의 관계가 그러하다.
- 현재로서 전면 개정을 할 수가 없기 때문에 신설에 의해 생기는 '과목 간 중첩 현상'은 어쩔 수 없는 현상으로 보이기는 하다. 이에 따라 이 '인공지능 수학 ' 교과에 해당하는 내용 중 일부가 차기 2022 개정 교육과정에서는 다시 하급 과정으로 통폐합·귀속될 수도 있다(특히 행렬, 벡터)
[A] A B C 문이과 통폐합이라는 명분 때문에 문과, 이과 과정이 따로 없으나 거의 모든 일선 고등학교에서 미적분을 문과 과정 취급하는 경우가 없다.[1] 다만, 차후 절댓값이 포함된 함수의 그래프를 그릴 때 간접적으로나마 등장하긴 한다.[2] 경우의 수, 직순열, 기본 조합.[3] 애당초 전산의 발달로 지표와 가수가 더 이상 쓸 데가 없어서 삭제된 것이니 해당 내용이 다시 들어올 가능성은 핵전쟁으로 인해 현대 문명이 원시 수준으로 퇴보되지 않는 이상 '''전혀 없다'''고 봐도 무방하다.[4] 다만 제1 코사인법칙은 돌아오지 않음.[5] 물론, 워낙 문이과 구분 당시부터 겹치는 단원이 많기도 하고 어려운 기출 문제가 누적 또 누적돼서 킬러 문제를 풀 때 머리가 터지는 경우가 있다. 하지만 그건 문제 풀이 난도가 딥따 높을 뿐이지 교과 수준이 높다고 말하면 곤란하다. 교육계에선 교과 학습 영역와 문제 풀이 영역(수학 영역)은 밀접함의 정도가 클 뿐이지 동일시되는 게 아니라 엄연히 구분되는 영역으로 친다.[6] 참고로 상술했듯이 4차 교육과정 때는 고1 수학(당시 수학Ⅰ)에서 수열을 비롯, 이 문서에 있는 모든 개념을 '''몽땅 다 배웠다.''' 게다가 알고리즘과 순서도, (점화식, 계차수열 - 불확실.)이 다 살아있었던 상태로. 하다못해 이차곡선마저도 '''원, 포물선, 타원, 쌍곡선 다 배웠다.''' 때문에 현재 입장에서 보면 상당히 후덜덜한 구성이 아닐 수 없었다.[7] '등비수열'이 지수함수와 유사시킬 수 있는데, 이보다 지수와 로그 뒷 단원으로 보냈기 때문... [8] 명목상 문, 이과 구분이 없기 때문이다. 하지만 거의 모든 일선 고등학교에서 수학 나형 지망생(문과) 대상에게 미적분을 권유하는 경우가 거의 없기 때문에 미적분(그리고 기하)을 전통에 따라 이과 과정 취급한다.[a] A B C 큰 틀에서 보면 보강이 아니다. 공통 과정에서 올라오거나, 상위 과정에서 다루지 못해서 불가피하게 단원 간의 소개념들이 그저 이동된 것이다. 실질적으로는 전체적인 분량은 그대로이거나 오히려 더 줄어들었으니 유의.[9] 다만 교과서에 따라 이차곡선을 먼저 다룬 뒤 이차곡선의 접선을 다루는 경우가 꽤 많음.[10] 다만 이차함수, 원의 방정식도 다뤘던 과거와 달리 일차함수(직선) 범위에서만 다루며, $$(x+y)(x-y)>0$$ 등의 다항식의 곱으로 이루어진 부등식의 영역은 다루지 않아 과거에 비해 훨씬 쉬워졌다.[11] 단, 7차 교육과정의 이산수학과 2007 개정 교육과정의 미적분과 통계 기본, 적분과 통계에서는 해당 기호를 사용하지 않았고 조합으로 표기하였다.[12] 유클리드 공간상의 벡터이다.[13] 예를 들어 8×5를 가르칠 때 8×5=8+8+8+8+8=40으로 배우지 않고 바로 8×5=40으로 넘어가는 것.[14] 다만 대학과정처럼 소구간 내의 임의의 함숫값(sample point)을 이용하여 정의하지는 않고 좌합 또는 우합으로 정의[15] 이는 미적분학의 제1 기본정리의 증명 과정과 같다.[출처1] China_Upper Secondary_Mathematics, <p.11~p.94>[출처2] 2007 Hong Kong_Upper Secondary_Mathematics, <p.11~p.68>[출처3] 2008 Taiwan_Upper Secondary_Mathematics, <p.45~p.46>[16] 벡터의 내적 파트와 공간도형의 정사영에서 삼각함수를 쓴다. 다시 말해 수학Ⅰ만 배우고 바로 이 과목을 선행해도 된다.[17] 엄밀히 따지면 수학Ⅰ의 삼각함수도 필요없다. 교육과정상 수학(2015)만을 배우고 바로 기하를 배울 수 있도록 하였기 때문에 벡터 내적과 공간도형의 정사영도 설명 방식이 삼각함수에서 중학교 때 배웠던 삼각비로 변경되었기 때문이다.[예시] 반지름의 길이가 2인 구 C와 C와 만나지 않고 이면각의 크기가 60˚인 두 평면 α, β가 있다. 구 위를 움직이는 두 점 P, Q에서 평면 α에 내린 수선의 발을 각각 P1, Q1, 평면 β에 내린 수선의 발을 각각 P2, Q2,라 하자. 2PQ2-P1Q12-P2Q22의 최댓값을 구하시오.[18] 2단원 '평면벡터'보다는 비중이 훨씬 크고, 2단원도 고1 '도형의 방정식' 등 기하 파트와 관련이 깊으므로 그냥 이름을 기하라고 한 듯 하다. 사실 고등과정 내에서는 납득이 안 갈만한 작명까진 아니라는 의견도 있다.[19] 출처: 한림연구보고서 125 - 고등학교 수학 교육과정 내용 축소가 이공계 인재 양성에 미치는 영향 분석.pdf 33페이지[20] 특히 해석기하의 '이차곡선'은 태초부터 허술하기도 하다. 본래 고등학교 1학년 과정에서만 다루던 '중단원' 규모의 기초 수준에 불과했다.[21] 본래 과거엔 지수함수, 로그함수, 삼각함수까지 하위 단원에 껴있었다가 점진적으로 탈락하다가 엉성한 형태가 되었다.[22] A라는 큰 틀을 소개하기 위해서는 a, b, c, d 같은 여러 사례를 나열해야 하는데, a 하나만 제시해서 A=a라는 결론으로 호도할 수 있는 것[23] 예를 들어 원리합계 부분에서 매월 '''초''' 지급, 매월 '''말''' 지급 등 명확하지 않은 부분이 있다.[24] 실제로 서울대학교조차도 경제학부에서 경제수학이 필수과목으로 지정된 것은 2011년부터이다. 다만 이 시대는 미적분을 배우지 않은 문과생이 있던 시기였고 당장 경제원론이나 학부 미시경제학 수준부터 미분에 대한 이해가 필요했기에 필수가 아니어도 거의 모든 경제학부 학생들이 수강했었다고 전해진다.[25] 다만, 적분은 경제통계학을 배우거나 수준 높은 거시경제학(대학원 수준) 과목을 듣지 않는 이상 큰 쓸모가 있지는 않다. 경제학 쪽으로 진로를 쭉 나갈 계획이 없는 학생들은, 어차피 학년 올라가서 써먹지도 않을 걸 마냥 꾸역꾸역 집어넣는 게 무슨 의미가 있냐고 불평하기도 한다. [24] 이렇게 미분만 보면 되는 난도는 5급 행시 일행직, 7급 경제학을 비롯한 중급 수준의 경제학까지이며, 미분만큼은 기초 경제학에서도 필수요소 중 필수요소다. 미분을 모르면 경제원론에도 등장하는 한계, 탄력성의 개념조차 제대로 이해하는 데 애를 먹을 수 있다.[26] 그러나 교과서 교사용 참고서는 1학기와 2학기를 나누기 위해서 '수학(상)/(하)'로 나누고 있다.[27] 일본의 수학III 과목이 이렇게 편성되어 있다.[28] 4차 교육과정 때 고1 수학(당시 수학Ⅰ)에서는 전부 포함되어있었다. 삼각함수는 7차 교육과정 수학 10-나(고1-2학기), 2007 개정 교육과정 수학(고1-2학기), 지수와 로그는 2009 개정 교육과정 수학Ⅱ(고1-2학기), 6차 교육과정 공통수학(고1-2학기), 지수함수와 로그함수는 6차 교육과정 공통수학(고1-2학기), 수열은 2009 개정 교육과정 수학Ⅱ(고1-2학기)[29] 2, 5차 교육과정 당시에는 고1 수학(2차 교육과정은 공통수학, 5차 교육과정은 일반수학)을 공통으로 이수한 후 문과는 수학Ⅰ을, 이과는 수학Ⅱ를 이수했다. 따라서 당시 수학Ⅰ과 수학Ⅱ도 단계별 과정이 아닌 별개의 과목으로 취급되었다.[30] 다만, 수학Ⅰ과의 연계가 없을 뿐이지, 고등학교 1학년 때 배운 수학(일명 공통수학)과의 연계는 존재한다. 그 예가 접선의 방정식 부분에서 한 점과 기울기가 주어진 직선의 방정식과 두 직선의 수직 조건을 이용하는 문제가 나온다.[31] 이 때문에 이공계열의 경우 2학년 1학기에 수학Ⅰ과 수학Ⅱ의 진도를 동시에 나가고, 2학기에 미적분을 가르치는 경우도 많다.[32] 편집 지침상 언급할 수가 없다. 용인 Y고, 전북 S고가 그러하였다.[33] 다항함수와 초월함수, 여러 가지 미적분 방법 등을 포함해서 다루었다.[34] 알다시피 수험과목으로 강제돼서 보는 학습 효과랑, 그냥 훑어보는 식(혹은 내신에서의 벼락치기)으로 가볍게 공부하는 것은, 그 아웃풋이 서로 극과 극이다. 또한 수능에 강제되는 효과(예: 한국사 영역) 역시 무시할 수 없다. 이는 7차 교육과정 당시 대부분의 수험생이 괜히 미분과 적분 선택한 게 아닐 뿐더러, 야망 있는 상위권 학생들이 괜히 공대 가서 잘 적응하려고 과탐에서 물리, 화학을 선택하는 게 아니라는 것이 이를 입증한다. 다만 sky에 가서 수업에 적응 좀 못할 것이냐 그냥 인서울을 가서 수업에 적을 잘할 것이냐 차이는 있겠지만..[35] 사실 공대 뿐만 아니라 이공계열 거의 모든 학과에 걸쳐서 미적분이 안 들어가는 학과가 없을 정도로 미적분은 이공계열 학과 수학의 기초가 되는 과목이다. 따라서 미적분을 소홀히 공부하거나 아예 하지 않으면 이공계열 학과 생활에 막대한 지장을 초래할 것이다.[36] 예를 들어 원리합계 부분에서 매월 초 지급, 매월 말 지급 등 명확하지 않은 부분이 있다.[37] 교과서 두께도 지나치게 얇다.[38] 과목 자체가 이렇게 쉽다보니 실용수학 교사가 시험기간에 실용수학 공부하면 없애버릴테니(...) 다른 공부하라고 윽박주기도 한다. 상대평가가 아니기 때문에 문제도 매우 쉽게 낸다. [39] 그나마 과학중점학교나 고교학점제 운영에 적극적인 일부 공립고등학교 등에서는 개설하는 학교가 있을 것으로 예상된다.