교육과정/의논/수학과
1. 개요
2. 교과목 명칭 개정 논의
2.1. 영역별 교과 분리의 문제점
2.2. 해결안 ① 수학 Ⅰ·Ⅱ·Ⅲ으로 단순화
2.3. 해결안 ② 영역별 작명을 유지한 채 분량 증대
2.4. 과목군명 ‘수학’을 ‘수리’로 변경 고려
3. 분량에 관한 논쟁
4. 세부 개정에 앞선 기본적인 틀
4.2.1. 부분집합의 개수 찾기
4.3. 영역 구분에서 자유로워질 것
4.3.1. '확률과 통계'로부터 '이산수학'의 독립 필요성
5. 세부 내용 개정 사항
6. 종합적인 개편안
7. 도움 문서
1. 개요
본 문서는 2015 개정 교육과정 등의 최근 교육과정 등에서 심화되고 있는 대한민국 수학교육의 누적된 문제점을 제기, 비판하고 그 해결방안에 대한 내용을 포함하고 있다.
2. 교과목 명칭 개정 논의
2015 개정 교육과정 5.1.1. 참조. 본래 적은 권수로 통일되었던 수학 교과서가 개정을 거듭하면서 단원 수만 낮춰 여러 개로 쪼개지고 있는데, 이것이 교육 현장에 혼란을 부추기고 입시 과목 선정 과정에서 누락되는 문제점까지 야기하였다. 원래는 수학Ⅰ, 수학Ⅱ와 같이 기존엔 '수학' 뒤에 로마 숫자가 붙는 것이 원칙이었다. 그러나 어느 순간 교과서를 분리하면서부터 '수학' 외에 '미적분', '확률과 통계', '기하', '벡터', '고급' 등 개별적인 작명이 붙기 시작하였다.[1]
2.1. 영역별 교과 분리의 문제점
2015 개정 교육과정 고등학교 수학과에는 '미적분', '기하', '확률과 통계'와 같은 교과서가 존재한다. 이는 수학의 5대 영역에 준거하여 나눈 것으로 보인다. 그런데 나머지 2개의 '이산수학'이나 '대수'라는 교과서는 따로 만들지 않았다. 이 내용들은 기존의 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 고등학교 1학년 수학에 녹여놓곤 있으나, '''심화된 내용은 그저 탈락이라는 고배를 맞이할 수밖에 없었다.''' 실례로 2009 개정 교육과정 개편 과정에서 '행렬과 그래프', '분수방정식과 무리방정식', '연산 법칙(닫혀있다, 항등원, 역원, 이중근호 등)' 등 기존 2학년 과정에서 배웠던 대수학, 이산수학과 밀접한 파트가 삭제되었다.
이런 식으로 '교과'에는 어떠한 특수한 '작명' 위주로 개편을 하다 보면 점차 '작명'에 '교과 내용'을 맞춰가려는 나머지 기존의 필수 개념까지 탈락되는 방향이 될 수밖에 없는데 이는 완벽한 본말전도이다. 이게 가장 극명하게 나타난 것이 '''기하 없는 기하 교과'''이다.(자세한 건 기하 문서 참조.)
2007 개정 교육과정에서는 이러한 문제점을 과도기적으로 보여준 바가 있다. 영역별로 교과 내용을 나누다 보면 필수 내용까지 탈락하게 되니, 당시 미적분과 통계 기본, 적분과 통계, 기하와 벡터 같은 이질적인 작명을 탄생시킨 것이다. 가장 먼저 적분과 통계의 경우, '적분'과 '통계'만 배우는 과목이며 '미분'은 배우지 않는 과목일 것이라는 오해를 사기 십상이지만 미분은 따로 수학Ⅱ에서 배우는 구조였으며 무려 이과 전용 과정이었다. 덕분에 당시 문과생 중 상당수가 이과생은 미분을 안 배우냐는 오해를 품기도 하였다. 또한 미적분과 통계 기본은 당시 문과 과정으로, 이름이 맥없이 긴 것도 문제지만 '기본'이 수식되는 단어가 '통계'뿐만 아니라 '미적분'도 속한다는 것을 인지하지 못할 수도 있을 만하다. 기하와 벡터도 마찬가지인데, 원래 벡터는 기하 파트가 아니며, 대학교 수학에서의 벡터는 행렬과 묶어 대수 파트로 놓는 경향이 있다. 고등학교 수준상 벡터와 기하를 각각의 교과서 한 권으로 만들기에는 내용이 턱없이 부족해 두 개념을 불가피하게 합쳐 '기하와 벡터'라는 괴상한 교과서가 만들어진 것이다.
2009 개정 교육과정에서는 미적분을 Ⅰ, Ⅱ로 나누기도 하였다. 그런데 당시 미적분Ⅱ의 단원이었던 '지수함수와 로그함수' 및 '삼각함수'는 단순히 미적분을 위한 과정이 아니고, 순수 함수만을 다룰 수도 있는 내용들이다. 이 때문에 간단한 지수법칙으로 해결할 수 있는 문제를 '중2 시험에 미적분'이라는 오보를 내게 된 적도 있다(KBS). 그러나 지수법칙(지수방정식)은 미적분 분류는 절대 아니며, 오히려 대수에 가까운 과정이다. 또한 2009 개정 교육과정 개편 과정에서 행렬과 일차변환이 삭제된 적이 있었다. 본래는 '행렬과 벡터(가칭)'로 구성하려다가 마땅한 교과에 편성할 수 없었는지 기존 고급 수학Ⅰ로 편성하는 일이 벌어졌다. 이에 따라 '고급 수학'에 전례 없던 로마숫자가 붙어버린 최초의 교육과정이 되었다.
2015 개정 교육과정에서는 미적분학 관련 내용이 수학Ⅱ와 미적분으로 바뀌었다. 기존의 미적분Ⅰ(공통)이 수학Ⅱ로, 기존의 미적분Ⅱ(이과용)가 미적분으로 바뀌었는데 과거 구 7차 교육과정 때의 작명을 의식한 것으로 보인다. 이상한 점을 느꼈겠지만, 같은 미적분임에도 불구하고 작명이 다르다. 차라리 '수학Ⅱ'를 '미적분Ⅰ'로, '미적분'을 '미적분Ⅱ' 그대로 가고, '기하'를 '수학Ⅱ'로 계승했어야 더 걸맞는 작명이 되었을 것이다.
작명에 따른 교과서 분권 탓에 2015 개정 교육과정 기준 ‘수학Ⅰ’+‘확률과 통계’, ‘수학Ⅱ’+‘기하’ 같은 식으로 두 권씩만 합쳐도 7차 교육과정의 한 권 분량을 뽑아내지 못하는 상황이다.
2.2. 해결안 ① 수학 Ⅰ·Ⅱ·Ⅲ으로 단순화
작명에 따른 교과서 분권 탓에 오히려 필수 개념들이 탈락하고, 교과서 또한 쪼개져 교육 현장 간 '이름 혼란'을 부추기는 오점을 낳았으므로 이를 다시 정상적으로 회귀시키는 방안이 제시될 수 있다.
2.3. 해결안 ② 영역별 작명을 유지한 채 분량 증대
'미적분', '확률과 통계', '기하' 외에도 '대수', '이산수학'를 추가하여 분량을 증대할 수도 있다. 다만, 이 경우엔 영역 교과 간의 단위수에 차이가 날 수 있다는 단점이 있다. (이에 대한 자세한 내용은 '개편안' 문단을 참조.)
2.4. 과목군명 ‘수학’을 ‘수리’로 변경 고려
초·중·고등학교에서 다루는 수학은 대개 사고력을 기르는 장치로 활용되기 때문에, 학문적 수학이라고 보기엔 어려운 측면이 있다.[2] 이를 빌미로 학창 시절에 배우는 수학 과목 한정으로 '수리(數理)'라는 명칭으로 바꾸자는 움직임이 90년대 시절에 잠시 불거지기도 하였다. 현재로서 이 구분 개념을 알려주지 않는 교육 현장이 큰 오해와 이해갈등을 낳고 있다는 지적도 있다.
교육학에서도 초중등교육에서 수학을 가르치는 목적은 학생들의 수리력(수학적 논리력)을 기르기 위함이지 단순 연산 실력 향상이나 수학사적 배경지식을 고취하는 것이 아니다. 단순히 계산이 목적이라면 컴퓨터를 이용하는 것이 훨씬 빠르다.[3] 이 논제에 대한 상세 설명은 수포자#s-2.1.1 문서 참조 바람.
하술하겠지만 대한민국 국가 수준 학업 성취도 평가 성적 통계상, 한국 학생들의 '연산' 능력은 70점으로, '''평균 57점'''에 비했을 때 압도적인 것으로 높은 것으로 드러났다. 반면, '추론'은 55점, '이해' 영역은 60점, '문제해결력' 영역은 '''44점'''이다. 추론과 문제해결력이 상대적으로 뒤처진 것으로 드러났다.
이는 과거부터 고질병 수준이었던 언어 인식을 문제점으로 들고 있다. '수학=계산'이라는 잘못된 편견을 가지고 '사칙연산만 할 줄 알면 살아가는데 지장없잖아?'처럼 수학 교육의 근본조차 모르는 볼멘소리가 나온다는 것.
3. 분량에 관한 논쟁
3.1. 교과 내용 축소 측
교육론자 측에서는 수학 자체를 학문적으로 가르치기보다, 사고력을 확장시키는 것이 궁극적인 목표라고 본다. 비록 수학적 엄밀함이 떨어지더라도, 수리력 확장이라는 목적을 달성시키고자 '수학'이라는 학문을 교육학적으로 개발·정제된 과목(학문이 아닌 교과)으로 보아야 한다고 주장하는 측이다. 쉽게 말해 학문을 교육용으로 빌린다는 개념에 가깝다.
수학교육 측에서는 동일한 아이디어가 사용되는 수학 개념에 대해서는 차라리 중복을 최소화하는 것 그나마 효율적이라고 보고 있다. 즉 핵심적인 내재 역량이 있으면, 심화 내용에서도 유사하게 사용되는 패턴에 대해 금세 적응할 수 있다는 논리이다.
이를 구실로, 가급적 교과 명칭에 '-학'을 붙이는 것을 웬만하면 자제하는 게 불문율이었다. 미적분, 기하, 경제, 지리 과목 명칭이 각각 미적분학, 기하학, 경제학, 지리학이 아닌 것도 이러한 이유이다. 반면, 과학 쪽은 어째선지 '-학'자 돌림이 생겨났으나, 이쪽은 위 같은 사실을 모르고 개정했을 가능성이 더 높다.
3.2. 교과 내용 확대 측
반대로 확대 측에서는, 어느 정도 대학 생활에 연관되는 전공적 지식은 필수로 포함해야 하며, 현 교육과정의 수학 교과는 필요 이상으로 지나치게 축소되었다고 비판한다. 그밖에 정치 논리로 엮이고 있다는 점에 크게 불만을 드러내는 사람도 많다.
- 첫째. 2015 개정 교육과정 5.1.1.3.에 의하면 '진로선택과목' 신설 의도는 결국 특정 단체의 정치적인 물밑작업에 의한 것으로 기정사실화되었다는 것이다. 악용된 수학 교육 체제를 다시 정상적으로 회귀시켜야 한다. 자세한 건 링크 참조.
> (대학교 교육과 다르게) 고등학교는 가장 생산적인 학습을 할 수 있는 기관이다. 가능한 한 수학 교육을 최대로 허용해야 한다고 생각한다. 한국 정부나 시민단체가 수학 학습 과정에 '정치적인 물타기'를 하는 것은 지지할 수 없다.
>
>군나 칼슨 (미국 스탠퍼드 대학교 수학 박사 겸 학과장 겸 시카고 대학교 수학과 교수) #
해외 전문가들도 이 사실을 아는 모양이며 이 같은 행보를 거세게 비판했다.
>
>군나 칼슨 (미국 스탠퍼드 대학교 수학 박사 겸 학과장 겸 시카고 대학교 수학과 교수) #
해외 전문가들도 이 사실을 아는 모양이며 이 같은 행보를 거세게 비판했다.
- 둘째. 기하와 미적분은 전통적으로 모든 자연과학, 공학 계열 지망 학생 입장에서는 양자택일의 개념이 아닌 필수였다. 실제로도 이 둘을 수험 과목이나 시험 과목으로 강제되지 않으면 대학 수업에 여파가 상당할 것으로 예측하고 있다. 그러나 대부분의 고등학교에서는 2중 1택으로 딜레마를 제시하고 있고, 수능 시험에서는 확률과 통계와 합쳐 3중 1택을 제시하고 있다.
- 셋째. '단순히 분량이 적어져서'만 갖고 문제를 제기하는 게 아니라 그 결과가 가져온 후폭풍이 생겼기 때문이다. 2015 개정 교육과정 5.1.4.에 의하면 수학 분량 감소로 인하여 이공계열의 국가경쟁력 또한 하락할 것으로 예측하고 있다. 게다가 주요국의 수학 교육과정은 오히려 강화하는 추세로 볼 때 대한민국만 역행하고 있다. 또한 2015 개정 교육과정 5.2.4.에 의하면 입시에서의 수포자는 분량과 유의미하게 비례하지 않는다는 것이 입증되었다. 오히려 학업 분량과 수학 학업 성취도가 반비례하는 통계가 제시되기도 하였다. 자세한 건 각 링크 참조.
3.3. 해결안
필수 과목과 내용을 늘리되, 기초 내용에 대한 문제를 어렵게 공부하고, 심화 내용을 (한국사 영역처럼) 쉽게 가는 것이 하나의 중첩점이 될 수도 있겠다.
예를 들어, 대학수학능력시험 입시에서 고등학교 1학년 수학, 수학Ⅰ, 수학Ⅱ를 공통 범위로 놓되 문제 수준을 다소 어렵게 유지하고, 미적분·기하·확률과 통계 등에 대해서는 선택이 아닌 '''전 과목 필수'''로 지정해놓되, 문제 수준을 낮춰 자격고사-절대평가 형식으로 전환하거나, 상대평가에 국한해도 배점이 낮은 문항에만 한하자는 것이다. 아니면 심화 과목에 한해서만 따로 공인자격증 시험으로 분리하는 등 제3의 방안을 제안해볼 수 있다.
4. 세부 개정에 앞선 기본적인 틀
4.1. 암묵지적 개념 일부를 다시 명시지로 환원
명시지란 교과서에 그 내용을 대놓고 드러내어 눈에 보이는 지식이다. 즉 써있어서 어떻게든 보게 되어있는 '개념'이다. 반대로 암묵지란, 굳이 명시하지 않아도 행동 영역(문제 연습)을 통해 구체화되는 지식을 말한다. 학생들 입장에서 공감할 수 있는 쉬운 예가 있다면, 수능 시험의 국어 영역의 문제 풀이 실력은 대부분 이러한 암묵지에 의해서 길러진다.
- 명시지의 장점은 알아야 할 것들을 단적으로 나타내주기 때문에, 눈과 직관으로 그것을 체감하면서 받아들일 수 있다. 다만, 단점이 있다면 그 개념에 대한 '특정화', 용어화 작업이 이루어지기 때문에 '정보량'에 대한 부담감이 커지고, 관련 문제를 출제하는 사람 입장에서도 해당 지식을 강요하는 꼴이 될 수 있다.
- (위에 이어서) 그래서 암묵지를 이용하기도 하는데, 암묵지의 장점은 앞서 말했다시피 '배우는 사람 입장'에서 선뜻 무언가를 어려워 보이게 만드는 '용어화'를 생략할 수 있다. 2009 개정 교육과정, 2015 개정 교육과정을 거듭하며 이 방법을 꾸준히 써서 어려워 보일 법한 용어들을 죄다 탈락시켰다. 하지만 그 암묵지를 토대로 만들어진 문제를 학습하는 학습자 입장에서는 실제 이론 수업에서 배웠던 개념과 '굉장한 괴리감'이 생겨버린다는 크나큰 단점이 있다.
현재도 암묵지고, 과거에도 암묵지였던 개념에는 '1학년의 꿈', '부호 함수', '합성함수의 극한', 함수의 연속 학습 전 '불연속 함수'의 등장이 있다. 최대 정수 함수(가우스 기호)도 꾸준히 이 목록에 있었으나, 2015 개정 교육과정부터 암묵지로도 주어질 수 없도록 가우스 기호 관련 문제 설명에 (단, [ [math(x)] ]는 $$x$$보다 크지 않은 최대의 정수이다.)라고 서술하는 등으로 '''반(反)명시지화''' 되었다.
이 사안 갖고 여러 가지 불만들이 나오자, 차라리 '암묵지를 모두 제거'하거나 기존 '암묵지들을 모두 명시지화' 하라는 목소리가 큰 편이다. 암묵지들은 심지어 학교 선생님들조차 인지하지 못하는 경우가 많다. 만약 기존 암묵지들을 명시지화해버리면 여러 가지 '특수함수'를 모두 다뤄야 하는 일이 벌어지는데, 일단 수학교육과 측에서는 이를 달갑지 않게 받아들일 것이다. '수학교육과' 측은 적은 분량(핵심)으로 최대의 교육 효과를 이끌어내자는 쪽으로 트랜드를 회선했지만, '수학과' 측에서는 그냥 어떻게든 많이 가르치자는 입장이기 때문. '수학교육과' 측 입장처럼 적은 분량으로 최대 효과를 내는 것은 물론 좋다. 그러나 교육 현장과 선생님들에 대한 기대치를 너무 과하게 잡고 자행한다면, 오히려 역효과가 날 것이다. 이것이 실제로 반영돼서 역효과가 난 교육과정은 2009 개정 교육과정과 2015 개정 교육과정이다. 또 정책 확정안을 최종 공표할 땐 수학과보단 수학교육과의 손을 들어줄 확률이 높다는 점도 한 몫한다. 물론 여기엔 특정 비영리 단체의 정치질도 어느 정도 수반되었다.
4.1.1. ‘항등원’과 ‘역원’ (그 외 실용적 구성)
위 두 자연수 간 곱셈식은 따로 외우지 않는 이상 하나의 논리 과정을 거쳐야 한다. 우리가 정규 교육과정에서 암기하고 있는 부분은 (한 자리 수)×(한 자리 수)의 곱셈이기 때문이다.
이때 $$8$$을 $$2$$ 나눠주고 $$15$$엔 $$2$$를 곱하여 $${\color{Blue} 4} \times {\color{Blue} 30}=120$$으로 쉽게 계산이 가능해진다.[4]
이는 '''같은 수끼리''' 곱하고 나누어도 어차피 1이 되어 실제 결과와는 달라지지 않기 때문이다. 이를 굳이 명시지화한 것은 '곱셈에 대한 역원'이다.
이러한 액션은 2007 개정 교육과정(7차 교육과정 직후 교육과정) 고1 과정에 항등원과 역원을 포함해둠으로써 직접적으로 가르쳤으나 2009 개정 교육과정 이래로 폐지되었다. 실제로도 학생들 입장에서 별 연계 효과를 느끼진 못 하였는데, 이는 연산자를 '''덧셈, 곱셈'''으로 한정한 것이 아닌 '''이항연산''' 전체로 확대했었기 때문으로 보인다.
하지만 이 같은 결정은 득보다 실인 경우가 훨씬 많았다. 차라리 '이항연산'이 문제가 되면 그것만 삭제하면 될 문제였다. 한 편 '곱셈', '덧셈'에 대한 항등원, 역원은 충분히 남겨야 할 명분이 더 컸었다. 왜냐하면 이것들은 문제를 푸는 과정(암묵지)에서 사용될 뿐만 아니라, 차후에 익힐 '''미분계수''', '''몫미분''', '''곱미분''' 등과 같은 기타 대수학 센스가 요구되는 미적분 증명 파트에서도 활용할 수 있어야 하기 때문이다. 아래 쉽고 간단한 예시 설명을 이해해보자.
만일 모든 함수에 대하여 $$x=a+h$$일 때 함숫값에서 $$x=a$$일 때의 함숫값을 뺀 값이 일정한 $$k$$에 대응된다고 가정하자. 두 번째로 아래와 같은 '조건식'이 주어졌다고 가정하자.
이제 위 '조건식'으로
라는 식 i)의 값을 알아볼 것이다.
먼저 아래 식처럼 '조건식'에 식 i)를 더해준다.
일단 $$-f(a)+g(a)$$이 더해져도 조건식에서 그 값이 0이라고 알려줬으므로 식 전체에 전혀 영향을 주지 않는다.[5]
식을 적절하게 정리하면 아래와 같아진다.
초기 가정 조건에서 $$x=a+h$$일 때 함숫값에서 $$x=a$$일 때의 함숫값을 뺀 값이 일정한 $$k$$에 대응된다고 하였으므로 답은 $$k-k$$을 계산한 [math(0)]이다.
이렇듯이 항등원과 역원은 문제 학습뿐만 아니라 후속 과정의 증명 과정(몫미분, 삼각함수 항등식 등)에서도 활용되기 때문에 선택 옵션이 아니며, 학생들이 필연적으로 마주할 수밖에 없다. 그런데도 대한민국 교육부는 2009 개정 교육과정에서 이를 일괄 삭제한 것이다. [6]
이외에도 추가해야 할 내용으로 멱등원(Idempotent element)이 있다. 연산 횟수에 상관없이 결과값이 동일한 원소로, 이를 이용해 계산량을 줄이는 것에 도움이 될 수 있다. 다만 항등원과 멱등원이 같지만은 않다는 것을 주의해야 한다.[7]
4.1.2. 시행착오법 직접 서술
시행착오법이란, 예컨대 미지수에 $$1$$, $$2$$, $$3$$, ... 등 적당한 정수를 대입해서 해결해보고, 실패하면 근처 상수를 대입하게끔 유도하는 교육 방식이다. 그런데 이 과정은 '''교과서에 따로 직접 명시된 적은 없고 문제 풀이 해설에만 있는 경우가 있다.''' 만일 시행착오법을 교과서에 명시해준다면 창의적인 수학 교육의 발판이 될 수 있을 것이다. 과거 한 인터넷 강의 강사가 이러한 교육의 필요성을 강조하기도 하였다.[유튜브]
실제로 학력평가 기출문제 중에는 최종적으로 방정식 $$2^a = a+12$$의 양수해를 구해야 하는 것이 있었는데 $$a=1$$부터 대입해보고 안 되면 $$a=2$$를 대입해보는 식으로 풀었어야 하는 문제가 있다. 이 문제는 $$a=4$$에 와서야 답에 이를 수 있었다. 일단 교육부 출제 지침상 해당 문제처럼 지나친 횟수를 거듭하지 않도록 하고 있다.
현 교육과정에서 이 '시행착오법'을 '암묵지'('행동 영역', 즉 문제 풀이를 말함)로 녹여놓고 있는 부분은 '수열의 귀납적 정의', '$$i^{n}$$의 순환성', '나눗셈에서의 나머지의 순환' 등이 있다.
시행착오법을 쓰는 상황에 대한 '감'을 잡기는 여간 쉬운 게 아니다. 특히나 교과서에 명시적으로 언급한 것도 아니고 암묵지로 익히는 부분이다 보니, 학생들이 이 유형의 문제 풀이 과정 중에서도 시행착오법을 부정하고, 어영부영 '공식이 있을 거라는 편견'만 내면에 깔고 일방정도만 찾기 일쑤가 된다. 여담으로 $$2^a = a+12$$의 양수해를 시행착오법이 아닌 방법으로 풀기 위해서는 람베르트 W 함수라는 특수함수를 써야 한다.
'''$$2^a = a+12$$의 대수적인 풀이'''
[1] 교육 제도에 대해 자세히 모르는 일반인(혹은 학부모)입장에서 학업 부담이 두 과목 더 늘어났다는 우스꽝스러운 비약으로 이의를 제기해오는 상황까지 발생해 계속 수학 교과 내용을 줄이려고 하고 있었으며 이러한 운동이 결국 대한민국 교육부에 먹혀들었다. 자연계의 경우, 교육과정 개편 때마다 매번 상당한 양적 손실을 보았는데, 단순 양적 손실이면 모르겠으나 '''아예 필수 개념까지 탈락시키는 상황'''이 발생했다.[2] 보통 증명이나 문제 풀이를 통해서 사고력을 기르게 한다. 이를 두고 각종 사회비판글에서는 '문제만 푸는 교육'이라고 맹비난하지만 수리 교육 관점조차 제대로 모르고 하는 비판이라고 볼 수 있다. 애들이 배우는 건 학문적 수학이 아니라(물론 포함은 하지만 주된 관심사는 아니다) 교육학적으로 개발된 수학에 가깝다.[3] 실제로 이전까지 난제로 여겨졌던 골드바흐의 약한 추측, 4색정리 증명에서 단순 계산 부분만 남게 되자 컴퓨터로 증명을 완성했다.[4] 십진법에 특화된 인류 특성상, 10의 배수로 나타내기 쉬운 숫자 하나를 10의 배수로 보정해주고, 그 보정해준 만큼 상대 수에서도 역연산을 하는 방법을 활용해본 것이다.[5] 자세하게 말하면 덧셈에 대한 항등원을 활용한 것이다.[6] 하지만 현재는 위 용어들을 대학교 1학년 미적분학에서조차 다루지 않기 때문에 실용성이 떨어진다고 본 면도 있다. 하지만 그렇게 치면 복소평면 볼때까지 몇 년동안 나오지 않는 복소수가 남아있는 이유를 설명하기 어렵다.[7] 대표적으로 곱셈에서의 0. 모든 수에 대해서 곱셈의 결과값이 0이므로 항등원이 아니지만, 0을 몇 번을 곱하든 0이므로 멱등원이다.[유튜브]
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4.1.3. 부족한 ‘행동 영역’ 항목의 명시지화
수학 교육과정에서의 행동 영역은 크게 '연산', '문제 해결력', '추론', '이해'로 나뉜다. 2017년에 치러진 대한민국 국가 수준 학업 성취도 평가의 성적 분석 결과 총 네 영역의 평균 점수는 57점으로, 이 중 '연산' 영역은 무려 '''70점'''으로 압도적으로 높게 나타났다.[8] 그밖에 평균보다 우세에 있는 '이해' 영역이 60점, 열세에 있는 '추론' 영역이 55점이었다. 가장 우려스러운 점은 '문제 해결력'이 44점이라는 것. 즉 대한민국 수학 교육은 이 '문제 해결력'과 '추론'을 좀 더 보충하는 방향으로 개정되어야 할 것이다.
이 작업에 약간 위험한 부분은 있다. 형식적으로는 이러한 방법을 구성하기엔 교육 개편자들의 불확실한 창의성이 요구되는데다, 국제적으로 없는 과정[9]이 포함될 수 있기 때문이다.
4.1.3.1. 대안: ‘수학 연습’ 정규 단위수 편성
기존 암묵지를 명시지로 바꾸는 데에 큰 부담이 든다면, 예전처럼 수학익힘책을 부활시키는 방법도 고려될 수 있다. 이는 위에서 제기한 '문제 해결력' 낙제 현상에 대해서도 대처할 수 있는 방안이 될 것이다. 연습 수업 시간을 따로 편성하여 '문제 해결력' 관련 문항을 기초부터 천천히 높일 수 있게끔 확보해주는 것이다.
학교 현장에서는 정규 수업 시간에 개념 진도만 빼기 바쁘고, 예제나 예시 문항 몇 개만으로 설명하는 경우가 대부분이므로, '''정작 학생들이 직접 체험해볼 기회가 적다.''' 당연히 학생들 입장에선 개념을 공부하는 과정과 문제를 직접 풀어보는 과정 사이의 괴리를 낯설게 여기기 때문에, 이 간극을 메워주는 역할이 필요하다.
학습 분량도 줄었거니와 이참에 교사와 함께 수학 문제를 연습해볼 시간을 두는, 전형적인 사교육식 수업 방식을 도입하자는 것.
이 방식은 이전에 수학익힘책 제도로 대체한 바가 있다. 하지만 교사의 역량에 따라 진도 시간을 크게 잡아 먹는 경우가 많이 생겨 2007 개정 교육과정을 종점으로 폐지되었다. 따라서 진도 수업, 연습 수업을 따로 편성하는 제도적 절차가 이루어져야 할 것이다. 그리고 여기서 파생될 수 있는 여러 가지 부작용을 미연에 예상하고 이를 금지해야 할 것이다.
개념을 배우는 시간과 문제집을 풀며 고민할 수 있는 시간의 비율은 보통 1:3, 사람에 따라서는 1:7 정도까지 늘어난다. 개념을 습득하는 시간이 문제집을 푸는 시간보다 적으면 적었지 많지 않다는 것이다.
4.2. 명시지적 개념 일부를 다시 암묵지로 환원
그 반대로, 기존 명시지적 개념을 암묵지로 되돌려야 할 부분도 있다. 대표적으로 '부분집합의 개수' 구하기가 있다(이하 참조).
4.2.1. 부분집합의 개수 찾기
근본적인 집합 이론과는 별 관계가 없으며, 이를 구하는 기본 원리는 '''확률과 통계'''(이산수학 영역)에 나오는 '''경우의 수'''의 '곱의 법칙'의 활용 문제 파트이다. 특정 원소를 '포함' 또는 '제외'가 확실할 경우 경우의 수 자체 '''하나'''로 정해져있으므로 '''1'''을 곱해나가면 되지만, 그게 부정(정해지지 않음)될 경우 경우의 수가 '''둘'''이므로 '''2'''를 곱해나가는 식이다.
이렇게 탄생한 부분 집합의 개수 공식 2n-k은 사실상 1k×2n-k으로 가르쳐야 직관적이기도 하다. '''즉 주입식으로 가르치던 것이 엄밀하게는 '이산수학' 파트와 더 밀접한 셈.''' 이렇듯이 수학적 센스 자체가 '집합' 이론과는 직접적으로 연관이 없으므로 기조를 유지하더라도 경우의 수의 행동 영역으로 편입하는 것이 올바른 것으로 보인다.
4.3. 영역 구분에서 자유로워질 것
예를 들어 '집합', '함수'는 여러 영역에 응용될 뿐, 꼭 이산수학인 것은 아니며 또 해석학에 타당한 것도 아니다. 다시 말해 타 영역의 공유되는 단원이라는 것이지 어느 한 부분에만 엮이는 것이 아니다.
이런 식으로 특정 단원 하나를 어느 한 카테고리에 엮으려고 하다 보니, 그 안에 있는 부속 내용들은 꼭 해당 사항이 없다는 문제도 자주 발생한다. 나무위키에서는 '수열'의 경우 유한수열을 이산수학으로, 무한수열을 해석학으로 다루어야 한다는 주장 대치가 일어나기도 하였다.
4.3.1. '확률과 통계'로부터 '이산수학'의 독립 필요성
<기본 수학> 연구진의 논문에 의하면 '경우의 수' 단원이 필연적으로 '확률과 통계'로 묶이는 것에 의아함을 표출하였다. 타국 교육과정과 비교했을 때도 '''우리나라만 이런 괴상한 구성방식을 따른다고 지적할 정도.''' 실제로 이를 눈여겨보고 기본 수학 첫 단원에 '경우의 수'를 배치하기도 하였다(전문가 결정 인용). 덧붙여 이 구성 방법은 학생들의 학업 성취도를 높일 수 있다고 공언하였다.
앞서 연구진들은 '확률과 통계'라는 모호함 때문에 '경우의 수' 같은 기초 단원이 매번 끝단원에 배치되는 불문율에 난색을 표하기도 하였다. 실제로도 '경우의 수', '순열과 조합'은 확률과 통계보다 이산수학에 엮이는 전공 서적이 훨씬 많다. 즉 공유 파트라는 것이다. 그 중에서도 '수학적 확률', '이산확률변수'까지도 가볍게 이산수학으로 공유하기도 한다.
집합으로서 함수를 정의하는 부분도 '이산수학'에 가깝지 해석학이 이를 빌려쓰는 것에 지나지 않는다.
이산수학을 독립시켜야 하는 논거는 이말고도 여럿 있다. 현장에서 '''수학적 사고력'''을 기르는 영역은 보통 경우의 수(합의 법칙, 곱의 법칙)와 같은 이산수학(그 중 조합론)쪽 영역이다. 실제로 고난도 수학 문제집에서는 이 경우의 수 갖고 장난치는 문제가 많다. 이런 점에서 볼 때 차라리 수학 교육에서 이산수학을 강조하는 방향으로 틀어서, 실질적인 수리력을 도모할 수 있는 근간을 세우는 게 나을 수도 있다. 현재 대한민국 수학 교육은 이산수학 영역 때문에 수포자가 발생하는 게 아니라, 이산수학을 '''교육과정 내내 강조하지 않아서'''[10] 수포자가 발생하는 것이라고 보면 된다.
통계학을 분리하려는 시도는 실제로 2015 개정 교육과정 논의 당시 이루어진 바가 있다. 통계를 경우의 수로부터 독립시켜 진로선택과목으로 빼려고 한 것. 이 논의에서는, 통계 교과서 초반에 아주 단순한 조합론만 소단원 하나 분량으로 서술해 끝내버리고, 대부분의 분량을 추정, 분석 등 같은 전문적인 내용을 다루거나 컴퓨터 프로그램을 활용하게끔 진로선택과목으로 독립시키는 실용안으로 구성하는 것이었다.
5. 세부 내용 개정 사항
5.1. 서술 방식 및 단원 배치 변경
5.1.1. 초등학교
- 진분수와 가분수 단원을 통합한다.
- 논거 1: 가분수를 상위 과정에서 다루기 위해 $$ 0 $$과 $$ 1 $$ 사이에 있는 진분수에만 지나치게 집착한다는 점이 있다. 처음부터 혼란을 야기하지 않으려면, 처음부터 진분수 외에 대해서도 폭넓게 다룰 필요가 있다.
- 비율과 분수를 먼저 가르치고 '분수의 사칙 연산'을 상위 과정으로 올린다.
- 논거 1: 수포자는 초3 분수 때 판가름난다는 연구결과가 있다.관련기사(2019.3) 이는 통분 과정에서 생기는 복잡한 계산이 문제였다. 이렇듯이 나눗셈의 구체적인 과정은 사칙연산 중 독보적으로 난도가 높아 초등학교 저학년 과정에는 부적합하다.
- 제시 1-1안: 분수 표현과 비율을 넣어서 이 둘이 동치임을 명시하는 쪽이 유리수 체계를 이해시키기 쉽다. 구체적인 나눗셈 과정은 소수(실수), 그 중 유한소수/무한소수 이해 과정과 병행하는 것이 적당해 보인다.
- 제시 1-2안: 초 3 과정에서의 분수의 덧셈과 뺄셈은 분모가 같은 것만 다루고, 통분하여 계산하는 내용은 수준적인 것을 고려하여(엄밀히 하려면 최소공배수 개념이 필요하다) 초등학교 5학년 과정으로 이동시킨다.
5.1.2. 중학교 · 고등학교
- 중학교 과정에서 다시 '집합'으로 '함수'를 연계 서술한다.
- 논거 1: 원래 함수는 집합론을 이용하여 엄밀하게 정의해야 하지만, 중학 수학 단계에서는 그냥 함수의 평면좌표 상의 기하학적 그래프를 동원하여 정의하고 끝낸다. 즉 중학교 수학 과정에서 '함수'에 관한 정의는 사실상 엄밀하지 못한 정의를 먼저 배운다.
- 논거 2: '함숫값'에 대한 오개념을 가지게 할 수 있다. '함수'는 '방정식'처럼 관계(수학용어)의 개념이 아니기 때문에, 함숫값은 오로지 하나에만 대응된다. 예를 들어 '$$f(a)=b$$ 그리고 $$f(a)=c$$이다'를 만족하는 $$f$$는 함수라고 할 수 없다는 것이다.[11] 이를 중학 과정에서 가르쳐주지 않고 넘어가면, 후속 과정에서 배우게 될 도형의 방정식 그래프 파트에서 혼동을 일으킬 수 있다.
- 논거 3: 이 마저도 '실수의 연속성'을 배우지 않고 정의하는 것이다.
- 논거 4: 실제로 교육부가 꾸린 <기본 수학> 연구진이 재차 제기한 문제점이기도 하다(전문가의 발언 인용).
- 보충 의견1: 고1 수학의 '함수'의 정의 부분은 주로 셀 수 있는 집합을 정의역으로 하기 때문에 수준이 그렇게 높지 않다.
- 보충 의견2: 단, 일대일함수, 일대일대응, 역함수, 합성함수, 유리함수, 무리함수 등은 수준이 높으므로 이를 제외하여 내려보낸다.
- 발단: 본래는 중학 과정에서도 집합을 통해 함수를 정의하였다. 그런데 2007 개정 교육과정에서 2009 개정 교육과정으로 개정되면서, <집합과 명제>가 중1 과정에서 삭제되고, 관련 내용이 모두 고등 과정으로 흡수되었다. 당시 집합 단원을 삭제하고 고등 과정으로 통합한 이유는 황당하게도 '정의역'과 '치역', '공역'이라는 용어가 그저 생소하다는 이유였다.[12]
- 보충 의견3: 처음에 배워서 각인된 정의는 쉽게 고칠 수 없는 부분이다. 엄밀함을 둘째치고 추론 교육에도 악영향을 미칠 수가 있다.
- 보충 의견4: 다변수함수에 대해서도 가르칠 필요가 있으며, 그 예시를 최대공약수/최소공배수로 한다. 실제로 이 둘은 $$\gcd(x,\,y), \mathrm{lcm}(x,\,y)$$로 표기되는 엄연한 '이변수 함수'다.
- [중1, 고1] 중학교·고등학교 전 과정에서 <경우의 수>를 '첫 단원'에 배치한다.
- 논거 1: <기본 수학> 연구진의 논문에 의하면 경우의 수 단원이 필연적으로 '확률과 통계'로 묶이는 것에 의아함을 표출하였고, 실제로 '경우의 수' 단원을 1단원에 배치하기도 하였다(전문가 결정 인용). 더불어 이 방법은 학업 성취도를 높일 수 있다고 공언하였다.
- 논거 2: 합의 법칙과 (특히) 곱의 법칙은 거의 모든 수학적 사고의 원천이자 기반이 되는 것이며, 문제 해결에서도 자주 쓰는 '주요 아이디어'이다.[13]
- 보충 의견1: 확률과 통계(2009) 교과 내용을 그대로 중 1, 중 2, 중 3, 고 1, 선택 과정으로 적절히 분산시키는 방법이 고려될 수 있다. 아래는 그 예시이다.
- 중1: '합의 법칙', '곱의 법칙'
- 중2: '순열', '조합'
- 중3: '중복 순열', '원순열', '같은 것이 있는 순열'
- 고1: '중복 조합', '이항정리'
- 보충 의견2: 조금 더 엄밀하게 가르치려면 '집합'부터 선행한 뒤에 배치하는 것도 고려될 수 있다. 먼저 '데카르트 곱'이라는 '곱집합'의 개념이 '곱의 법칙'에서 나오는 원소이기 때문이기도 하다. 그리고 경우의 수가 '어떤 표본공간의 부분집합의 크기'라는 점을 감안한다면 집합 뒤에 편성되는 게 옳을 것이다. '시행'과 '사건'이라는 용어는 확률론에 먼저 등장하는데, 실제 교과 구성은 확률보다 경우의 수를 먼저 배운다. 경우의 수가 바로 확률에서 정의하는 '사건'의 크기이다. 즉 시행, 사건을 서술하지 않고 '경우의 수'부터 배우는 것이다. 이 두 용어만이라도 땡겨오는 것이 바람직해보인다.
- [전반] '경우의 수' 단원 명칭을 '선택과 배열'과 같이 직관적인 명칭으로 변경
- 논거 1: 7차 교육과정 이산수학에서 'Ⅰ. 선택과 배열'이라는 단원 명칭을 쓴 적이 있다. 경우의 수, 순열, 조합 같은 '용어'를 처음 접하는 학생 입장에선 생소해 할 수 있다. 선택과 배열이라는 단원 명칭은 단순 '구해야 하는 것'에서 '쓰임새'로 포커스가 좀 더 직관적으로 맞춰지게 된다.
- [중1] 통계학에서의 '변량'과 '도수'라는 용어는 '집합'과 '함수'를 선행하고 나서 다뤄야 한다.
- 논거 1: 현행 교육과정에서는 중학교 1학년 때 '자료의 정리'를 다루는데, 함수의 정의도 모르면서 변량을 가르치는 건 문제가 있어보인다. 변량은 자룟값과 엄연히 구분되는데 이에 대한 해석 차이를 가르치려면 집합과 함수의 개념이 필요하다. 가령, '4, 5, 5, 3, 2, 2, 2, 2, 2'라는 자룟값이 주어져있다면, 변량은 '2, 3, 4, 5'가 끝이다. 즉, '변량'은 함수에서 '정의역'인즉 집합이기 때문에 중복 없이 나열하는 것이 원칙이다. 여담으로 이 '변량에 관한 각 도수'가 치역의 '각 원소'라고 할 수 있다.
- 보충 의견: 사족으로 정의역의 원소의 형태가 집합으로 나타내어지는 경우도 있는데, 연속변량이나 계급이 여기에 속한다. 2015 개정 교육과정부터는 계급값을 통해 평균 구하기 행동 영역이 삭제되었으나 '계급값' 자체는 여전히 남아있다. 계급값을 아예 삭제하거나, 평균을 구할 때 실제 자룟값에 의한 평균과 계급값에 의한 평균 사이에서 발생하는 차이를 명시해줄 필요가 있다. 계급값을 사용하여 평균을 구해버리면 실제 자료의 값으로 구해낸 평균과 차이가 반드시 발생하기 때문이다.(각 계급의 크기가 0이 아닌 이상 반드시 발생한다.)
- [중1, 중3] 중학교 3학년 때 배우는 대푯값 일부(평균, 중앙값, 최빈값)를 중학교 1학년 과정과 통합한다.
- 논거 1: '대푯값'엔 '평균' 외에도 '중앙값', '최빈값' 등이 있다. 이 둘만큼은 '자료의 정리' 파트에 구성되어야 할 정도로 기초적인 내용인데 이를 중1 과정으로부터 분리하는 게 과연 옳은 구성인가라는 점이다. 물론 '표준편차', '분산'은 제곱근이 필요하므로 이 둘만큼은 제곱근 이후 구성이 바람직하다.
- [고1] '함수의 정의(기초 이론)'과 '초등함수' 파트를 분리한다.
- 논거 1: 중국 수학 교육과정/고등학교 필수1, 미국 SAT Level 1, 일본 수학 등 선진국 수학 교육과정에서는 '함수 이론(함수의 정의, 표기, 종류, 역함수와 합성함수 등)'과 초등함수(지수함수, 로그함수, 유리함수, 무리함수, 삼각함수) 관련 내용을 분리하여 다루고 있으나, 한국은 함수라는 큰 단원 안에 '함수의 정의'과 '초등함수'를 모두 다루고 있다. 그것도 유리함수와 무리함수만. 이는 A라는 큰 틀을 소개하기 위해서는 a, b, c, d 같은 여러 사례를 나열해야 하는데, a 하나만 제시해서 A=a라는 결론으로 호도할 수 있는 문제점을 야기할 수 있다. 즉 자칫하다가 학생들에게 필요조건을 지나치게 협소화시킬 수 있어 교육적으로 좋지 못한 구성이라는 것이다. 물론 함수라는 중영역 안에 함수이론과 초등함수를 모두 다루는 게 잘못은 아니지만, 초등함수에 '유리함수와 무리함수'만 다루는 게 문제점이다. 원래는 한국에서도 5 ~ 6차 교육과정 당시엔 유리함수와 무리함수 외에도 지수함수, 로그함수, 삼각함수도 후속 중단원으로 배치되어있었다. 그러나 7차 교육과정에선 지수함수, 로그함수가 분리되더니 2009 개정 교육과정부터는 삼각함수가 분리되었고, 지금은 대수적 함수(유리함수, 무리함수)만이 남아있다. 그러다 보니, 애초에 함수의 정의 단원 내에 유리함수랑 무리함수만 다루는 건 사실상 의미가 없어졌는데, 그 이질감을 유지시킨 것이다. 이는 후속 개편자들이 교육과정 개정으로 인해 점차 부분 단원들이 찢겨나간 흔적을 전혀 눈치채지 못했다는 것을 방증한다.
- 논거 2: 한국과학창의재단에서 제안된 연구보고서에 따르면, 실제로 함수의 극한, 연속을 먼저 다루고 '무리함수, 유리함수' 등을 뒷단원으로 빼는 안이 제시되기도 하였다.
- 보충 의견1: '불연속함수'을 평면 좌표 위의 그래프와 개구간, 폐구간의 개념을 도입하여 가르친다.
- 보충 의견2: 고등학교 '함수의 극한'이 '엡실론-델타 논법'으로 엄밀하게 정의하지 않고 배우는 것과 유사한 방식이다. 이미 중학 과정부터 함수를 엄밀하게 정의하지 않는 이상 이 같은 방법을 마다할 이유가 없다.
- 보충 의견3: 부호 함수 $$\mathrm{sgn}\left(x\right)$$, 소수 계량 함수 $$\pi\left(x\right)$$를 예로 들 수 있다. 이 두 특수함수는 각각 '부호를 나타내는 표지', '소수의 개수'를 뜻하므로 불연속인 함수이면서 교과과정을 벗어나지 않으므로 다뤄도 무방하다. 집합 판별 함수까지 배웠다면 $$\bold{1}_{\mathbb{Q}}(x)$$ 같은 완전 불연속 함수(모든 실수에서 불연속)까지 다룰 수 있다.
- 보충 의견4: 만일 유리함수, 무리함수 단원을 분리시킨다면, 기존에 탈락했던 '무리방정식과 분수부등식'을 부활하여 통합 단원을 이루게 할 수도 있다.
- [중1~고1 전반] 함수의 기하학적이고 연속적인 그래프만 ‘함수의 그래프’라고 호도되지 않도록 바로잡는다.
- 논거 1: 막연히 '함수의 그래프'라고 하면 좌표 평면상에 곡선, 직선 같은 것이 그려져있는 것만을 떠올리게 할 수 있다. 하지만 사실 '순서쌍'만으로도 함수의 그래프라고 할 수 있으며, 해석기하학적 그래프만을 함수의 그래프라고 하지 않는다.[14]
- 논거 2: 중학교 ~ 고등학교 1학년 및 미적분을 배우지 않은 예비 학습자들의 경우, '함수의 연속성'을 배우지 않기도 하고, 다항함수 같은 연속함수에만 굉장히 익숙해져 있기 때문에 '수열' 같은 불연속함수[15]를 함수로 받아들이는 데 시간이 걸리는 현실이다. 상위 문단에서 언급했듯이 그래프 자체를 함수라고 인식하는 학생들도 적지 않다.
- [중·고등 전반] 대수학을 꼭 첫 단원으로 다룰 필요가 없다.
- 발단: 매번 교육과정 개편 때마다 '함수'를 비교적 뒷단원에, '방정식과 부등식', '다항식' 등을 비교적 맨 앞 단원에 구성하려고 하는 편인데, 이는 바로 <집합과 명제> 관련 문제들에 '식에 관한 문제'가 응용되기 때문이다. 혹은 다항함수의 정의와의 연계를 위해서로 보인다.
- 논거 1: (<발단>에 이어서) 이는 문제풀이 학습상의 관점에서 볼 때는 일리가 있으나 수학적 관점에서 볼 때는 상당히 이질적으로 느껴질 수 있는 사안이다. 또한 어차피 중학교 때 배운 기본적인 일차, 이차식만으로도 응용 문제는 충분히 출제가 가능하기 때문에 <집합과 명제>를 뒤에 배치한 부분은 다소 합당성이 떨어진다.
- 논거 2: 함수의 정의는 집합만으로 충분히 가능하기 때문에 다항식과는 근본적으로 큰 관련이 없게 배치할 수 있다. 다시 말해 <함수> 단원을 <다항식과 나머지정리> 단원보다 앞단원으로 구성해도 문제가 없다는 걸 인지할 필요가 있다는 것이다.[16]
- 논거 3: 2021학년도 신입생에게 적용되는 <기본 수학> 연구진들의 논문 속 '국가 수준 학업 성취도 평가' 통계를 살펴보면 의외로 학생들은 대수학에서 학업 성취도가 크게 떨어지는 것으로 나타났다. 실제로 기본 수학에서도 이를 반영하여 '경우의 수'를 가장 앞단원으로 배치하였다.
- [고1] 고등학교 과정에서 집합과 함수, 경우의 수, 사건(확률) 관련 용어를 가까이 구성할 필요가 있다.
- 논거 1: 상기했듯이 경우의 수는 집합 단원과 관련이 짙기 때문이다(둘 다 이산수학 분류).
- 논거 2: ‘함수의 개수를 찾으시오.’ 같은 문제가 기존의 함수 단원과 중복되어 등장하는 것을 방지할 수 있다.
- 제시 1-1안: 집합을 먼저 다루고, 함수와 경우의 수를 다룬다. 수형도, 합의 법칙, 곱의 법칙(기존 집합에서 다루던 '부분집합의 개수' 내용을 곱의 법칙의 활용으로써 이동를 다루는 방안도 고려될 수 있다.
- 제시 1-2안: '확률' 파트에 있던 '표본공간'과 '사건' 용어를 대안적으로 빌려 쓴다. 실제로 어떤 사건(부분집합)의 크기가 정확히 '경우의 수'를 의미한다. 전사건, 여사건, 배반사건(교집합이 공집합) 등도 연계해서 다루면 이해가 엄밀해질 것이다.
- 보충 의견: 2009 개정 교육과정부터 '집합과 명제'가 고등학교 1학년 2학기 과정으로 빠지는 바람에 수 체계를 정의할 수 없게 되었는데, 이 상태로 복소수를 학습하는 것은 문제가 있어보인다. 특히 '실수 전체의 집합' 등의 용어로 실함수를 정의하는 데 무리가 발생한다.
- [고1~고2] 고등학교 과정에서 <곱의 법칙>을 선행하고, '다항식' 파트를 다루는 구조라면, <다항식의 전개>를 <이항정리>와 연계할 수도 있다.
- 논거 1: '경우의 수'를 선수 과정으로 다루었다면, 곱의 법칙을 이용하여 '이항정리'를 다룰 수 있다. 실제로 교육현장에선 (a+b)4이나 (a+b+c)2의 전개식을 그냥 외우게 한다. 차라리 이항정리를 통해 다항식이 전개되는 원리를 이해시키는 게 훨씬 더 연계 가치가 높아보인다. 근본적으로 '지수'가 뽑는 횟수(=조합)를 의미한다.
- 보충 의견: 시그마를 갖고 이의제기를 할 수도 있겠으나, 이항정리 식은 시그마를 쓰지 않고도 나타낼 수 있다. 애초에 이항정리 식에 시그마가 쓰이는 이유는 그저 용이하게 '표기'하기 위해서 나타낼 뿐이지 시그마가 이항정리의 필수요소라는 것은 전혀 아니다. 실제로 2015 개정 교육과정에서 수학Ⅰ을 배우지 않은 학생도 확률과 통계를 배울 수 있게 되면서 교과서의 이항정리 표기에서도 시그마가 사라졌다.
- [고1] '유리식과 무리식'을 '유리함수와 무리함수'로부터 독립하여 대수학 파트로 이동한다.
- 논거 : 추가 예정
- [고1] '실수의 대소 관계'와 '부등식의 증명' 파트를 합쳐서 다룬다.
- 논거 : 추가 예정
- [고1] '이차방정식과 이차함수를 분리하고, 이차방정식을 이차함수보다 나중에 다룬다.
- 논거 1: <기본 수학> 연구진들이 실제로 반영하려고 했다가 엎어진 방안
- [고1] 도형의 방정식과 이차곡선 통폐합을 고려한다.
- 논거 1: 이차곡선의 경우 이과 범위를 사용하는 부분이 전무한데다가 예전 제4차 교육과정 고1 과정에 이차곡선을 전부 다룬 전례가 있었기 때문에 문과가 배워도 전혀 문제 없다.
- [고교 전반] <함수>의 활용 단원에서 나오는 <방정식과 부등식>을 철저하게 분리한다.
- 논거 1: 과거 삼각방정식, 지수방정식 등의 용어를 2009 개정 교육과정부터 교과서에 다루지 못하도록 지침을 내린 바가 있다.(단, 시중 참고서에서는 다루고 있다.) 그런데 여기에 대해서 대체 명칭을 갖다가 '삼각함수에 관한 방정식'으로 해놨다. 그러나 이런 명칭은 오히려 더 전문적으로 성립할 수도 없는 비문에 가깝다.[17]
- 논거 2: 같은 교육 과정인 심화 수학Ⅰ의 '방정식과 부등식' 단원만 봐도 '분수방정식', '무리방정식'은 '분수함수에 관한 방정식', '무리함수에 관한 방정식'으로 쓰이지 않는다. 일관성이 전혀 없다는 뜻이다.
- 제안 1: 대수 관련 후속 단원을 하나 신설하여 삼각방정식, 지수방정식, 로그방정식 등으로 명칭을 회귀시키는 게 올바르다.
- 제안 2: 지수함수, 로그함수, 삼각함수의 활용 (○○함수에 관한 방정식과 부등식) → 지수방정식, 지수부등식, 로그방정식, 로그부등식, 삼각방정식, 삼각부등식으로 그 용어를 엄밀히 할 것.
- [고2] 호도법에 대해서 설명을 명확하게 해야 한다.
- 논거: 호도법과 관련해서 가장 빈도가 많은 질문이 '호도법을 쓸 때 왜 단위를 쓰지 않는가?'이다. 이는 교과서에서 라디안을 명쾌하게 설명하지 않아서 생긴 것으로, 본래 정의대로 '부채꼴의 호와 반지름이 같을 때 그 호의 길이를 1로 정의'하되, 이를 비율이라는 것을 강조할 필요가 있다. 즉 수학적으로는 단위를 쓰지 않기 위해 호도법이 나왔다고 보면 되겠다.
- 보충 의견: 호도법이 최종적으로는 원주율과 동치라는 것을 강조해야 한다.
- [고1] <원의 방정식> 파트와 <삼각함수> 단원을 붙여놓는다.
- 논거: 삼각함수 파트가 사실 '삼각형'보다는 '원'과 더 밀접하기 때문이고, 실제로 이를 이용해 삼각함수를 정의한다. $$\boldsymbol{x^2+y^2=1}$$인 단위원 위의 한 점으로부터 $$\boldsymbol{x}$$축, $$\boldsymbol{y}$$축에 내린 수선의 발과 원점 사이의 거리는 각각 코사인과 사인의 정의이다. $$[\cos \theta]^2 + [\sin \theta]^2 = 1$$이라는 공식이 나오는 이유가 이 때문이다. 실제로 삼각비와 삼각함수의 차이점을 모르는 학생들이 실로 넘쳐나는데, 위 같이 구성하게 된다면 직각삼각형으로만 지도하던 삼각비와는 명확히 구분할 수 있을 것이다. (실제 삼각함수의 이명은 '원함수'이기도 하다.)
- 보충 의견1: 문과가 배울 필요가 없다는 주장이 있는데, 여기에서는 삼각함수의 정의와 그래프까지만 다룬다. 애당초 이 부분은 전통적으로 고1 과정이었기 때문에 수준 논쟁은 불필요하다.
- 보충 의견2: 이과용 삼각함수 파트인 '덧셈정리나 여러 가지 공식, 반각/배각 공식' 등은 이과용 삼각함수에서 별도로 다룬다. 이 부분만 후속 과정으로 분리하면 삼각함수는 문과가 배워도 무방하다. 그런데 일단 중국에서는 이 부분도 문과가 배운다.
- [미적분] 자연로그를 먼저 가르친 뒤 [math(e)]를 소개한다.
- 논거: 사실 '자연로그의 밑 → 자연로그' 순서로 교육하는 건 대한민국에 한정된다. 이에 따라 '자연상수'라는 국내 독자 용어(은어에 가까움)가 생겨난 것이다. 실제로 자연상수는 공식 명칭이 아니다. 세계적인 시류 대로 극한값 $$ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(1+ \frac{1}{x} \right)^{x} $$을 밑으로 하는 로그를 자연로그라고 먼저 정의한 뒤, '이 값을 $$e$$라고 한다.'로 끝마치는 것이 바람직해보인다. 교과서에 무리수라고 하니까 단순 숫자열을 외우기만 바쁘고, 어느 정도의 크기인지에만 관심이 있게 되어 그 정의 자체가 어떻게 되는지를 고민하는 학생은 드물다.
- [미적분] [math(e)]의 정의를 공통 과정으로 내려보내는 방법을 고려해본다.
이 정의법은 현재 벌어지고 있는 [math(e)]의 특칭 관련 논쟁을 점차 잠재울 수 있으며, 정적분으로도 $$e$$를 정의할 수 있다는 점을 학생들에게 시사할 수 있다. 지금의 [math(e)]의 서술도 ‘알려져 있다’ 식의 서술이므로 직관상 이 서술 방법이 잘못되었다고 보기는 어렵다. 사실상 '반비례 그래프'(중1), '비순환 무한소수'(중2)를 배웠다면 그 직후 과정으로 편성해도 서술 순서상 하자는 없다.
- 논거 2: 확률과 통계에서 정규분포를 다루는 과정에서 그 함수식에 $$e$$가 포함되어 있다. 물론 $$e$$가 주요한 과제는 아니지만 생략되어 있는 것은 순서상의 흠결(이른바 설정구멍)이다.
- 논거 3: 7차 교육과정에서 상경계열 교수 측이 인문·사회계열 신입생들의 미적분에 대한 이해가 부족하다는 이유[18]로 미적분과 통계 기본이라는 과목을 다음 교육과정에 내놓는다. 하지만 본래 원리합계나 로그 계산을 염두해두고 있던 [math(e)]는 포함되지 않고, 자연계열 전용으로만 남게 되었다.
5.2. 내용 강화 · 추가(재포함) 제안
- [중2] 산점도를 저학년 과정으로 내리고 '적합선' 개념을 추가한다.
- 논거1: 이화여대 교육대학원 이문경(2020, 연구 논문)
- 논거2: 2015 개정 교육과정 중학교 수학 통계 영역에서 산점도를 다시 재포함하였으나 다소 실용적이지 못하므로 학생들에게 유의미한 연계활동이 필요해보인다는 지적이 있다.
- 보충 의견1: 일차함수의 기하적 그래프와 연계한다.
- 보충 의견2: 후속 과정에서 이차함수의 기하적 그래프를 배울 때에도 소개할 수 있도록 한다.
- [중3] 곱셈 공식 파트에서 1학년의 꿈(수학 용어)를 명시하거나 관련 주의사항 코멘트를 추가한다.
- [고1] 집합을 중학 과정으로 복귀되었다면, 기존의 <실수와 수 체계> 단원을 복귀시킨다.
- [고1] 부등식의 영역을 복귀시킨다.
- 논거 1: 부등식의 영역은 좌표평면 위 특정 영역을 대수적으로 표현할 수 있는 방법을 제시하고, 이와 관련된 여러 문제들을 해결할 수 있는 역량을 기르는 데 도움을 준다. 대수적인 문제를 기하적으로, 또 그 역으로 사고하는 능력을 함양하는 데 큰 도움이 되는 학습 내용임을 감안해야 한다.
- [고1] 절댓값을 가르칠 때 부호 함수도 같이 서술한다.
- 논거 1: '수에서 부호를 없애는 것'이 절댓값이라는 것은 배우지만, 정작 '수에서 부호만을 남기는 방법'을 모르는 이들이 많아 급수 및 점화식을 세울 때 애로사항이 생긴다. 그러므로 절댓값 파트에 부호 함수 $$\mathrm{sgn}(x)$$을 같이 서술한다.
- 논거 2: 정의가 '양수일 때 1, 음수일 때 -1, 0일 때 0을 내놓는다'라는 간단한 내용이므로 교과 수준을 벗어나지 않는다.
- 논거 3: 복소수 파트에서 '복소수의 절댓값'을 배울 때에도 부호함수 내용을 추가한다. 여기서 실수에서의 부호함수와 차이점을 가르친다.
- 논거 4: 미적분 파트에서 절댓값 함수의 미분, 적분법을 부호함수와 연계해 가르친다. 숱한 참고서나 수학 관련 블로그 등에서 절댓값 함수의 미분가능성을 이야기하는데 이는 부호함수의 존재를 몰라서 그러는 경우가 상당수이다. 달리 말하면, 부호함수를 도입하면 일반적인 다항식과 크게 달라지지 않는다는 점[20]이나, 절댓값을 씌운 함수의 역도함수가 있음[21]을 가르칠 필요가 있다.
- 보충 의견1: 부호 함수에서 유도할 수 있는 헤비사이드 계단 함수를 소개한다. $$x=0$$일 때의 값은 다수론인 $$\dfrac12$$로 한다.
- 보충 의견2: 다루게 된다면 복소수용 부호함수인 $$\mathrm{csgn}(z)$$도 소개할 필요도 고려한다.
- 보충 의견3: 단, 절댓값의 이계도함수인 디랙 델타 함수는 교육 과정을 벗어나므로 다루지 않는다.[22]
- [고1] <벡터>나 <행렬>의 기초적인 내용 정도는 문·이과 막론하고 필수로 교육한다.
- 논거 1: 이 문서의 3.3.1 문단에서도 언급했듯이 동아시아 교육과정에서 벡터를 문이과 필수로 배우지 않는 나라는 대한민국밖에 없다. 중국, 홍콩, 대만 등은 벡터를 정규 필수 교육 과정에 편성하고 있으며 당장에 가까운 나라인 일본만 해도 '벡터'가 문이과 막론하고 입시 시험에 출제된다.
- 논거 2: 이는 스칼라와 벡터의 구분을 가르치기 위해서이기도 하다. 특히 공통과학 역학 파트 초반에 등장하는 '거리(스칼라)와 변위(벡터)', '속도(벡터)와 속력(스칼라)'의 개념 차이를 각인시키기 위해 당연히 배워야 하는 것으로 인식된다.
- 보충 의견1: 다만, 벡터의 대수학적 개론에 초점하여 다룬다. 도형 같은 것을 응용하면 학습 부담감이 커지기 때문이다. 덧셈과 상수배, 전치, 내적[23] 정도만 다루고 행렬곱, 행렬식, 역행렬 등은 고등학교 과정으로 남겨둔다.
- 보충 의견2: 벡터라는 용어가 생소하게 느껴진다면 '선그림'(국립국어원) 등으로 자문을 통해 순화어로 가르치면 된다.
- 보충 의견3: 내적을 반쌍형적 형식으로 정의한다. 선수 과정에서 켤레복소수를 배우기 때문에 실벡터의 내적을 따로 배울 필요가 없다. 위의 중학교 과정에 벡터를 도입하는 것과 엮어서 생각하자면, 현행 교육과정의 쌍선형 내적을 중학교 과정에서 다루고 고등학교 과정에서 반쌍형 내적으로 일반화하는 것으로 다룰 수도 있다.
- 사분위수와 상자 그림 추가를 고려한다.
- 논거: 상당히 실용적이다. 사분위수와 상자 그림은 대다수의 통계학 입문 서적에 줄기와 잎 그림 바로 다음으로 다룰 정도로 기초적인 파트이다. 통계 자료를 보다 보면 이런 그림을 자주 접한 적이 있을 것이다. 이는 특히 주식이나 여론조사, 경제 관련 그래프에서도 굉장히 많이 다루기 때문에 실용적이기도 하다. 2015 개정 교육과정에서 복귀된 상관계수는 사실상 너무나도 당연한 내용들이기 때문에 직관적으로 이해할 수 있어서 추가에 의의가 없어보인다. 차라리 실생활에서 자주 다루는 '사분위수'를 추가하는 게 더 괜찮아보인다는 아쉬움이 있다.
- [미적분] 자연로그를 정의할 때 쓰이는 함수를 상세화한다.
- 논거 1: 함수 $$ \displaystyle f(x)=\left(1+x \right)^{\frac{1}{x}} $$와 $$ \displaystyle f(x)=\left(1+\frac{1}{x} \right)^{x} $$의 기하학적 그래프를 다루면 직관적인 이해가 가능하다.( 해당 문서 참조. ) 함수 $$ \displaystyle f(x)=\left(1+x \right)^{\frac{1}{x}} $$의 그래프와 함수 $$ \displaystyle f(x)=\left(1+\frac{1}{x} \right)^{x} $$의 그래프의 개형을 보여준 뒤 이를 '함수의 연속', '함수의 극한', '그래프의 점근선'과 연계시켜 서술하면 쉽게 이해시킬 수 있지만, 아쉽게도 현 교육과정은 그저 수식적 서술로만 끝내는 것에 그친다.
- 논거 2: 해당 내용은 (일반적인) 로그함수의 극한이라며 오해하는 경우도 있다. 그러나 이 함수는 특정 합성 지수함수에 로그함수가 또 한 번 합성된 복잡한 합성함수[24]의 극한을 다루는 것이다. 겉은 로그지만 속은 지수식이고, 그마저도 일반적인 지수식도 아니므로 합성함수로 보는 게 타당하다. (대다수의 학생은 인지하지 못하고 있다.)
- 보충 의견1: (일반적인) '로그함수의 극한'과 '자연로그' 단원(후속 과정)을 분리하여 다루는 것이 낫다. 차라리 극한과 연속을 먼저 다룬 뒤 지수함수와 로그함수의 그래프를 다룬 뒤, 이 과정에서 극한을 연계하여 점근선의 개념을 명확히 해줄 필요가 있다.
- 보충 의견2: 소수 계량 함수와 소수 정리를 간략하게 서술할 필요가 있다. '일반적인 로그함수의 극한'을 다룬다면 빼놓을 수 없는 내용이다.[25] 물론 자연로그가 소수의 개수와 관련이 있다고까지만 언급해야 하며 그 이상의 내용은 중등교육 과정을 벗어나므로[26] 서술 시 주의해야 한다.
- 보충 의견3: 오일러-마스케로니 상수를 소개한다. 이것은 반비례 관계의 그래프와 로그함수 그래프의 차를 뜻하는 극한값[27]으로, 역시 로그함수의 극한을 다룰 때 나름대로 비중있게 다룰 수 있는 내용이다.
- <우함수(짝함수)>, <기함수(홀함수)>, <주기함수>, <매개변수로 정의된 함수>, <최대 정수 함수> 등을 정규 과정으로 편성한다.
- 논거 1: 최대 정수 함수는 뒤에 나오는 상용로그를 심화 설명하거나[28] '함수의 불연속'을 설명할 때 용이하다. 주기함수나 매개변수 등도 삼각함수나 이차곡선과 연계된다.
- 논거 2: 적분 파트에서 최대 정수 함수를 이용해 수열의 합을 적분으로 바꾸어 쓸 수 있음[29]을 소개한다.
- 논거 3: 함수의 합성 파트에서 멱등함수를 소개하며, 최대 정수 함수를 예로 든다.
- 보충 의견1: 우함수와 기함수는 정적분과 연계돼서 당연히 정식 교과과정인 줄 착각하는 사람들이 많은데, 놀랍게도 현재까지 정식적으로 교과 과정에 포함된 적이 없다.
- 보충 의견2: 우함수와 기함수는 '집합으로 함수 정의하기' 파트에서 다룬다. 여기서 주요 성질을 다루어야 이후 과정에서 혼동이 적다.
- 2009 개정 교육과정에서 빠진 '분수방정식, 무리방정식 재포함한다.'
- 논거: 학생들이 치환, 제곱 등의 과정에서 '무연근'이 발생할 수도 있다는 예외적인 사례도 존재할 수 있다는 것을 알 필요가 있다. 현재는 고급 수학1에서 다룬다.
- 6차 교육과정이후 빠진 '복소평면'을 재포함한다.'
- 논거 1: 복소수가 단순한 방정식의 근이 아니라 더 나아가서 평면위의 점, 위치벡터를 표현하는 유용한 방식이라는 것을 알면, 삼각함수나 벡터를 더 깊이 이해할수 있고 점의 회전도 다룰 수 있다.
- 논거 2: 덧붙여서 고1 과정 수학에서 원의 방정식과 삼각함수의 정의 및 기본성질을 다루면서, 바로 복소평면과 극형식을 도입하고 복소수의 곱셈이 닮음과 회전을 의미한다는 것을 기하학적으로 교과서에서 끌어낸다면 삼각함수의 덧셈정리같은 삼각함수의 응용 내용들을 바로 유도 할수있다.
- 논거 3: 선진국중에서 복소평면을 가르치지 않는 나라는 매우 드물다.
- 보충 의견: 다색 복소평면을 다룰 때 아래의 알록달록한 이미지를 접할 경우가 많은데, 이를 보는 방법을 1의 세제곱근과 연계해서 가르칠 필요가 있다.
[image]
- [전면 개편] 진로선택과목 ‘기하’ 교과를 유지하거든 그에 걸맞는 과목으로 복귀·상향한다.
- 논거 1: 미국수학교사회(NCTM, 1920)에서 제시된 <학교수학의 교육과정과 평가의 표준>에서는 기하 영역 가운데 ‘해석기하학적’, ‘변환기하학적’, ‘벡터기하학적’, ‘비유클리드 기하학적’ 측면 등 다양한 기하학 학습 관점을 절충적으로 다룸으로써 학생들에게 문제 상황에 따라 적합한 기하학적 방법과 개념을 효과적으로 적용할 수 있는 능력을 길러 줄 것을 요구하고 있다.[33]
- 2015 개정 교육과정 기하 과목의 전신이었던 2007 개정 교육과정의 기하와 벡터(2007)은 그래도 비유클리드 기하를 제외한 ‘벡터기하학적’(평면 벡터, 공간좌표), ‘해석기하학적’(이차곡선), ‘변환기하학적’(일차변환과 행렬), ‘유클리드 기하’(공간도형)를 모두 다루어서 차라리 그 시절이 오히려 ‘기하’라는 단일 작명이 어울렸을 것이다. 그러나 두 번의 개정을 거듭한 이 과목은 각 관점의 내용이 매우 허술[30]하다. 그나마 있던 '변환기하학' 내용마저 날려버렸으며, 벡터기하학은 '공간 벡터'를 삭제시킴으로써 그 기초 허들이 매우 낮아졌다. 그나마 자연계 필수로 가르치던 것마저 이젠 입시 필수 범위에서 필연 3자1택으로 영향력을 떨어뜨리는 등의 행보를 보여 무의미해졌다. '기하'보다는 '미적분과 통계 기본' 마냥 '해석기하와 벡터 기본'가 더 구체화한 작명 면에선 낫다고 볼 수 있겠다.
- 논거 1에 대한 제안 1: 벡터를 '선형대수학' 관점과 '기하학' 관점이 있다는 사실을 명시해야 한다.[31]
- 논거 1에 대한 제안 2: <학교수학의 교육과정과 평가의 표준>을 그나마 잘 지켰던 2007 개정 교육과정의 기하와 벡터(2007)의 단원 구성으로 되돌릴 필요가 있다. 각 표준 하위 영역을 균형화 작업을 하여, 해석 기하 영역을 좀 더 심화·보충하거나, 비유클리드기하 영역을 새롭게 추가할 필요가 있다.
- 보충 의견 1: 이차곡선을 진로과목인 기하에 남겨두고자 한다면 극좌표를 살짝 다루며 이심률을 통해 정의될 수 있음을 설명하는 방법이 있다. 애초에 극좌표 자체가 명시적으로 설명은 안 돼 있지만 수1 '삼각함수' 단원 맨 처음에 나오는 부분이기도 하고, 미적분의 매개변수 함수에도 나오는 부분이기에 그다지 낯설지 않겠지만, 그 활용도는 어마어마하기 때문이다. 따라서 학생들이 개념의 쓸모를 느끼기에도 좋을 것이다.
- 보충 의견 2: 1의 의견을 따를 경우 어디까지 다룰 것인가가 문제이다. 상술했듯이 극좌표는 활용범위가 어마어마해서, 이차곡선뿐만 아니라 평벡, 공벡 모두와 깊은 연관성을 보이는데, 이걸 이차곡선에서만 설명하고 끝낼 것인가, 혹은 기하의 전 단원과 연계시킬 것인가가 문제이며, 후자의 경우 내용이 지나치게 많아질 우려가 있으며[32] 전자의 경우 규격이 없다고 비판받을 여지가 있다. 절충점을 찾는 것이 중요해 보인다.
- <행렬>과 <공간 벡터>를 이과 필수 과정으로 재포함시킬 필요가 있다.
- 논거 1: 공과대학, 자연과학대학에서의 행렬의 위치를 고려하여 재포함이 논의되어야 한다. 실제로 행렬의 경우는 벡터와 함께 선형대수학의 필수요소인데, 선형대수학이 공과대학, 자연과학대학에서 얼마나 중요한 위치에 놓여 있는지는 더 이상 말할 필요가 없다. 다만, 지난 교육과정처럼 뜬금포 수준으로 다루기보단[34] 2009 개정 교육과정 기준 고급 수학Ⅰ처럼 벡터와 엮어서 정식적으로 다룰 필요가 있다. 실제로 2015 개정 교육과정 회의에서 일반선택과목으로 재포함시키고자 한 적이 있다가 무산된 바가 있다. [참조]
- 논거 2(전문가의 의견 인용):
>행렬과 같은 부분은 아예 단원 자체를 들어내는 것보다는 조금이라도 소개하는 식의 내용 경감이 필요하지 않을까 생각한다. 많은 공부를 하지 않아도 지금 하나를 들으면 나중에 또 공부를 할 때는 둘을 아는 것처럼 느껴져 훨씬 더 쉽게 느껴지게 되기 때문이다. (중략) 일반적으로 특정 주제 전체를 삭제하는 결정을 하는 것보다는 다른 방향으로의 내용 삭감을 하는 것을 고려하는 것이 바람직하다고 생각한다.
>
>장정욱 (단국대학교 사범대학 수학교육과 교수) 2015. 7. 31.
>
>장정욱 (단국대학교 사범대학 수학교육과 교수) 2015. 7. 31.
- 보충 의견1: 행렬과 벡터를 간단히 다룬 뒤 벡터 단원 하위에 평면 위의 벡터의 활용이라는 단원을 구성한다. 여기서부터 그전에 배우던 그 '평면 벡터'와 유사하다.
- 보충 의견2: 삼각함수가 선수되어야 한다. 내적 파트에서 코사인을 다루기 때문이다.[35] 다만, 평면 운동 파트는 미적분을 배워야 할 수 있으므로 후속 과정에서 다룬다.
- [미적분] <정적분의 활용> 단원 강화를 고려한다.
- 논거 1: 회전체의 부피를 고급 수학으로 차출시켰으면서 정작 일반 입체의 부피는 남겨놨는데, 사실상 이 일반입체의 부피에다가 중학교 때 배웠던 회전체를 엮어서 단면이 원이 되게 하면 회전체의 부피와 근본적인 차이가 없기 때문에, 이게 빠진 건 사실상 의미가 없다. 즉 일반입체를 통해서 2009 개정 교육과정 기준으로도 회전체를 잘만 시험 문제에 낼 수 있는 것이다.
- 제안 1: 2009 개정 교육과정 때 빠졌던 '회전체의 부피'를 복귀시킨다.
- 제안 2: '질량중심과 모멘트'를 추가한다. 거의 모든 이공계 학과 1학년 때 필수로 배워야 하는 일반물리학(특히 건축공학과, 기계공학과)에서 등장하기 때문. 그리고 모멘트는 화학이나 지구과학에서도 쓰인다. 실제로 수준도 낮은 편에 속한다. 일변수함수와 시그마, 정적분으로만 설명되기 때문에 심화 미적분에 없던 게 의문일 정도로 내용이 쉽다. 게다가 물리학2의 역학적 평형과 돌림힘 파트에서 다루기도 하고, 실제로 수능 문제(舊 물리1)가 이 파트를 스킬 삼아 풀어냈었고, 중3때 배운 무게중심과 구분지어줘야 하기 때문에 정규 고교 과정 편성이 필요해보인다. 심지어 초월함수조차 쓰이지 않아서 다항함수의 적분법 - '정적분의 활용' 파트에 놓아도 문제가 없다.
- 제안 3: 리시 방법을 소개한다. 초등함수의 역도함수가 초등함수일 경우 쓸 수 있는 공식으로, 정적분 단원 말미에 배치한다.
- [해석기하] 삼각함수 내용 말미에 역삼각함수를 추가한다.
- 논거 1: 역함수 관계인 '이차함수 - 무리함수', '지수함수 - 로그함수' 관계까지 배웠는데 삼각함수의 역함수 정의를 하지 않는 것은 맞지 않는다. 최소 $$\sin, \cos, \tan$$에 대한 역함수 $$\arcsin, \arccos, \arctan$$를 가르칠 필요성이 있다.
- 논거 2: 다른 선진국(특히 미국)의 중등 교육과정에서 가르치는 내용이다.
- 논거 3: 역삼각함수는 삼각치환이나 복소수나 물리학과 연계되는 내용이기도 하다.
- 논거 4: 2015 개정 교육과정 '심화 수학 I' 과목에 역삼각함수의 정의와 도함수에 관한 내용이 서술되어 있다. 이 내용을 일반 선택 과목으로 옮기는 것이 하나의 해결 방안이 될 수 있다.
- 보충 의견: 함숫값이 일대일 대응인 것을 염두에 둔다면 삼각비 파트에서부터 다룰 수도 있다(일명 역삼각비). 교과과정상 특수각과 특수 비율로만 정의되니 그 역관계를 쉽게 정의할 수 있다.[36]
5.3. 내용 약화 · 삭제 제안
- 대분수를 삭제한다.
- 논거: 가분수를 대분수로 바꿔 표현하는 교육은 장차 학생들에게 더 혼란만 부추기게 만들기만 한다. 예를 들어, 가분수를 대분수로 표현할 땐 $$\dfrac {39}{4} =$$[math(9\dfrac {3}{4})]이라고 표현하지만, 나중에 중학교에 진학하여 '문자간 곱셈'의 생략을 배우면서 $$ 9\dfrac {3}{4} $$이 $$ 9+\dfrac {3}{4} $$인지 $$ 9\times\dfrac {3}{4} $$인지 혼란이 오게 된다는 점이다. 대분수는 덧셈이 생략된 경우이므로 전자가 맞다.
- 해결 1안: '가분수'만을 다룬다.
- 해결 2안: '정수' + '진분수' 꼴로 표기를 변경하여 다룬다.
- 벤 다이어그램을 증명에 쓸 수 없음을 가르친다.
- 논거 1: 함수를 정의할 때 벤 다이어그램을 쓰는 것도 '이해'라는 관점에선 타당하겠지만, 극도의 순도성을 추구한다는 면에서 볼 땐 엄밀한 방법이 아니다. 그 중에서도 '전체집합'은 명백히 러셀의 역설에 의해 인정되지도 못하는 개념이다. 자세한 건 집합 문서 참조.
- 논거 2: 벤 다이어그램은 본래 논리학에서만 쓰이던 도식이고, 벤 본인도 수학을 염두하고 이 아이디어를 창안하지 않았다고 한다. 그런데 이후 현대수학에서 집합론이 대두되자 벤 다이어그램을 차용하였는데, 차이점이 생기고 만다. 자세한 건 벤 다이어그램 문서 참조.[37]
- 대안 1: 그래도 벤 다이어그램은 쉽게 직관적으로 이해시킨다는 목적에서만 볼 때 벤 다이어그램의 쓰임새가 긍정될 수는 있겠다. 하지만 수학적으로 증명한다거나 다른 수리 논증의 증명에 활용될 수는 없는 개념이다. 교육부가 벤 다이어그램을 버릴 수 없다면, 경고 문구로 대체할 수 있다. ‘집합의 개념을 쉽게 도식화하기 위해 논리학의 도구를 빌려온 것’, ‘엄밀하게는 증명엔 활용될 수 없음’이라는 문구를 넣어둘 필요가 있겠다.
- 실용수학 폐지 또는 개편
5.4. 표기와 용어 수정
- 분수와 나눗셈 기호 통합
- 논거: 학생들뿐만 아니라 많은 사람들이 $$ n $$ 분의 $$ 1 $$을 쓸 때 $$ n/1 $$이라고 적는 오류를 범한다. 즉 $$ \div $$가 $$ / $$와 같은 것임을 전혀 인지하지 못해서일 가능성이 제기되었다. 나눗셈 기호 $$ \div $$를 과감히 $$ / $$로 변경해 기존 틀을 깨는 것도 고려해볼 만 하다.
- 제시안: (표제어와 동일) ÷와 / 기호를 통일한다.
- 집합의 크기에 대한 표기법을 $$n(A)$$에 추가로 ]도 쓸 수 있게끔 한다.
- 논거: 실제로는 전자가 오히려 세계적으로 약속되지 않은 표기이며 대개 후자로 쓴다.
- 순열과 조합이라는 용어를 직관적이고 쉬운 용어로 바꾼다.
- 논거: '순열'과 '조합'도 그 뜻이 직관적이지 못하고, 순열은 수열과 헷갈릴 수 있기 때문에 각각 '순서를 나열하는 수', '뽑는 수'로 명칭을 개정한다.
- 양함수와 음함수를 각각 '드러낸함수'와 '숨은함수'로 개칭한다.
- 가비의 이를 '유리식의 덧셈법칙' 등으로 개칭한다.
- ‘무리수 [math(e)]’를 ‘극한값 $$e$$’ 또는 ‘상수 $$e$$’로 교육한다.
- 논거: 중·고등학교 수학교육과정 내에서 $$e$$가 무리수라는 건 별로 중요한 과제가 아니며, 그게 무리수인지, 초월수인지를 증명하는 과정은 고등 과정 밖이다. 따라서 극한값 $$e$$ 또는 상수 $$e$$로 가르치는 것이 타당해보인다.
- <삼각함수>와 <삼각식>을 엄연히 구분한다.
- 논거: '삼각함수 문서'의 여담 항목 참조.
- 기호를 통일하거나 새로운 기호를 알려준다.
- 기호 통일
- 최대 정수 함수의 표현을 $$\lfloor x \rfloor$$로 통일할 필요가 있다. 현재는 일반적 괄호 용법 및 폐구간, 1차 정사각행렬과 같은 꼴인 $$[x]$$를 쓰기 때문에 대학 과정에서 혼란이 있다.
- 벡터의 표기를 볼드로 통일할 필요가 있다. $$\vec{a}$$는 내적 공간의 벡터(정확히는 유클리드 벡터)만을 뜻하는 것에 반해[38] $$\mathbf{a}$$는 범용적으로 쓸 수 있는 표현이다.
- 중복순열의 개수를 $$n^r$$로 통일해야 한다. $${}_n \Pi _r$$은 수열의 곱셈과 혼동할 수 있을 뿐더러 대한민국에서만 사용하는 출처 불명의 갈라파고스화된 표기이다. 2015 개정 교육과정에서는 이 둘을 같다고 병기하여 표시하고 있지만 해당 표기가 완전히 사라지지 않았다.
- 마찬가지로 조합과 중복조합 표기도 각각 $$\dbinom nr, \left(\!\!\dbinom{n}{r}\!\!\right)$$로 통일한다(다만 현행 교육과정의 $$_{n} \rm C \it _{r}$$ 기호도 덜 쓰여서 그렇지 국제적으로 쓰이는 기호이다). 행렬과 혼동할 수는 있겠지만 대학 과정에서는 보통 행렬 표현에 대괄호를 쓰니 큰 문제는 없다. 그래도 불안하다면 행렬 표현을 대괄호로 바꿔버리면 그만이다.
- 일러두기
- 공집합의 표기를 $$\emptyset$$로 변경하거나 기존의 $$\varnothing$$를 각도를 나타내는 $$\phi$$표기와 다르다는 것을 일러둔다.
- 복소수의 실수부, 허수부 표현에서 $$\Re (z) = \mathrm{Re}(z), \Im (z) = \mathrm{Im}(z)$$를 일러둘 필요가 있다. $$\Re, \Im$$은 수학 논문에서 자주 보이는 형태인데 여기에 대해 확실히 짚고 넘어가야 한다. (다만, 고급 수학의 '복소수와 극형식' 파트에서는 서술되어있다.)
- 적분상수의 표기를 $$\sf const.$$로도 쓸 수 있음을 일러둔다. $$C$$가 틀린 것은 아니지만, 식에 이미 $$C$$나 $$c$$가 있을 경우 혼동할 수 있기 때문.
- 기호 통일
6. 종합적인 개편안
===# 분량을 유지하되, 영역별로 나누는 방법 #===
고등학교 2015 개정 교육과정 기준으로 서술한 것이다. 수학(2015), 수학Ⅰ(2015), 수학Ⅱ(2015), 미적분(교과), 기하(교과), 확률과 통계(2015)를 전부 합쳐놓은 다음에 쪼개는 것이다.
수학(2015), 수학Ⅰ(2015), 수학Ⅱ(2015)에서 의미하는 '수학'이라는 게 사실상 큰 플롯이 있는 것도 아니고, '기초'라고 보기엔 상위 과정에 있었거나 하위 과정에 있었던 내용들을 비일관적으로 재구성하기에 바쁘다. 즉 교육 개편자들 마음 대로라는 것이다. 차라리 '수학'이라는 네이밍 자체에 구속되어 이상한 교과서를 매번 탄생시키기보다 '수학'을 차라리 없애고, 처음부터 세분화 영역에 포함시켜 교과를 구성하는 방안을 채택할 수 있다. 즉 고등학교 1학년 때부터 '수학'이라는 교과서 명칭을 버리고 세분화 형식의 과목을 실시하는 것이다.
물론 '''대수''', '''그래프와 기하''', '''이산수학·통계''', '''미적분-가, 미적분-나[41]'''로 나누는 방법은 수업 진도에 융통성이 더해져야 한다. "미적분" 같은 경우는 선수해야 할 개념이 많아야 하기 때문이다. 이는 초반엔 3 과목씩 나가고, 한 과목이 끝나면 '미적분'을 나가도록 융통성 있는 교육을 해야 할 것이다.
아래는 2015 개정 교육과정의 교과 내용을 그대로 구성했을 때 가정 상황이다. '''대단원에 얽매이지 않고''' 중단원으로만 편성하였다. 내용 삭제 및 추가는 이루어지지 않았으며, 구성상에 순서는 바뀐 부분은 있다. 이동한 것에 대해서는 각각의 이유를 제시하였다.
- 이산수학과 통계
- 명제와 집합
- 명제, 집합의 뜻과 표현, 부분집합
- 전체집합, 여집합, 조건, 진리집합, p → q
- 합집합과 교집합, '또는'과 '그리고'
- 차집합
- 집합의 연산 법칙
- 유한집합의 원소의 개수
- 함수
- 일대일함수, 일대일대응, 항등함수, 상수함수
- 합성함수와 역함수의 정의
- 경우의 수
- 시행과 사건
- 합의 법칙과 곱의 법칙
- 포함 배제의 원리
- 순열, 원순열, 중복순열, 같은 것이 있는 순열
- 조합, 중복조합
- 경우의 수에 관한 문제
- 함수가 될 수 있는 것들의 개수 세기
- 집합의 분할 (조 나누기, 분배)
- 이항정리: 1학년의 꿈
- 확률
- 확률의 뜻과 기본 성질
- 확률의 덧셈정리
- 조건부 확률
- 사건의 독립과 종속
- 독립시행의 확률
- 확률분포와 통계적 추정
- 이산확률변수와 확률질량함수
- 이산확률변수의 기댓값, 분산, 표준편차
- 이항분포
- 연속확률변수와 확률밀도함수
- 정규분포
- 표준정규분포
- 이항분포와 정규분포의 관계
- 통계적 추정
- 모집단과 표본
- 모평균의 추정
- 대수학
- 다항식과 등식
- 다항식과 여러 가지 등식의 소개
- 다항식과 등식
- 다항식의 덧셈과 뺄셈, 지수법칙, 거듭제곱, 식의 전개
- 곱셈 항등식(곱셈공식)과 그 변형
- 인수분해
- 식의 나눗셈과 나머지 정리
- 항등식의 성질, 다항식의 나눗셈, $$\displaystyle A=BQ+R$$꼴 나타내기, 미정계수법
- 나머지 정리
- 인수 정리
- 여러 가지 식
- 실수의 분류 이산수학·통계 중 <집합> 선행하기
- 유리식과 비례식
- 무리식
- 절대부등식
- 산술-기하 평균 부등식
- 두 식의 대소 판단
- 허수 단위 $$i$$와 복소수
- 복소수의 연산
- $$i^{n}$$의 계산과 켤레복소수의 성질
- 음수의 제곱근
- 여러 가지 일차방정식
- 절댓값 기호가 포함된 일차방정식
- 연립일차방정식
- 이차방정식
- 이차방정식의 대수 풀이법 (곱셈공식, 인수분해, 근의 공식 등 활용)
- 이차방정식의 판별식
- 이차방정식의 근과 계수의 관계
- 이차방정식의 실근의 부호
- 여러 가지 방정식
- 연립이차방정식, 공통근의 해
- 부정방정식
- 삼차방정식과 사차방정식
- 삼차방정식의 근과 계수의 관계
- $$x^{3}=1$$의 허근 $$\omega$$
- 지수
- 거듭제곱근
- 지수의 확장
- 지수 방정식과 지수 부등식
- 로그
- 로그의 정의
- 로그의 성질
- 로그 방정식과 로그 부등식
- 상용로그
- 수열
- 등차수열
- 등비수열
- 수열의 합과 기호 $$ \Sigma$$
- 수열의 귀납적 정의
- 여러가지 점화식
- 계차수열
- 군수열
- 수학적 귀납법
- 수열의 수렴과 발산
- 수열의 극한값의 계산
- 등비수열의 수렴과 발산
- 급수의 수렴과 발산
- 등비급수의 수렴과 발산
- 등비급수의 활용
- 그래프와 기하
- 좌표
- 평행이동, 두 점 사이의 거리
- 좌표
- 선분의 내분점과 외분점
- 도형이 갖는 특수한 점의 평행 이동
- 직선의 방정식
- 두 직선의 위치 관계
- 정점을 지나는 직선
- 점과 직선 사이의 거리
- 다항함수의 기하적 그래프
- 이차함수의 그래프
- 이차방정식과 이차함수의 관계
- 이차부등식과 이차함수
- 연립이차부등식
- 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계
- 이차함수의 최대와 최소
- 대칭 이동과 그 그래프
- 점의 대칭 이동
- 절댓값 기호를 포함한 식의 그래프
- 우함수와 기함수
- 합성함수와 역함수의 그래프 이산수학·통계 중 <합성함수와 역함수의 정의> 선행하기
- 유리함수·무리함수 대수 중 <유리식, 무리식> 선행하기
- 유리함수와 그 그래프
- 무리함수와 그 그래프
- 유리함수와 무리함수의 역함수 그래프
- 지수함수·로그함수 대수 중 <지수와 로그> 선행하기
- 지수함수와 그 그래프
- 로그함수와 그 그래프
- 지수함수와 로그함수의 역함수 그래프
- 원의 방정식
- 원의 방정식의 표준형
- 두 원의 위치 관계
- 원과 직선의 위치 관계
- 원의 이동
- 삼각함수
- 일반각과 호도법
- 삼각함수와 그 성질
- 삼각함수의 그래프
- 삼각방정식과 부등식
- 삼각함수의 덧셈정리
- 배각과 반각 공식
- 삼각함수의 합성
- 삼각형과 삼각함수
- 사인 법칙
- 코사인 법칙
- 이후는 기하(교과)에서 평면 좌표의 벡터 → 이차 곡선 → 공간도형과 공간좌표 구성과 같음.
- 미적분
- 함수의 극한
- 우극한과 좌극한
- 함수의 극한값의 계산
- 여러 가지 함수의 극한 [미적분 가에선 다루지 않음]
- 지수함수와 로그함수의 극한
- 삼각함수의 극한
- 함수의 연속
- 연속함수의 성질
- 사이값 정리
- 미분법
- 미분계수
- 미분가능성과 연속성
- 도함수
- 실수배, 합, 차의 미분법
- 곱의 미분법
- 여러 가지 함수의 미분법 [미적분 가에선 다루지 않음]
- 몫의 미분법
- 정수 지수 다항함수, 삼각함수의 도함수
- 합성함수의 미분법
- 지수함수와 로그함수의 도함수, 실수 지수 다항함수의 도함수
- 역함수의 미분법
- 이계도함수
- 음함수의 미분법
- 매개변수로 정의된 함수의 미분법
- 몫의 미분법
- 도함수의 활용
- 미분과 접선의 방정식 [미적분 가에선 다항함수만 예시로 다룸]
- 롤의 정리와 평균값 정리
- 미분과 함수의 증가와 감소, 극대와 극소 [미적분 가에선 다항함수만 예시로 다룸]
- 변곡점, 곡선의 오목과 볼록 [미적분 가에선 다루지 않음]
- 함수 그래핑 [미적분 가에선 다루지 않음]
- 함수의 최대와 최소 [미적분 가에선 다항함수만 예시로 다룸]
- 방정식과 부등식에 활용하기 [미적분 가에선 다항함수만 예시로 다룸]
- 속도와 가속도, 변화율 [미적분 가에선 수직선만 예시로 다루고, 나에서는 평면에서의 경우도 함께 다룸.]
- 미분과 접선의 방정식 [미적분 가에선 다항함수만 예시로 다룸]
- 부정적분
- 부정적분의 계산
- 여러 가지 함수의 부정적분 [미적분 가에선 다항함수만 예시로 다룸]
- 치환적분법과 부분적분법 [미적분 가에선 다루지 않음]
- 정적분
- 정적분의 정의
- 정적분의 성질 밎 계산
- 정적분의 치환적분법과 부분적분법 [미적분 가에선 다루지 않음]
- 정적분으로 정의된 함수
- 정적분과 급수 대수 중 <급수> 선행하기
- 정적분의 활용
- 곡선과 좌표축 사이의 넓이 [미적분 가에선 다항함수만 예시로 다룸]
- 두 곡선 사이의 넓이 [미적분 가에선 다항함수만 예시로 다룸]
- 입체 도형의 부피 [미적분 가에선 다루지 않음]
- 속도와 거리 [미적분 가에선 수직선만 예시로 다루고, 나에서는 평면에서의 경우도 함께 다룸.]
- 곡선의 길이 [미적분 가에선 다루지 않음]
현 공통과목+선택과목 체제를 유지하되 분량을 늘린다. 다만 교과명과 단원 구성은 2015 개정 교육과정보다는 2009 개정 교육과정과 비슷하다.
공통과목은 수학Ⅰ[42], 수학Ⅱ[43]이다. 공통과목을 수강한 후 일반선택과목을 선택할 수 있는데, 인문계 일반선택과목은 미적분Ⅰ[44], 확률과 통계[45], 수학연습 나[46]이고 자연계 일반선택과목은 미적분Ⅰ[47], 기하와 대수[48], 확률과 통계[49], 미적분Ⅱ[50], 수학연습 가[51]이다. 이 외에 진로선택과목으로 심화수학[52], 고급수학[53], 인공지능 수학[54], 경제수학[55], 실용수학[56]이 있다. 특성화고의 경우 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 실용수학을 수강한다.
수능에서 인문계는 수학Ⅱ, 미적분Ⅰ, 확률과 통계를, 자연계는 기하와 대수, 확률과 통계, 미적분Ⅱ를 응시한다.
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이 개편안에 최초로 포함되는 내용 : 갈색
과거 교육과정에 있었으나 삭제되었다가 재포함되는 내용 : 빨간색
상위 과정에서 내려온 내용 : 주황색
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'''수학Ⅰ'''
고등학교 1학년 1학기, 공통과목
- Ⅰ. 집합과 명제
- 1. 집합
- 01. 집합
- 02. 집합의 연산 : 대칭차집합
- 03. 집합족과 멱집합
- 04. 순서쌍과 곱집합
- 2. 명제
- 01. 명제 : 전칭기호와 존재기호
- 02. 논리연산
- 03. 필요조건과 충분조건
- 04. 논리적 동치
- 05. 증명법 : 귀류법
- 3. 이항연산과 수 체계
- 01. 이항연산 : 이항연산, 항등원, 역원, 멱등원, 닫혀있다
- 02. 수 체계
- 03. 복소수의 뜻
- 04. 복소수의 연산
- Ⅱ. 다항식
- 1. 다항식의 연산과 곱셈공식
- 01. 다항식의 연산 : 실수배, 합, 차, 곱, 몫
- 02. 곱셈공식
- 2. 다항식의 나머지정리와 인수분해
- 01. 항등식
- 02. 다항식의 나머지정리
- 03. 인수정리와 조립제법
- 04. 인수분해
- 1. 다항식의 연산과 곱셈공식
- Ⅲ. 방정식과 부등식
- 1. 이차방정식과 이차함수
- 01. 이차방정식의 근과 판별식
- 02. 이차방정식의 근과 계수의 관계
- 03. 이차방정식과 이차함수
- 04. 이차함수와 직선의 관계
- 05. 이차함수의 활용
- 2. 여러가지 방정식
- 01. 고차방정식
- 02. 고차방정식의 여러가지 해법 : 상반방정식, 삼차방정식의 근과 계수의 관계, 허근 ω
- 03. 연립방정식 : 연립이차방정식, 삼원연립일차방정식
- 3. 여러가지 부등식
- 01. 부등식의 성질
- 02. 일차부등식 : 절댓값을 포함한 일차부등식
- 03. 이차부등식
- 04. 이차부등식과 이차함수
- 05. 고차부등식
- 4. 절대부등식
- 01. 절대부등식
- 02. 평균부등식 : 조화 평균
- 03. 코시-슈바르츠 부등식
- Ⅳ. 도형의 방정식
- 1. 평면좌표
- 01. 두 점 사이의 거리
- 02. 선분의 내분점과 외분점
- 2. 직선의 방정식
- 01. 직선의 방정식
- 02. 두 직선의 위치 관계
- 03. 점과 직선 사이의 거리
- 3. 원의 방정식
- 01. 원의 방정식
- 02. 원과 직선의 위치 관계
- 03. 원의 접선의 방정식
- 4. 평행이동과 대칭이동
- 01. 평행이동
- 02. 대칭이동
- 5. 부등식의 영역
- 01. 부등식의 영역
- 02. 부등식의 영역의 활용
'''수학Ⅱ'''
고등학교 1학년 2학기, 공통과목
- Ⅰ. 여러가지 함수
- 1. 함수의 뜻
- 2. 함수의 그래프
- 3. 분수식과 분수함수
- 01. 분수식 : 유비식, 부분분수분해, 번분수식, 분수식의 덧셈정리[64]
- 02. 분수함수 : 점근선
- 03. 분수방정식과 분수부등식 : 무연근
- 4. 무비식과 무비함수
- 01. 무비식 : 대수식, 분모의 유비화, 이중근호가 포함된 식
- 02. 무비함수 : 대수함수
- 03. 무비방정식과 무비부등식
- Ⅱ. 지수함수와 로그함수
- 1. 지수식과 지수함수
- 01. 거듭제곱과 거듭제곱근
- 02. 지수의 확장
- 03. 지수함수
- 04. 지수방정식과 지수부등식
- 2. 로그식과 로그함수
- 01. 로그
- 02. 로그의 성질
- 03. 상용로그
- 04. 로그함수 : 지수함수와 로그함수의 관계
- 05. 로그방정식과 로그부등식
- 1. 지수식과 지수함수
- Ⅲ. 삼각함수
- 1. 삼각함수 (Ⅰ)
- 01. 일반각
- 02. 호도법
- 03. 삼각함수의 뜻
- 04. 삼각함수의 그래프
- 05. 삼각방정식과 삼각부등식의 특수해
- 2. 삼각함수와 도형
- 01. 사인 법칙
- 02. 코사인 법칙
- 03. 삼각형의 넓이 : 헤론 공식
- 04. 사각형의 넓이 : 브라마굽타 공식
- Ⅳ. 수열
- 1. 등차수열과 등비수열
- 01. 수열
- 02. 등차수열
- 03. 등차수열의 합과 활용
- 04. 조화수열
- 05. 등비수열
- 06. 등비수열의 합과 활용
- 2. 수열의 합
- 01. 수열의 합의 뜻과 성질
- 02. 여러가지 수열의 합 : 자연수의 거듭제곱의 합, 홀수의 합
- 3. 점화식과 수학적 귀납법
- 01. 수열의 귀납적 정의와 점화식 : 여러가지 점화식
- 02. 여러가지 수열 : 계차수열, 군수열, 삼각수, 피보나치 수열
- 03. 수학적 귀납법
'''미적분Ⅰ'''
고등학교 2학년 1학기, 일반선택과목, 문·이과 공통
- Ⅰ. 수열의 극한
- 1. 수열의 극한
- 01. 수열의 수렴과 발산
- 02. 수열의 극한값의 계산
- 03. 등비수열의 극한
- 2. 급수
- 01. 급수의 수렴과 발산 : 일반항 판정법
- 02. 등비급수
- 03. 등비급수의 활용
- 1. 수열의 극한
- Ⅱ. 함수의 극한과 연속
- 1. 함수의 극한
- 01. 함수의 수렴과 발산
- 02. 함수의 극한값의 계산 : 샌드위치 정리
- 03. 함수의 극한의 활용
- 2. 함수의 연속
- 01. 함수의 연속
- 02. 연속함수의 성질
- 03. 최대·최소 정리와 사잇값 정리
- 1. 함수의 극한
- Ⅲ. 미분법
- 1. 미분계수와 도함수
- 01. 미분계수 : 미분가능성과 연속성
- 02. 도함수
- 03. 이계도함수
- 04. 합, 차, 실수배의 미분법
- 05. 곱의 미분법
- 2. 미분법과 함수의 그래프
- 01. 접선의 방정식
- 02. 평균값 정리
- 03. 함수의 증감과 극값
- 04. 함수의 오목과 볼록 : 변곡점, 변곡접선
- 05. 함수의 그래프 : 삼차함수와 사차함수의 대칭성과 비율관계
- 06. 함수의 최대와 최소
- 3. 도함수의 활용
- 01. 방정식과 부등식에의 활용
- 02. 속도와 가속도
- 03. 도함수와 여러가지 변화율
- Ⅳ. 적분법
- 1. 부정적분
- 01. 부정적분
- 02. 부정적분의 계산
- 2. 정적분
- 01. 구분구적법
- 02. 정적분
- 03. 정적분의 계산
- 3. 정적분의 활용
- 01. 정적분과 급수
- 02. 넓이 : 이차함수의 넓이 공식, 삼차함수의 넓이 공식
- 03. 함수의 그래프와 정적분 : 대칭성과 정적분, 주기성과 정적분
- 04. 속도와 거리
'''기하와 대수'''
고등학교 2학년 1학기, 일반선택과목, 이과 전용
- Ⅰ. 평면기하와 복소평면
- 1. 삼각형의 성질
- 01. 스튜어트 정리
- 02. 메넬라오스 정리
- 03. 체바 정리와 젤곤 정리
- 04. 수심
- 05. 방심
- 06. 오일러 직선과 구점원
- 2. 이차곡선
- 01. 타원의 뜻과 방정식
- 02. 포물선의 뜻과 방정식
- 03. 쌍곡선의 뜻과 방정식
- 04. 이차곡선와 직선의 위치 관계
- 05. 이차곡선의 접선의 방정식
- 06. 이차곡선과 부등식의 영역
- 3. 극좌표계
- 01. 극좌표계
- 02. 극좌표계와 직교좌표계의 변환
- 03. 직선과 원의 극방정식
- 04. 이차곡선의 극방정식 : 이심률
- 05. 여러가지 극방정식 : 아르키메데스 나선, 로그 나선, 장미 나선, 달팽이 곡선
- 4. 복소평면
- 01. 복소평면
- 02. 복소수의 극형식
- 03. 드 무와브르 정리
- Ⅱ. 공간기하
- 1. 공간도형
- 01. 공간도형의 위치 관계
- 02. 삼수선 정리
- 03. 정사영
- 04. 오일러 다면체 정리
- 2. 공간직교좌표계
- 01. 공간직교좌표계
- 02. 두 점 사이의 거리
- 03. 선분의 내분점과 외분점
- 04. 구의 방정식
- 3. 원통좌표계와 구면좌표계
- 01. 원통좌표계
- 02. 구면좌표계
- 03. 입체각과 스테라디안
- 04. 여러가지 좌표계간의 변환
- 1. 공간도형
- Ⅲ. 벡터와 기하
- 1. 벡터와 스칼라
- 01. 벡터와 스칼라의 뜻
- 02. 벡터의 연산
- 2. 위치벡터
- 3. 벡터와 도형의 방정식
- 01. 직선의 방정식
- 02. 평면의 방정식
- 03. 원과 구의 방정식
- Ⅳ. 행렬과 선형변환
- 1. 행렬과 행렬식
- 01. 행렬의 뜻
- 02. 행렬의 연산
- 03. 역행렬과 행렬식
- 04. 연립일차방정식과 행렬 : 가우스 소거법
- 2. 선형변환
- 01. 선형변환과 행렬
- 02. 여러가지 선형변환 : 대칭변환, 닮음변환, 회전변환
- 03. 합성변환
- 04. 역변환
- 05. 선형변환과 도형
- 3. 고윳값과 행렬의 거듭제곱
- 01. 고윳값과 고유벡터
- 02. 특성다항식
- 03. 행렬의 대각화
- 04. 행렬의 거듭제곱과 케일리-해밀턴 공식
- 1. 행렬과 행렬식
'''확률과 통계'''
고등학교 2학년 2학기, 일반선택과목, 문·이과 공통
- Ⅰ. 경우의 수
- 1. 경우의 수
- 01. 시행과 사건 : 전사건, 공사건, 합사건, 곱사건
- 02. 합의 법칙
- 03. 곱의 법칙과 수형도
- 04. 포함·배제의 원리 : 부분집합의 개수
- 05. 비둘기집의 원리
- 2. 순열
- 01. 순열
- 02. 원순열 : 목걸이 순열
- 03. 중복순열
- 04. 같은 것이 있는 순열
- 3. 조합
- 01. 조합
- 02. 중복조합
- 03. 집합의 분할과 분배
- 04. 함수의 개수 : 순열과 조합의 내용을 종합적으로 다룬다.
- 4. 이항정리
- 01. 이항정리 : 1학년의 꿈
- 02. 이항계수의 성질 : 이항계수와 미분
- Ⅱ. 확률
- 1. 여러가지 확률
- 01. 수학적 확률
- 02. 통계적 확률
- 03. 확률의 기본 성질
- 04. 확률의 덧셈정리
- 2. 조건부 확률과 베이즈 정리
- 01. 조건부 확률
- 02. 확률의 곱셈정리
- 03. 전확률 정리
- 04. 베이즈 정리 : 역확률, 몬티홀 문제
- 3. 사건의 독립과 종속
- 01. 사건의 독립과 종속
- 02. 독립시행의 확률
- Ⅲ. 확률변수와 확률분포
- 1. 이산확률변수와 이산확률분포
- 01. 이산확률변수와 이산확률분포 : 이산균등분포
- 02. 이산확률변수의 기댓값과 표준편차
- 03. 이항분포
- 04. 기하분포와 음이항분포
- 05. 초기하분포
- 2. 연속확률변수와 연속확률분포
- 01. 연속확률변수와 연속확률분포 : 연속균등분포, 연속확률분포와 정적분
- 02. 정규분포
- 03. 정규분포의 표준화
- Ⅳ. 통계
- 1. 통계적 추정
- 01. 모집단과 표본
- 02. 모평균의 추정
- 03. 모비율의 추정
- 2. 통계적 분석
- 01. 분산 분석
- 02. 회귀 분석
'''미적분Ⅱ'''
고등학교 2학년 2학기, 일반선택과목, 이과 전용
- Ⅰ. 삼각함수와 역삼각함수
- 1. 삼각함수 (Ⅱ)
- 01. 삼각함수의 역수 : 코시컨트, 시컨트, 코탄젠트함수의 그래프
- 02. 삼각함수의 덧셈정리 : 배각 공식, 반각 공식
- 03. 삼각함수의 여러가지 공식 : 삼각함수의 합성, 삼각함수의 합차공식
- 04. 삼각방정식과 삼각부등식의 일반해
- 2. 역삼각함수
- 01. 역삼각함수 : 역사인함수, 역코사인함수, 역탄젠트함수, 역코시컨트함수, 역시컨트함수, 역코탄젠트함수
- 02. 역삼각함수의 그래프
- 03. 역삼각함수의 성질 : 삼각함수와 역삼각함수의 합성과 관련된 공식
- Ⅱ. 여러가지 함수의 극한과 도함수
- 1. 로피탈 정리
- 01. 코시 평균값 정리
- 02. 로피탈 정리
- 2. 여러가지 함수의 극한과 도함수
- 01. 지수함수와 로그함수의 극한 : 자연로그, 소수 정리, 오일러-마스케로니 상수
- 02. 지수함수와 로그함수의 도함수
- 03. 삼각함수의 극한
- 04. 삼각함수의 도함수
- Ⅲ. 미분법
- 1. 여러가지 미분법
- 01. 몫의 미분법
- 02. 합성함수의 미분법 : 로그미분법, 무비함수의 미분법
- 03. 매개변수로 나타낸 함수의 미분법
- 04. 숨은함수[68]의 미분법
- 05. 역함수의 미분법 : 역삼각함수의 미분법
- 06. 고계도함수
- 2. 미분법과 함수의 그래프
- 01. 접선의 방정식
- 02. 함수의 그래프
- 03. 함수의 최대와 최소
- 3. 도함수의 활용
- 01. 방정식과 부등식에의 활용
- 02. 속도와 가속도 : 평면운동
- 03. 도함수와 여러가지 변화율
- Ⅳ. 적분법
- 1. 여러가지 적분법
- 01. 여러가지 함수의 부정적분
- 02. 치환적분법 : 삼각치환
- 03. 부분적분법 : 도표적분
- 04. 정적분의 치환적분법과 부분적분법
- 2. 정적분의 활용
- 01. 넓이 : 적분 평균값 정리
- 02. 부피
- 03. 회전체의 부피와 겉넓이
- 04. 질량중심과 모멘트
- 05. 속도와 거리
'''심화수학'''
고등학교 3학년 1학기, 진로선택과목
- Ⅰ. 정수의 성질
- 1. 나눗셈 정리와 정수의 성질
- 01. 나누어 떨어짐과 나눗셈 정리
- 02. 최대공약수와 최소공배수의 성질 : $$\text{lcm}\left(a,b\right)$$, $$\text{gcm}\left(a,b\right)$$
- 03. 유클리드 호제법 : 연분수
- 04. 약수의 성질 : 약수의 개수, 약수의 합, 약수의 곱
- 05. 진법 변환
- 2. 합동식과 부정방정식
- 01. 합동식의 뜻 : 합동, 합동식, 법
- 02. 합동식의 성질
- 03. 일차합동식의 풀이
- 04. 베주 항등식
- 05. 부정방정식
- 3. 정수론의 여러가지 정리
- 01. 중국인의 나머지 정리
- 02. 오일러 정리 : 오일러 피 함수
- 03. 윌슨 정리
- 04. 페르마 소정리
- 1. 나눗셈 정리와 정수의 성질
- Ⅱ. 그래프와 매듭
- 1. 그래프의 뜻
- 01. 그래프의 뜻 : 그래프, 꼭짓점, 변, 차수, 인접, 경로, 회로
- 02. 그래프의 성질 : 차수
- 03. 인접행렬 : 인접행렬
- 2. 여러가지 그래프
- 01. 수형도와 생성수형도 : 수형도, 생성수형도
- 02. 평면그래프
- 03. 오일러 그래프와 해밀턴 그래프 : 오일러 그래프, 쾨니히스베르크의 다리 문제, 한붓그리기, 해밀턴 그래프
- 04. 채색수와 채색다항식 : 채색수, 채색다항식
- 05. 최단경로
- 3. 매듭
- 01. 매듭의 뜻 : 매듭, 매듭의 사영, 교차점
- 02. 여러가지 매듭 : 매듭 표기법, 풀린매듭, 세잎매듭, 8자 매듭, 다섯잎매듭
- 03. 합성매듭 : 합성매듭, 소매듭, 유향매듭, 대칭매듭
- 04. 라이데마이스터 변환 : 라이데마이스터 변환, 1종 변형, 2종 변형, 3종 변형
- 1. 그래프의 뜻
- Ⅲ. 급수
- Ⅳ. 미적분의 활용
- 1. 쌍곡선함수와 역쌍곡선함수
- 01. 쌍곡선함수의 뜻
- 02. 쌍곡선함수의 그래프
- 03. 쌍곡선함수의 여러가지 공식
- 04. 역쌍곡선함수의 뜻과 그래프
- 05. 쌍곡선함수과 역쌍곡선함수의 미분법
- 05. 쌍곡선함수과 역쌍곡선함수의 적분법
- 2. 미적분의 활용
- 01. 뉴턴의 방법
- 02. 이상적분
- 03. 미분방정식 : 간단하게 다룸.
- 1. 쌍곡선함수와 역쌍곡선함수
-
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-
1.'''수학I'''(공통영역, 문과는 출제 범위, 이과의 경우 직접적인 출제는 하지 않지만 후수 과목과 연계되어서 나옴)
고등학교 1학년 과정
- 집합과 명제
(1) 집합
- 집합의 연산 : 대칭차집합(사실상의 암묵지로 용어만 소개)
- 집합족과 멱집합
- 순서쌍과 곱집합
- 해집합
- 포함과 배제의 원리
- 유한집합, 무한집합
- 유한집합을 합집합으로 나타내기
(2) 명제
- 명제의 뜻과 정의
- 필요조건과 충분조건
- 명제의 이, 역, 대우
- {{{#FF0000 명제의 합성, 조건문, 쌍조건문
- 동치명제, 항진명제, 모순명제}}}
- 귀류법
(3) 이항연산과 수 체계
- 이항연산 : 이항연산, 항등원, 역원, 멱등원, 닫혀있다
- 실수와 체계
- 이진법, 십진법
- 오차, 오차의 한계, 참값, 근삿값, 절대오차, 상대오차, 근삿값의 계산
(4) 논리연산
- 연결사와 진릿값, 진리표
- 논리연산
- 논리적 동치
- 정수론
(1) 나눗셈 정리와 정수
- 나눗셈 정리와 정제성(나누어 떨어짐)
- 나눗셈에 의한 정수의 분류
- 약수와 배수, 배수판정법
- 소수와 서로소의 성질
- 최대공약수와 최소공배수의 성질 : $$\text{lcm}\left(a,b\right)$$, $$\text{gcm}\left(a,b\right)$$
- 유클리드 호제법
- 약수의 성질 : 약수의 개수, 약수의 합, 약수의 곱
- 소수 계량 함수, 집합 판별 함수, 소인수 계량 함수, 폰 망골트 함수
- 진법 변환
- 비둘기집의 원리
- 분수와 소수
- {{{#A52A2A n진법, 진법별 사칙연산
- 자연수를 자연수의 합으로 나타내기
- 조건에 맞는 분배의 수}}}
(2) {{{#FF0000 합동식과 부정방정식
- 합동식의 뜻 : 합동, 합동식, 법
- 합동식의 성질
- 일차합동식의 풀이
- 베주 항등식
- 부정방정식}}}
(3) {{{#FF0000 정수론의 다양한 정리
- 중국인의 나머지 정리
- 오일러 정리, 오일러 피 함수
- 윌슨 정리
- 페르마 소정리}}}
- 다항식과 등식
(1) 다항식과 다양한 등식
(2) 다항식의 덧셈과 뺄셈, 거듭제곱, 식의 전개
(2) 다항식의 덧셈과 뺄셈, 거듭제곱, 식의 전개
- 곱셈 항등식(곱셈공식)과 그 변형
- 인수분해
- 다항식의 약수와 배수
- 기약다항식
(3) 식의 나눗셈과 나머지 정리
- 항등식의 성질, 다항식의 나눗셈, $$\displaystyle A=BQ+R$$꼴 나타내기, 미정계수법
- 나머지 정리
- 인수 정리
(4) 중복조합과 이항정리
- 중복조합
- 이항정리 : 5.16.2문단의 두번째 논거에 의거함
- 1학년의 꿈(명시지로 다루지는 말고 주의사항으로 다루기)
- 방정식과 부등식
(1) 여러 가지 식
- 두 식의 대소 판단
(2) 허수 단위 $$i$$와 복소수
(3) 이차방정식
(4) 여러 가지 방정식과 부등식
(3) 이차방정식
(4) 여러 가지 방정식과 부등식
- 연립이차방정식, 공통근의 해
- 부정방정식과 디오판토스 방정식
- 삼차방정식과 사차방정식
- 삼차부등식과 사차부등식
- 고차방정식의 여러가지 해법 : 상반방정식, 삼차방정식의 근과 계수의 관계, 허근 ω
- 연립방정식 : 연립이차방정식, 삼원일차연립방정식, 이원이차연립방정식
- 분수방정식과 무리방정식
- 고차부등식과 분수부등식
- 삼각방정식과 삼각부등식의 특수해
- 절대부등식
- 산술평균, 기하평균, 조화평균
(5) 지수와 로그
- 지수
- 로그
- 자연로그와 e(자연로그를 먼저 정의하고 e 소개, e의 경우 ||<#fff> 그래프 $$y=\dfrac{1}{x}$$와 $$x$$축, $$x=1$$, $$x=t~(t>1)$$로 둘러싸인 넓이를 $$1$$이라고 할 때 $$t=e$$이다. || 라고 정의한다.)
- 지수방정식과 부등식
- 로그방정식과 부등식
- 람베르트 W함수와 지수와 로그가 포함된 다항식의 풀이
- 평면좌표와 이차곡선
(1) 평면좌표와 도형의 방정식
- 평면좌표 위의 직선: 직선의 방정식, 점과 직선 사이의 거리 등을 다룬다.
- 원의 방정식
- 부등식의 영역: 선형계획법 등을 다룬다.
(2) 이차곡선
- 이차곡선의 뜻과 정의
- 타원, 포물선, 쌍곡선의 정의
- 타원, 포물선, 쌍곡선의 방정식
- 이차곡선와 직선의 위치 관계
- 벡터와 행렬
(1) 평면벡터
- 평면벡터의 뜻 연산
- 위치벡터와 벡터의 성분
- 평면벡터의 내적
- 평면벡터로 나타낸 직선과 원의 방정식
(2){{{#FF0000 공간벡터
- 공간직교좌표계
- 공간벡터의 뜻과 정의
- 공간벡터의 기하적 성질: 중점, 내(외)분점, 삼각형 무게중심 등등
- 공간벡터의 내적}}}
(5) {{{#FF0000 행렬과 연립일차방정식
- 행렬의 뜻과 요소, 영행렬
- 행렬의 곱셈
- 2차, 3차 정사각행렬
- 전치행렬과 역행렬, 대칭행렬
- 연립일차방정식: 크래머의 공식, 가우스 소거법
- 행렬식
- 그래프와 행렬}}}
- 삼각함수
(1) 삼각함수
- 일반각과 호도법
- 삼각함수의 정의와 그래프
- 삼각함수의 성질
(2) 삼각함수의 도형 활용
- 사인법칙과 코사인법칙
- 삼각형과 사각형의 넓이 공식
- 다각형의 넓이 공식(브라마굽타 공식)
(3) {{{#FF0000 역삼각함수
- 역삼각함수의 정의와 그래프
- 역삼각함수의 성질과 합성}}}
(4) {{{#FF0000 극좌표계: 구면좌표계를 이해하기 위한 선수 과정격으로 꼭 필요한 부분이다.
- 극좌표계의 정의
- 극좌표계와 직교좌표계의 변환
- 직선과 원의 극방정식
- 여러가지 극방정식 : 아르키메데스 나선, 로그 나선, 장미 나선, 달팽이 곡선
- 접선과 교각
- 극좌표계와 넓이}}}
(5) {{{#FF0000 복소평면
- 오일러 공식과 허수지수함수 $$\rm cis$$
- 삼각함수의 덧셈정리, 드 무아브르 공식
- 복소평면을 이용한 기하로의 여러가지 응용}}}
- 함수와 그래프
(1) 함수의 그래프의 성질
- 증가와 감소
- 극대와 극소 : 극값, 극점. 최대·최소와의 관계 서술.
- 오목과 볼록 : 변곡점
- 그래프의 대칭성 : 원점대칭과 y축 대칭, 홀함수와 짝함수, 절댓값을 포함한 식의 그래프,
- 그래프의 주기성
- 제곱비례, 제곱근비례, 복비례의 그래프
(2) 함수와 그래프
- 유리함수·무리함수
- 지수함수·로그함수, 자연지수함수, 자연로그함수
- 함수의 절댓값과 부호함수, 헤비사이드 계단 함수
- 수열과 극한
(1) 수열
- 등차수열과 등차수열의 합
- 조화수열과 조화중항
- 등비수열과 등비수열의 합
- 등비수열 합의 활용(상환, 연금의 현가)
- 원리합계
(2) 수열의 합과 기호 $$ \Sigma$$
- 수열의 합과 시그마
- 자연수의 거듭제곱의 합
- 부분분수
(3) 수열의 귀납적 정의
- 여러가지 점화식
- 점화식
- 계차수열
- 제2 계차수열
- 군수열
- 수학적 귀납법
(4) 수열의 극한(엡실론-N 논법)
- 수열의 극한값의 계산
- 등비수열의 수렴과 발산
(5) 급수
- 급수의 수렴과 발산
- 등비급수의 수렴과 발산
- 등비급수의 활용
- 이산확률분포
(1) 확률
- 확률의 의미, 조건부확률
(2) 이산확률분포
- 이산확률변수와 기댓값, 표준편차
- 이항분포와 독립시행,
- 이항분포의 평균/분산/표본표준편차
- 체비쇼프의 부등식
- 큰 수의 법칙
- 상대도수와 이산확률분포
- 기하분포와 초기하분포
- 이산확률변수와 이산확률분포
--
2.'''수학II'''(문, 이과 공통)
고등학교 2학년 1학기 과정
- 함수의 극한과 연속
(1) 함수의 극한(엡실론-델타 논법 서술)
- 우극한과 좌극한
- 함수의 극한값의 계산
(2) 여러 가지 함수의 극한값
- 자연로그의 밑 e의 기하학적 정의(위 논거에 나와있는대로 e의 정의식에 나오는 함수의 그래프로 기하학적 의미를 이해시킨 뒤 합성함수의 극한 파트에서 합성함수 극한과 연계시켜서 다룬다.)
- 지수함수, 로그함수의 극한(소수 계량 함수, 소수 정리, 오일러-마스케로니 상수 서술하여 다룸)
- 삼각함수의 극한
- 합성함수의 극한
(3) 함수의 연속
- 함수의 연속과 연속의 성질
- 실수의 연속성
- 함수의 불연속성과 불연속함수
- 디리클레 함수
- 미분
(1) 미분계수와 도함수
- 미분계수
- 미분가능성과 연속성
- 도함수
- 실수배, 합, 차의 미분법
- 곱의 미분법
(2) 여러 가지 함수의 미분법
- 몫의 미분법
- 정수 지수 다항함수, 삼각함수의 도함수
- 합성함수의 미분법
- 지수함수와 로그함수의 도함수, 실수 지수 다항함수의 도함수
- 역함수의 미분법
- 이계도함수
- 은함수[71]의 미분법
- 매개변수로 정의된 함수의 미분법
(3) {{{#FF0000 멱급수와 테일러 다항식
- 멱급수의 뜻과 수렴반경
- 여러가지 함수의 멱급수
- 테일러 다항식과 테일러 급수(깊게는 다루지 않는다.)}}}
(4) 도함수의 활용
- 미분과 접선의 방정식
- 롤의 정리와 평균값 정리
- 미분과 함수의 증가와 감소, 극대와 극소
- 변곡점, 곡선의 오목과 볼록
- 함수 그래핑
- 함수의 최대와 최소
- 방정식과 부등식에 활용
- 속도와 가속도, 변화율
- 극좌표계와 미분법
- 적분
(1) 부정적분
- 부정적분의 계산
- 여러 가지 함수의 부정적분
- 치환적분법과 부분적분법
(2) 정적분
- 정적분의 정의(구분구적법 서술)
- 정적분의 성질 밎 계산
- 정적분의 치환적분법과 부분적분법
- 정적분으로 정의된 함수
- 정적분과 급수
- 정적분의 활용
- 곡선과 좌표축 사이의 넓이
- 두 곡선 사이의 넓이
- 입체 도형의 부피
- 회전체의 부피
- 질량중심과 모멘트
- 속도와 거리
- 곡선의 길이
- 정적분의 근삿값
- 최대 정수함수를 이용한 수열의 합과 정적분의 관계(스틸체스 적분)
3.'''수학III'''(이과 필수)
고등학교 2학년 2학기 과정
- {{{#FF0000 수열과 급수
(1) 단조수렴정리와 급수의 판정법
- 단조수렴정리
- 비교판정법 : 비교판정법, 극한비교판정법
- 적분판정법 : 적분판정법, 지수급수 판정법
- 조건수렴과 절대수렴
- 디리클레 판정법 : 교대급수 판정법, 디리클레 판정법
- 비판정법과 근판정법 : 비판정법, 근판정법
(2) 거듭제곱급수
- 거듭제곱급수의 뜻
- 거듭제곱급수의 표현
(3) 여러가지 급수
- 테일러 급수와 매클로린 급수
- 여러가지 함수의 테일러 급수
- 테일러 다항식의 응용}}}
- {{{#FF0000 매개변수 방정식과 극좌표
(1) 매개변수 방정식
- 매개곡선
- 매개변수 곡선에 대한 미적분
(2) 극좌표(공통수학에서 다룬 것보다 범위가 더 넓어짐)
- 극방정식의 그래프
- 극방정식 그래프의 대칭이동 및 대칭성,
- 극방정식의 접선의 기울기
- 교각
- 부등식의 영역
- 여러 가지 극방정식의 그래프
- 극좌표계에서의 곡선의 길이와 도형의 넓이
- 극좌표에서의 모멘트, 무게중심, 곡면의 넓이}}}
- {{{#FF0000 편도함수
(1) 이변수함수
- 이변수함수의 극한과 연속
- 다변수함수
(2) 편미분
- 편미분의 뜻과 성질
- 편미분계수와 편도함수,
- 이계편도함수
- 편미분의 연쇄법칙
(3) 편미분의 활용
- 그래디언트
- 곡면의 접평면
- 임계점, 안장점
- 이변수함수의 극값
- 편미분을 활용한 최대·최소
- 라그랑주 승수법}}}
4.'''기하'''(이과 필수)
고등학교 3학년 1학기 과정
- 도형의 성질
(1) {{{#A52A2A 여러가지 평면기하의 공리
- 체바 정리, 메넬라우스 정리, 삼각형의 오심, 면적비, 스튜어트 정리, 원의 아홉 점과 포이어바흐 정리, 접현 정리, 방멱 정리, 두 원의 위치관계, 몰리의 정리, 카르노 정리, 톨레미 정리}}}
: 이 역시 위에 나온 논거에 의거함.
(2) {{{#FF0000 이차곡선
(2) {{{#FF0000 이차곡선
- 이차곡선의 접선의 방정식
- 이차곡선과 부등식의 영역
- 이차곡선의 여러가지 성질: 매개변수로 나타낸 타원, 포물선과 직선에 대한 성질 등
- 역쌍곡선
- 쌍곡선함수와 역쌍곡선함수
- 이차곡선의 극방정식 : 이심률
- 타원의 넓이와 둘레}}}
- 공간도형과 공간좌표
(1) 공간도형
- 공간도형의 위치 관계
- 삼수선 정리
- 정사영
- 오일러 다면체 정리
(2) 공간직교좌표계
- 공간직교좌표계
- 두 점 사이의 거리
- 선분의 내분점과 외분점
- 구의 방정식
- 직교좌표계에서의 이차곡선
(3) {{{#FF0000 원통좌표계와 구면좌표계
- 원통좌표계
- 구면좌표계
- 여러가지 좌표계간의 변환
- 입체각과 스테라디안}}}
- 벡터(선형대수적 관점과 기하적 관점 모두 서술)
(1)벡터의 외적과 도형의 방정식
- 평면벡터의 외적
- 평면벡터의 평면운동
- 방향코사인과 방향비
- 공간벡터의 외적
- 공간벡터의 평면의 방정식
- 공간벡터의 구의 방정식
(3) {{{#FF0000 벡터공간과 벡터의 판별
- 벡터공간
- 벡터의 차원
- 일차독립과 일차종속
- 기저와 정규직교기저}}}
- {{{#FF0000 행렬과 일차변환
(1) 행렬과 벡터
- 행렬과 벡터의 정의
- 벡터공간과 행렬
- 텐서와 텐서곱
(2) 일차변환
- 일차변환과 행렬
- 여러가지 일차변환: 대칭변환, 닮음변환, 항등변환, 회전변환, 회전변환을 나타내는 행렬
- 일차변환의 합성과 역변환
- 일차변환에 의해 옮겨진 도형
(3) 고윳값과 행렬의 거듭제곱
- 고윳값과 고유벡터
- 특성다항식
- 행렬의 대각화
- 케일리-해밀턴의 공식}}}
5.'''확률과 통계'''(문과 필수)
고등학교 3학년 1학기 과정
- 통계의 기초: 한 단원 분량이므로 통계에 필요한 아주 간단한 개념들만 개괄에 소개해주는 식으로 끝낸다. 그외 심화된 영역은 이산수학, 미적분의 영역이므로 여기서 다루지 않는다.
- 자료의 개념: 변량, 도수, 히스토그램, 도수분포다각형, 대푯값(평균, 최빈값, 중앙값) 등을 소개한다.
- 자료의 정리: 산포도, 기댓값, 분산, 표준편차에 대해 소개한다.
- 통계적 도구
- 경우의 수와 확률: 아주 간단한 경우의 수과 확률만 다룬다.
- 확률밀도함수
- 앞 단원에서 배운 히스토그램이나 도수분포다각형의 계급을 0으로 가까이 (극한) 보내버리면 연속확률분포(확률밀도함수)가 되는 것을 알려주고, 연속확률분포의 정적분 값이 1임을 알려준다.
- 연속확률변수: 기댓값, 표준편차를 구하는 공식을 다룬다.
- 확률밀도함수
- 이산확률분포
(1) 이산확률분포와 여러가지 분포
- 일차이산확률변수식의 평균/분산/표준편차
- {{{#FF0000 균등분포
- 푸아송 분포
- 결합확률분포, 결합확률질량
- 마르코프 연쇄}}}
- 연속확률분포
(1) 연속확률변수와 연속확률분포 : 연속균등분포, 연속확률분포와 정적분
(2) 정규분포와 표준화(수학2의 적분으로 설명한다.)
(2) 정규분포와 표준화(수학2의 적분으로 설명한다.)
- 정규분포
- F-분포
- 스튜던트 t-분포
- 지수분포
- 카이제곱분포
- 통계적 추정과 분석
- 모평균의 추정
- 모비율의 추정
- {{{#FF0000 귀무 가설
- 분산 분석
- 회귀 분석
- 단측검정과 카이 제곱 검정
- 모평균의 검정, 모비율의 검정
- 신뢰구간과 가설검정}}}
- 이산수학
(1)시행착오법
- 시행착오법으로 방정식 푸는 법
(2)순열과 조합
- 합의 법칙, 곱의 법칙
- 순열과 조합
- 나열하지 않고 주어진 조건을 만족하는 순열이나 조합의 수
(3) 세기의 방법
- 비둘기집의 원리
- 포함배제의 원리
- 유한집합을 합집합으로 나타내기
- 자연수를 자연수의 합으로 나타내기
- 조건에 맞는 분배의 수
- 그래프
(1) 그래프
- 그래프의 뜻
- 그래프에서의 꼭지점의 차수와 변의 수
(2) 수형도
- 여러 가지 수형도
- 생성 수형도
(3) 다양한 회로
- 오일러 회로
- 해밀턴 회로
- 오일러 회로와 그래프 회로가 존재하기 위한 조건
- 최단경로
(4) 행렬
- 행렬의 뜻
- 행렬 계산
- 그래프와 행렬
- 색칠문제
- 논리연산
(1)논리연산
- 논리연산의 뜻과 정의
- 논리연산자의 종류와 성질
(2)논리연산자의 성질
- 항등원
- 논리연산의 교환/결합/분배/동일/흡수법칙
- 흡수/이중부정 법칙
- 그외 기타 법칙
(3)드모르간 법칙
- 드모르간 법칙의 정의
- 밴다이어그램과 드모르간 법칙
- 드모르간 법칙의 응용
- 기하학의 기초
(1)기하학의 체계
- 기하학의 역사
- 공리, 정의, 정리의 뜻
- 평면 기하의 구성
- 유클리드 공리계
- 힐버트의 공리계
(2)여러가지 기본도형
- 점, 선, 면, 교점, 교선, 직선, 반직선, 선분, 폐곡선, 점집합
- 두 점 사이의 거리, 중점, 내분점, 외분점
- 각, 도($$^\circ$$), 분($$'$$), 초($$''$$), 평각, 직각(표현: $$\angle \rm R$$), 예각, 둔각, 여각, 보각, 맞꼭지각, 직교와 수선, 동위각, 엇각, 평행선에서의 동위각/엇각의 관계
- 점과 직선의 위치 관계, 평행선, 평면에서의 두 직선의 위치 관계
(3)작도와 자취
- 작도와 합동
- 작도, 간단한 도형의 작도, 선분의 수직이등분선 작도, 각의 이등분선 작도 , 직각의 삼등분선 작도
- 삼각형의 결정조건, 삼각형의 작도, $$\rm SSS$$합동, $$\rm SAS$$합동, $$\rm ASA$$합동, $$\rm RHA$$합동, $$\rm RHS$$합동
- 정다각형의 작도
- 3대 작도 불능 문제
- 자취
- 현대 수학기기의 발명과 현대 수학사
(1)현대 수학과 기계의 발전
- 계산기의 발명과 역사
- 계산기의 종류
- 계산기가 현대 수학에 끼친 이점들
(2)현대 수학사
- 매듭이론
- 01. 매듭의 뜻 : 매듭, 매듭의 사영, 교차점
- 02. 다양한 매듭 : 매듭 표기법, 풀린매듭, 세잎매듭, 8자 매듭, 다섯잎매듭
- 03. 합성매듭 : 합성매듭, 소매듭, 유향매듭, 대칭매듭
- 04. 라이데마이스터 변환 : 라이데마이스터 변환, 1~3종 번형
개편안: 경제수학 과목은 상경계를 지망하는 문과생들이 배운 수학적 개념을 활용하여 경제에서 사용되는 다양한 그래프나 수학적 개념을 이해하는 것을 컨셉으로 잡고 있다. 하지만 대학교 경제수학 과목에서는 문과가 배우지 않았던 비다항 초등함수[72]의 미분법과 적분법을 어차피 배우기 때문에 문과가 배우지 않는 비다항 초등함수의 미분법과 적분법 등 경제수학에서 다루는 내용을 간략하게 다루고 이를 응용하여 경제 개념을 배우는 파트를 따로 편성하던가[73] 아예 빼던가 둘중 하나만 할 것을 제안한다.
- 해석학의 기본
- 극한
- 수열, 함수의 극한
- 테일러 급수
- 초등함수의 도함수와 역도함수
- 수치해석
- 리시 방법, 룽게-쿠타 방법
- 극한
- 해석학 심화
- 선형대수
- 행렬과 벡터
- 고유치 문제: 대각화, 삼각화
- 다변수함수
- 편도함수
- 이상적분
- 이중적분
- 푸비니 정리
- 야코비안
- 정규분포의 적분: 가우스 적분, 오차함수
- 선형대수
- 확률
- 큰 수의 법칙
- 중심극한정리
- 베이즈 정리
- 수리통계학
- 시계열 분석
- ARIMA
- GARCH
- 호드릭-프레스콧 필터
- 경로 분석
- 요인 분석
- 생존 분석
- 메타 분석
- 패널 분석
- 다층 모형
- 2SLS
- 시계열 분석
개편안:현재는 심화수학 1,2와 고급수학 1,2로 나뉘어 있는데 사실상 의미가 없기 때문에 개편한다. 또 여기서는 위에 나온 교육과정을 대폭 늘리는 개편안을 기준으로 하도록 한다. 만약 다른 개편안을 기준으로 작성하려 할시 구분선을 긋고 따로 작성하여 주십시오.
- 그래프
(1)그래프
- 그래프의 뜻
- 그래프에서의 꼭지점의 차수와 변의 수
(2)수형도
- 다양한 수형도
- 생성 수형도
(3)다양한 회로
- 오일러 회로
- 해밀턴 회로
- 오일러 회로와 그래프 회로의 존재를 위한 조건
- 최단경로
(4)그래프와 행렬
- 행렬의 뜻
- 행렬 계산
- 그래프와 행렬
- 색칠문제
- 미분과 적분의 활용
(1)미분의 활용
- 코시의 평균값 정리, 로피탈 정리, 적분의 평균값 정리
- 역삼각함수의 미분법
- 쌍곡선함수, 역쌍곡선함수의 비분법
- 로그미분법
- 이계도함수, 이계도함수와 도함수식이 포함된 방정식, 고계도함수
- 뉴턴의 방법
(2)적분의 활용
- 역삼각함수의 부정적분
- 쌍곡선함수의 부정적분, 역쌍곡선함수의 부정적분
- 이상적분
(3)중적분
- 중적분의 뜻과 성질
- 반복적분
- 푸비니의 정리
- 일반 영역에서의 중적분
- 극좌표에서의 중적분
- 미분방정식
- 미분방정식의 정의와 성질
- 방향장을 이용한 미분방정식의 풀이
- 오일러의 방법을 이용한 미분방정식의 풀이
- 변수분리법
- 선형미분방정식
- 적분인자를 이용한 미분방정식의 풀이
- 다변수함수
- 다변수함수의 정의
- 이변수, 삼변수함수
- 등위곡선
- 등위곡면
- 이변수함수의 그래프
7. 도움 문서
이 문서를 편집할 때 다음 문서를 참고하면 좋다.
[8] 80~90년대에서도 늘 연산 영역에서 다른 나라보다 앞서긴 했다. 수학=계산으로 인식되어버린 언어 인식이 큰 영향을 준 것으로 보인다.[9] 대표적으로 후술될 매듭이론 같은 것들[10] 구 7차 교육과정 때 '''딱 한 번''' 교과목으로 나오긴 했지만, 워낙 위상이 시망 수준이라 다음 교육과정에서 바로 퇴출되었다.[11] 이는 함수가 아닌 '숨은 함수(Implict function)'라고 해야 한다.[12] 용어에 한자가 섞여있거나 생소하게 다가온다면 국립국어원 자문을 통해 쉬운 고유어로 바꿔서 가르치면 되는 문제인데 아예 이를 삭제한 것이다.[13] 간혹 가다 중학교 1학년 문제집 중 어려운 문제를 풀어보면 십중팔구 경우의 수를 응용하고 있다. 심지어 중1 첫단원인 소인수분해 단원에서도 이러한 문제가 넘쳐나온다.[14] 이런 자세의 하드 카운터라고 할 수 있는 것이 유리수 판별 함수(디리클레 함수) $$\bold{1}_{\mathbb{Q}}\left(x\right)$$로, 집합에 의한 정의로는 유리수라면 1, 무리수라면 0을 대응시켜 짝을 짓는 매우 쉬운 개념(예시: $$1 \to 1, \dfrac{1}{2} \to 1, \sqrt{2}\to 0, \pi \to 0, \cdots$$)이 되지만, 좌표 평면상으로는 어떻게 그림을 그려야 할지 매우 난감해진다.[15] 심한 경우엔 수열이 함수인지도 모르는 학생도 있다.[16] '나머지 정리'도 엄연히 실수 범위에서 이루어지므로 실수와 수 체계의 정의부터 제대로 한 뒤에 구성하는 게 올바르다. 또한 실수를 다항식의 형태로 나타낼 수 없을 것 같지만, 이미 실수는 중학교 과정에서도 다항식 형태로 나타낸 바가 있다. 따라서 이 단원을 뒤에 구성해놔도 전혀 문제가 없다.[17] 2009 개정 교육과정부터 관련 전문직이나 교수들이 토론회에서 거의 안 보이기 시작하면서 발생한 중우정치의 결과물로 보인다. 전문성이 결여된 일부 교사나 관련 교육 단체들의 목소리가 높아지면서 이런 비전문적인 용어를 사용하게 된 것으로 보인다.[18] 표면상의 이유가 이러했으나, 사실 경제학이나 경영학 수업을 교양 과목으로 수강하려고 오는 비전공 학생들까지 노린 것이다.거의 모든 학생들에게 인기 강의가 되어버리는 바람에 굳이 상경계와 인문·어문·예체능계열 나눌 것 없이 수학 나형(혹은 수학 A형)에 담아내었다. 자세한 것은 미적분을 배우지 않은 문과생 문서 참조.[19] 왜 '1학년'의 꿈이라는 이름이 붙었는지를 보통 수학과 학부 1학년 때 알게 되기 때문.[20] $$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}|f(x)| = (\mathrm{sgn} \circ f)(x) \cdot f'(x)$$[21] $$\displaystyle \int | f(x) |\,\mathrm{d}x = (\mathrm{sgn} \circ f)(x) \int f(x) + C$$[22] 디랙 델타 함수를 본격적으로 수학적 정의를 하는 과정 자체가 수학과 대학원 과정에 있다. 학부까지는 일단은 라플라스 변환, 푸리에 변환 등에서 다루긴 해야 하니 두루뭉술하게 정의하고 넘어간다.[23] 쌍선형 내적은 사실상 덧셈과 곱셈밖에 없기 때문에 중학교 과정에서 다뤄도 무방하다.[24] 함수 $$ \displaystyle f(x)=\left(1+x \right)^{\frac{1}{x}} $$와 함수 $$ \displaystyle f(x)=\left(1+\frac{1}{x} \right)^{x} $$ [25] 사실 소수 정리는 중등수학에서 언급하기에는 위치가 애매한 부분은 있다. 왜냐하면 '소수'라는 대수학적 대상에 미적분을 갖다쓰는, 중등수학의 시각에서는 끔찍한 혼종(...)이기 때문.[26] 리만 가설, 로그 적분 함수를 알아야 한다.[27] $$\displaystyle \gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^n \frac 1k - \ln n \right)$$[28] $$\lfloor \log x \rfloor$$를 지표, $$\log x - \lfloor \log x \rfloor$$를 가수로 표현하는 것.[29] $$\displaystyle \sum_{x=a}^b f(x) \Leftrightarrow \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d} \lfloor x \rfloor$$[30] 특히 해석기하의 '이차곡선'은 태초부터 허술하기도 하다. 본래 고등학교 1학년 과정에서만 다루던 '중단원' 규모의 기초 수준에 불과했다.[31] 이 교육과정 의논 문서 전반에서도 이 사실을 모르는 듯한 서술이 있었다.[32] 조금만 깊이 들어가면 벡터함수나 외적같은거 다 튀어나온다.[33] 출처: 한림연구보고서 125 - 고등학교 수학 교육과정 내용 축소가 이공계 인재 양성에 미치는 영향 분석.pdf 33페이지[34] 이 시절 행렬 교육이 참 골때렸는데, 수학 I 첫 단원부터 그 개념과 연산법칙을 아무 맥락도 없이 제시한데다, 교육 방향 역시 선형변환이라는 본질보단 각종 반례 찾기에 집중되는 바람에 사전지식 없이 고교에서 이를 처음 배운 학생들 중에는 행렬에 대해 '복잡하고 종잡을 수 없으면서 용도도 알 수 없는 무언가' 라는 잘못된 인식을 갖는 경우도 많았다.[참조] [image][35] 사실 내적은 삼각함수가 없어도 정의할 수 있다. 켤레전치 행렬곱의 행렬식($$\det \bold{\overline a}^T\bold{b}$$)으로 표현할 수 있기 때문.[36] 예) $$\cos 60\degree = \dfrac12 \Leftrightarrow \arccos \dfrac12 = 60\degree$$[37] 논리학에서는 영역 안에 집합의 원소를 나열하지 않는다. 그냥 원소가 있냐 없냐만 판단하기 때문에 원소가 없을 경우 빗금을 치고, 있을 경우엔 엑스표를 친다. 수학에서 쓰이는 벤 다이어그램과 상당히 다르다. 이미지 참조[38] 중등교육과정에서는 내적 공간만 다루기는 한다.[39] 그 그래프의 특징과 개요를 살피고 다루는 '해석 기하' 영역과 논증 기하 영역(사실상 고등학교 과정에서 유일한 기하(교과)의 공간도형)을 합친 것.[40] 사실 이 점 때문에 수학Ⅰ, 수학Ⅱ 같은 작명을 여태 포기 못하였을 수도 있다.[41] 가는 문과용, 나는 이과용. I, II 또는 A, B로 붙여도 상관 없다.[42] 고등학교 1학년 1학기[43] 고등학교 1학년 2학기[44] 고등학교 2학년 1학기[45] 고등학교 2학년 2학기[46] 고등학교 3학년[47] 고등학교 2학년 1학기)[48] 고등학교 2학년 1학기[49] 고등학교 2학년 2학기[50] 고등학교 2학년 2학기[51] 고등학교 3학년[52] 고등학교 3학년[53] 고등학교 3학년[54] 고등학교 3학년[55] 고등학교 3학년[56] 고등학교 2학년~고등학교 3학년, 수학Ⅱ 선수[57] 유리수[58] 무리수[59] 일대일함수[60] 일대일대응[61] 기함수[62] 우함수[63] $$y=x$$ 대칭이다. 증가함수일 때의 역함수와 감소함수일 때의 역함수가 원래의 함수와 갖는 교점에 관한 특징을 다룬다.[64] 기존의 가비의 리[65] 외적[66] 내적[67] 외적[68] 음함수[69] p-급수 판정법[70] 멱급수[71] 음함수는 은함수, 양함수는 현함수로 명칭 변경 [72] 초월함수라고 하지 않는 이유는 초월함수에 베셀 함수나 폰 망골트 함수 같은 '''특수함수'''도 포함하기 때문이다.[73] 사실 이 용도로는 이미 사회과 과목 경제가 이미 있기 때문에 여기서는 수학적 도구를 익히는 것에 집중한다.